计算方法-矩阵特征值的数值计算方法.ppt

heut-yjsheuuyjs,数值计算方法,(2011),河北联合大学,第7章矩阵特征值的数值计算方法,1,2,3,4,5,理论基础,幂法,规范幂法,反幂法,QR分解法,主要内容,4,参考文献,6,概念回顾,方阵的特征值与特征向量,特性回顾,特征值与特征向量的性质,第一节理论基础,A：n阶方阵，若数,和n维非,零列向量X使关系式,成立，则,称为方阵A的特征值，,X称为A的对应于特征值,的特征向量。,概念回顾,定义1,矩阵的特征值与特征向量,如,取,是特征向量.,概念回顾,矩阵的特征值与特征向量,称为方阵A的特征多项式,显然，A的特征值就是特征方程的根,也称特征根。,（重根按重数计算），,n阶方阵A有n个特征值。,特征方程、特征根,定义2,概念回顾,矩阵的特征值与特征向量,求矩阵,的特征值和特征向量。,令,特征值为,解析,方程组,从而解得基础解系,当,时，求解齐次线性方程组,得对应的方程组为,从而解得基础解系,全部特征向量为,如果矩阵,满足,则称,是幂等矩阵。,（幂等矩阵的特征值只能是0或1）,定义3,设n阶方阵A的n个特征值为,则必有,（1）,（2）,设n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值全不为零。,特性回顾,定理1,特征值与特征向量的性质,推论：,推论：,设n阶方阵A的n个特征值为,则必有,（1）,（2）,设n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值全不为零。,特性回顾,定理1,特征值与特征向量的性质,推论：,定理2,推论：,和,特征向量间的线性相关性,定理3,定理4,特性回顾,设,是n阶矩阵A,的特征值，,是A的属于,的特征向量，则,（1）对任意常数,，数,是矩阵,的特征值；,（2）对任意常数,，数,是矩阵,的特征值；,（3）对任意正整数,，,是矩阵,的特征值；,（4）当矩阵,可逆时，,是矩阵,的特征值；,特征值,定理5,的特征值；,（其中）,的特征向量。,定理6,应用范例,解析,的特征值为,，,，,于是,定理6,定理7,定理8,用幂法计算矩阵的按模最大的特征值系,程序设计,A=1,-1,2,-6;MatrixForm%xa=-0.5,1;Doxb=A.xa;Printk,xb,xb1/xa1,xb2/xa2;xa=xb/MaxAbsxb,k,1,15EigensystemNA;MatrixForm%,1-0.5,1-1.5,-7.3.-7.2-0.214286,-1.0.785714,5.57143-3.66667-5.5714330.141026,1.-0.858974,-5.71795-6.09091-5.717954-0.150224,-1.0.849776,5.69955-5.65672-5.6995550.149095,1.-0.850905,-5.70181-5.70712-5.701816-0.149234,-1.0.850766,5.70153-5.70088-5.7015370.149217,1.-0.850783,-5.70157-5.70165-5.701578-0.149219,-1.0.850781,5.70156-5.70155-5.7015690.149219,1.-0.850781,-5.70156-5.70156-5.7015610-0.149219,-1.0.850781,5.70156-5.70156-5.70156,运行结果,程序设计,A=1,1,0.5,1,1,0.25,0.5,0.25,2;MatrixForm%va=1,1,1;Dovb=A.va;Printk,vb,vb2/va2;va=vb,k,1,20EigensystemNA;MatrixForm%,12.5,2.25,2.752.25315.2188,13.3906,19.04692.46264596.0293,83.7666,125.5112.510157613.714,533.719,814.0252.52743939.55,3422.47,5251.632.53341125327.1,21994.9,33820.2.5354613162910.,141460.,217665.2.5361666151.0480610,910025.,1.4006102.53616666176.7429910,5.854810,9.01171102.53648777194.3383710,3.766910,5.79817102.53651878201.1004410,9.5548110,1.47073102.53652,运行结果,A=3,2,1,-1,8,2,1,4,16;MatrixForm%y=-1,1,0.5;Dox=LinearSolveA,y;Printk,y,x,;y=x/MaxAbsx,k,1,20u=y1/x1v=yEigensystemNA;MatrixForm%,反幂法的规范运算,程序设计,第四节QR分解法,QR分解,?,QR分解的思路,分解,变换,QR分解,ClearA=9,4,2,2,8,4,6,7,1;MatrixForm%DetAq,r=QRDecompositionA/N;Q=%1;MatrixForm%Det%R=%2;MatrixForm%TransposeQ.R;MatrixForm%EigenvaluesNA,ClearA,H,QA=5,-3,2,6,-4,4,4,-4,5;MatrixForm%DetA