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,三、一般迭代法(补充),第八节,可求精确根,无法求精确根,求近似根,两种情形,(有时计算很繁),本节内容:,一、根的隔离与二分法,二、牛顿切线法及其变形,方程的近似解,第三章,一、根的隔离与二分法,(1)作图法,1.求隔根区间的一般方法,(2)逐步收索法,由图可见只有一个实根,可转化为,以定步长h一步步向右,搜索,若,搜索过程也可从b开始,取步长h0.,2.二分法,取中点,对新的隔根区间,重复以上步骤,反复进行,得,则误差满足,例1.用二分法求方程,的近似,实根时,要使误差不超过,至少应对分区间多少次?,解:设,故该方程只有一个实根,欲使,必需,即,可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值,二、牛顿切线法及其变形,有如下四种情况:,牛顿切线法的基本思想:,程的近似根.,记纵坐标与,同号的端点为,用切线近似代替曲线弧求方,在此点作切线,其方程为,令y=0得它与x轴的交点,其中,再在点,作切线,可得近似根,如此继续下去,可得求近似根的迭代公式:,称为牛顿迭代公式,牛顿法的误差估计:,由微分中值定理得,则得,说明:用牛顿法时,若过纵坐标与,异号的端点作,切线,则切线与x轴焦点的横坐标未必在,牛顿法的变形:,(1)简化牛顿法,若用一常数代替,即用平行,则得简化牛顿迭代公式.,线代替切线,得,优点:,因而节省计算量.,缺点:逼近根的速度慢一些.,(2)割线法,为避免求导运算,用割线代替切线,即用差商,代替,从而得迭代公式:,(双点割线法),特点:逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法.,说明:若将上式中,则为单点割线法,逼近,根的速度与简化牛顿法相当.,例2.用切线法求方程,的近似解,使,误差不超过0.01.,解:,由草图可见方程有唯一的正实根,且,得,而,再求,因此得满足精度要求的近似解,三.一般迭代法,(补充),在隔根区,按递推公式,则即为原方程的根.,式称为迭代格式,初值.,否则称为发散.,例3.用迭代法求方程,解法1将方程变形为,迭代格式为,发散!,解法2将方程变形为,迭代格式为,迭代收敛,1.32472为计算精度范围内的所求根.,定理.,(证明略),迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.,可以证明,下述定理:,内容小结,1.隔根方法,作图法,二分法,2.求近似根的方法,二分法,牛顿切线法,简化牛顿法,割线法,一般迭代
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