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文档简介

一、独立性的一般概念,二、离散型随机变量的独立性,三、连续型随机变量的独立性,一、随机变量的独立性,定义1(随机变量的相互独立性)设随机变量XY的联合分布函数为F(xy)边缘分布函数分别为FX(x)FY(y)如果对任意实数x和y恒有F(xy)FX(x)FY(y)则称随机变量X和Y相互独立,定理1(独立性的判断)随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立即对任意实数集A和B有PXAYBPXAPYB(322),定理2如果随机变量X和Y相互独立则对任意函数g1(x)g2(y)均有g1(X)与g2(Y)相互独立,定义2(n个随机变量的相互独立性)设X1X2Xn是n个随机变量其联合分布函数为F(x1x2xn)边缘分布函数为Fi(xi)(i12n)如果对任意实数x1x2xn恒有F(x1x2xn)F1(x1)F2(x2)Fn(xn)则称X1X2Xn相互独立,定义2(独立性的判断)设XY是离散型随机变量其联合概率分布为PXxiYyjpij(ij12)边缘概率分布分别为pi.和p.j(ij12)则X与Y相互独立的充要条件是pijpi.p.j(ij12)(327),例2设X与Y的联合概率分布如下表判断X与Y是否相互独立?,因为PX0010203PY10103015055而PX0Y101可见PX0Y1PX0PY1所以X与Y不独立,解,在前一节讨论中我们得知由联合概率分布可以确定边缘概率分布但是由边缘概率分布一般不能确定联合概率分布比较表中的两个不同联合概率分布我们注意到它们具有相同的边缘概率分布,应注意的问题,表具有相同边缘概率分布的两个不同的联合概率分布,定义4(独立性的判断)设连续型随机向量(XY)的密度函数为f(xy)边缘密度函数分别为fX(x)和fY(y)则X与Y相互独立的充要条件是f(xy)fX(x)fY(y)(334),必要性如果X与Y相互独立则对任意xy有,证明,于是fX(x)fY(y)是(XY)的密度函数即f(xy)fX(x)fY(y),三、连续型随机变量的独立性,定理4(独立性的判断)设连续型随机向量(XY)的密度函数为f(xy)边缘密度函数分别为fX(x)和fY(y)则X与Y相互独立的充要条件是f(xy)fX(x)fY(y)(334),证明,充分性若f(xy)fX(x)fY(y)则,从而X与Y相互独立,例5,解,即,例5,解,即,因对一切,均有:,故,独立.,例6,(1),互独立;,解,解,易知,因为f(xy)fX(x)fY(y)故X与Y相互独立,解,易知,对任意满足
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