2019年春七年级数学下册 第一章 整式的乘除 5 平方差公式同步课件（新版）北师大版.ppt

知识点平方差公式1.两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.用字母表示为(a+b)(a-b)=a2-b2.2.公式的结构特征:左边:两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.右边:乘式中两项的平方差.,3.运用公式计算的步骤:(1)辨识:观察两个二项式相乘是不是两数和乘这两数的差.(2)改写:当未写成(a-b)(a+b)的形式时,运用加法交换律或添括号等方法,将前后相同的项写在前面,互为相反数的项写在后面.如(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).(3)套用:根据平方差公式进行计算.注意:(1)公式中的a、b具有一般性,它们可以表示单项式,也可以表示多项式;(2)运用平方差公式的关键是识别两个数(或式子),哪个是完全相同的,哪个是互为相反数的.拓展:利用平方差公式时,需注意公式的几种变化形式.,(1)符号变化:(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2).(2)位置变化:(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2.(4)指数变化:(a2+b2)(a2-b2)=a4-b4.例下列两个多项式相乘,哪些可以用平方差公式计算,哪些不能?能用平方差公式计算的,写出计算结果.(1)(2a-3b)(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b);(3)(-2a+3b)(-2a-3b);(4)(2a+3b)(2a-3b);(5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b).,解析(2)(3)(4)(5)可以用平方差公式计算.(1)(6)不能用平方差公式计算.(2)(-2a+3b)(2a+3b)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2.(3)(-2a+3b)(-2a-3b)=(-2a)2-(3b)2=4a2-9b2.(4)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.(5)(-2a-3b)(2a-3b)=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2.,题型一平方差公式的连续应用例1计算:(1)(1-x)(1+x)(1+x2);(2)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.,分析(1)连续应用平方差公式.观察(2)中各因式的特点,先添加因式(2-1),再利用平方差公式计算.,解析(1)原式=(1-x2)(1+x2)=1-x4.(2)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1=(28-1)(28+1)+1=216-1+1=216.,点拨应用平方差公式时认准“两数”并对号入座,有时还会连续使用平方差公式.,题型二平方差公式的逆用例2已知x2-y2=15,x+y=3,则x-y=.,解析x2-y2=(x+y)(x-y)=15,x+y=3,x-y=5.,答案5,点拨已知两数的平方差,可以逆用平方差公式求两数的和或差.,题型三利用平方差公式进行简便运算例3计算:(1)1011;(2)20162-20152017.,解析(1)1011=112-=121-=120.(2)原式=20162-(2016-1)(2016+1)=20162-(20162-1)=1.,易错点由于对平方差公式的结构特征没掌握好,出现错用公式的现象例计算:(a+2)(b-2).,错解原式=ab-4.,错因分析没有掌握好平方差公式的结构特征,错用公式.,正解原式=ab-2a+2b-4.,知识点平方差公式1.(2018河南南阳邓州期中)下列计算错误的是()A.(6a+1)(6a-1)=36a2-1B.(a3-8)(-a3+8)=a9-64C.(-m-n)(m-n)=n2-m2D.(-a2+1)(-a2-1)=a4-1,答案B(a3-8)(-a3+8)=-(a3-8)2=-(a6-16a3+64)=-a6+16a3-64,故选B.,2.计算:20172-20162018=.,答案1,解析原式=20172-(2017-1)(2017+1)=20172-(20172-1)=1.,3.计算:(1)+(-3+x)(-x-3);(2)-(3a-2b)(3a+2b).,解析(1)+(-3+x)(-x-3)=x2-4+9-x2=5-x2.(2)-(3a-2b)(3a+2b)=a2-b2-9a2+4b2=-8a2+b2.,4.用乘法公式计算:99.9100.1-99.8100.2.,解析原式=(100-0.1)(100+0.1)-(100-0.2)(100+0.2)=1002-0.12-(1002-0.22)=1002-0.01-1002+0.04=0.03.,5.(2016山东济南中考)先化简,再求值:a(1-4a)+(2a+1)(2a-1),其中a=4.,解析原式=a-4a2+4a2-1=a-1.当a=4时,原式=4-1=3.,1.计算(3a-b)(-3a-b)等于()A.9a2-6ab-b2B.-9a2-6ab-b2C.b2-9a2D.9a2-b2,答案C相同的项是-b,互为相反数的项是3a与-3a,故结果是(-b)2-(3a)2=b2-9a2.,2.用平方差公式计算(2a+3b-1)(2a-3b+1),下列变形正确的是()A.2a-(3b+1)2B.2a+(3b-1)2a-(3b-1)C.(2a-3b)+1(2a-3b)-1D.2a-(3b-1)2,答案B平方差公式必须满足:(1)一项相同;(2)另一项互为相反数,所以(2a+3b-1)(2a-3b+1)=2a+(3b-1)2a-(3b-1).,3.化简:(x+y)(x-y)(x2+y2)=.,答案x4-y4,解析原式=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4.,4.如果(a+b+1)(a+b-1)=63,那么a+b的值为.,答案8,解析因为(a+b+1)(a+b-1)=63,即(a+b)2-1=63,所以(a+b)2=64,所以a+b=8.,5.计算下列各题:(1)(-2x-y)(2x-y);(2)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3);(3)(b-2)(b2+4)(b+2).,解析(1)(-2x-y)(2x-y)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.