[课件资料]第3章1节

1二维随机变量,二维随机变量联合分布函数联合分布律联合概率密度,返回主目录,设E是一个随机试验，它的样本空间是S=，设X=X()和Y=Y()是定义在S上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,S,X(),Y(),1二维随机变量,定义,返回主目录,注意事项,1二维随机变量,返回主目录,二维随机变量的例子,1二维随机变量,返回主目录,二维随机变量的例子,1二维随机变量,返回主目录,1二维随机变量,定义,返回主目录,二元分布函数的几何意义,1二维随机变量,返回主目录,一个重要的公式,1二维随机变量,分布函数具有以下的基本性质：,F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当x1x2时，对于任意固定的x,当y1y2时，,对于任意固定的Y,对于任意固定的X,1二维随机变量,2),1),且,返回主目录,3)F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续.,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X,Y),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),(x1,y1),1二维随机变量,4),说明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）,1二维随机变量,返回主目录,边缘分布函数如果(XY)的分布函数F(xy)已知则由F(xy)可导出X和Y各自的分布函数FX(x)和FY(y)FX(x)PXxPXxY(33)FY(y)PYy(34)通常称FX(x)和FY(y)为(联合)分布函数F(xy)的边缘分布函数,1二维随机变量,n维随机变量,1二维随机变量,返回主目录,n维随机变量的分布函数,1二维随机变量,返回主目录,二维离散型随机变量,1二维随机变量,二维离散型随机变量的联合分布律,1二维随机变量,返回主目录,二维离散型随机变量联合分布律的性质,1二维随机变量,返回主目录,二维离散型随机变量的联合分布函数,1二维随机变量,返回主目录,边缘概率分布,通常称(37)(38)为联合概率分布PXxiYyjpij(ij12)的边缘概率分布,1二维随机变量,返回主目录,由题意知，X=i，Y=j的取值情况是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后j取不大于i的正整数。由乘法公式求得(X,Y)的分布律。,1二维随机变量,设随机变量X在1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。,例1,解：,返回主目录,1二维随机变量,X,Y,1234,1234,例1（续）,返回主目录,例2,1二维随机变量,返回主目录,例2（续）,1二维随机变量,返回主目录,例2（续）,1二维随机变量,例3,1二维随机变量,返回主目录,例3（续）,1二维随机变量,返回主目录,例3（续）,1二维随机变量,返回主目录,对于二维随机变量(X,Y)分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意的x，y有：,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度。,二维连续型随机变量,1二维随机变量,返回主目录,按定义，概率密度f(x,y)具有以下性质：,1二维随机变量,30设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：,返回主目录,边缘分布函数为,上式表明，,是连续型随机变量，,且其密度函数为:,同理，,是连续型随机变量，,且其密度函数为：,1二维随机变量,(4),则有,进一步，,根据偏导数的定义，,可推得：,有,小时，,即，,1二维随机变量,在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P(X,Y)G的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积,1二维随机变量,返回主目录,例4,(1),求分布函数,(2),求概率,解,(1),即有,解,(2),即有,及其下方的部分,如图.,于是,解,于是,(2),例5,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解,(1),解,(2),例6,1二维随机变量,返回主目录,例6（续）,1二维随机变量,返回主目录,例6（续）,1二维随机变量,返回主目录,例6（续）,1二维随机变量,返回主目录,二维均匀分布,1二维随机变量,返回主目录,应用举例：,的概率与小区域的,而与,的位置无关，,上任投一质点，,若质点,面积成正比,分布.,二维均匀分布几何意义,1二维随机变量,返回主目录,容