(2)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3)=4x2-(-2x)2-32=4x2-(4x2-9)=9.(3)(b-2)(b2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b2+4)=(b2-4)(b2+4)=b4-16.,1.运用乘法公式计算:(1)(-2y2-3x)(3x-2y2);(2)a4-(1-a)(1+a)(1+a2);(3)109;(4)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1.,解析(1)(-2y2-3x)(3x-2y2)=(-2y2-3x)(-2y2+3x)=(-2y2)2-(3x)2=4y4-9x2.(2)a4-(1-a)(1+a)(1+a2)=a4-(1-a2)(1+a2)=a4-(1-a4)=2a4-1.(3)原式=102-=100-=99.(4)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=(72-1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=(74-1)(74+1)(78+1)+1=(78-1)(78+1)+1=(716-1)+1=716.,2.先化简,再求值:(1)(x-8)(x+8)-x(x-1),其中x=-;(2)(a-2b)2+(a-b)(a+b)-2(a-3b)(a-b),其中a=,b=-3.,解析(1)(x-8)(x+8)-x(x-1)=x2-64-x2+x=x-64,当x=-时,原式=-64=-.(2)原式=a2-4ab+4b2+a2-b2-2a2+8ab-6b2=4ab-3b2,当a=,b=-3时,原式=4(-3)-3(-3)2=-33.,1.计算9982-999997=()A.-1B.1C.0D.2,答案B原式=9982-(998+1)(998-1)=9982-(9982-1)=9982-9982+1=1.,2.对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的整数是()A.3B.6C.10D.9,答案C(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n2-1-(9-n2)=10n2-10,10能整除(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n),故选C.,3.先化简,再求值:(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2,其中a=1,b=-2.,解析原式=a2-b2+ab+2b2-b2=a2+ab.当a=1,b=-2时,原式=12+1(-2)=-1.,一、选择题1.(2018甘肃景泰四中期中,5,)下列各式中不能用平方差公式计算的是()A.(x-y)(-x+y)B.(-x+y)(-x-y)C.(-x-y)(x-y)D.(x+y)(-x+y),答案A(x-y)(-x+y)=-(x-y)(x-y)=-(x-y)2.,二、解答题2.(2018广东云浮云城期末,17,)先化简,再求值:(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中x=.,解析原式=4-x2+x2+4x-5=4x-1,把x=代入,得4x-1=4-1=5.,(3)比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式;(用式子来表示)(4)运用你所得到的公式,计算109.,解析(1)a2-b2.(2)a-b;a+b;(a-b)(a+b).(3)(a-b)(a+b)=a2-b2.(4)原式=102-=99.,1.(2017安徽宿州期末,4,)已知a+b=2,a-b=-3,则a2-b2的值为()A.6B.-6C.-D.-5,答案B因为a+b=2,a-b=-3,所以a2-b2=(a+b)(a-b)=2(-3)=-6.,2.(2016山东济宁任城期中,5,)下列算式能用平方差公式计算的是()A.(2a+b)(2b-a)B.(4x+1)(-4x-1)C.(2x-y)(2x-y)D.(-y+x)(-y-x),答案D能用平方差公式计算的是括号里的两项有一项相同,另一项互为相反数,只有选项D符合.,3.(2018江苏苏州吴中统测,22,)先化简,再求值:(2a+b)(2a-b)-b(a-b),其中a=1,b=-2.,解析原式=4a2-b2-ab+b2=4a2-ab.把a=1,b=-2代入,原式=412-1(-2)=4+2=6.,一、填空题1.(2018浙江金华中考,17,)化简(x-1)(x+1)的结果是.,答案x2-1,2.(2017广东深圳中考,15,)阅读理解:引入新数i,新数i满足分配律,结合律,交换律,已知i2=-1,那么(1+i)(1-i)=.,答案2,解析由题意得,原式=1-i2=1-(-1)=2.,二、解答题3.2017江苏无锡中考,19(2),计算:(a+b)(a-b)-a(a-b).,解析原式=a2-b2-a2+ab=ab-b2.,1.(2017江苏连云港中考,10,)计算:(a-2)(a+2)=.,答案a2-4,解析(a-2)(a+2)=a2-4.,2.(2016吉林长春中考,15,)先化简,再求值:(a+2)(a-2)+a(4-a),其中a=.,解析原式=a2-4+4a-a2=4a-4,当a=时,原式=4-4=-3.,1.已知x2-y2=6,x+y-2=0,求x-y-5的值.,解析因为x2-y2=6,所以(x+y)(x-y)=6.因为x+y-2=0,所以x+y=2.所以2(x-y)=6,即x-y=3.所以x-y-5=3-5=-2.,2.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,倒过来是a2-b2=(a+b)(a-b),它的运用同样很广泛,你能利用它解决一些实际问题吗?请你计算(12+32+52+992)-(22+42+62+1002).,解析原式=(12-22)+(32-42)+(52-62)+(992-1002)=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+(99-100)(99+100)=-(1+2+3+4+99+100)=-=-5050.,3.如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,求x2-y2的值.,解析因为(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,所以x+y-3=0,x-y+5=0,即x+y=3,x-y=-5.所以x2-y2=(x+y)(x-y)=3(-5)=-15.,1.观察下列各式,探索发现规律:22-1=13;42-1=15=35;62-1=35=57;82-1=63=79;102-1=99=911;用含正整数n的等式表