数字信号处理课程设计-巴特沃斯低通滤波器设计.doc

燕山大学课程设计说明书 摘 要随着集成电路技术的发展，各种新型的大规模和超大规模集成电路不断涌现集成电路技术与计算机技术结合在一起， 使得对数字信号处理系统功能的要求越来越强。DSP 技术就是基于VLSI技术和计算机技术发展起来的一门重要技术，DSP 技术已在通信、控制 信号处理、仪器仪表、医疗、家电等很多领域得到了越来越广泛的应用.在数字信号处理中数字滤波占有极其重要的地位。数字滤波在语音信号、图象处理模式识别和谱分析等领域中的一个基本的处理技术。与模拟滤波相比数字滤波具有很多突出的优点，主要是因为数字滤波器是过滤时间离散信号的数字系统，它可以用软件(MATLAB)或用硬件来实现，而且在两种情况下都可以用来过滤实时信号或非实时信号。关键字：巴特沃斯低通滤波器，MATLAB，脉冲相应不变法目 录摘要 1第1章 引言 3第2章 设计内容 3第3章 设计原理 3 3.1 巴特沃斯低通滤波器设计原理3 3.2 脉冲响应不变法7第4章 软件仿真12 4.1 命令介绍 12 4.2 仿真过程仿真图 13第5章 结论15第6章 总结15参考文献 16第1章 引言 本次课程设计将使用脉冲不变响应法设计一个巴特沃斯低通滤波器，并用MATLAB软件显示出波形。根据结果和学过的理论得出合理的结论。第2章 设计内容 已知给定技术指标为：，采样频率。按照以上技术要求的，用脉冲响应不变法设计巴特沃斯低通滤波器,用MATLAB仿真观察幅频特性曲线，相频特性曲线。第3章 设计原理3.1 巴特沃斯滤波器设计原理巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种，巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率曲线最光滑，最大限度的平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零.模拟滤波器的设计指标有，。其中和分别称为通带截止频率和阻带截止频率；和分别是通带中的最大衰减系数和阻带中的最小衰减系数，和一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示为 （3-1） （3-2）如果处幅度已归一化到1，即，则和表示为 （3-3） （3-4）以上技术指标可有图表示，图中称为3dB截止频率，因为，。 图1 一阶巴特沃斯低通滤波器 图2 一阶至五阶巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是 （3-5）式中N为整数，是滤波器的阶次。时，；当时，所以称为半功率点，此时通带内衰减，所以又称为截止频率。巴特沃斯滤波器的振幅特性如图，由图可见，当时，随加大，幅度迅速下降。下降的速度与阶次N有关，N越大，幅度下降速度越快，过渡带越窄。由于滤波器幅度特性在通带范围内接近1，在阻带内迅速的接近0，因而振幅特性更接近理性的频率特性。将幅度平方函数写成s的函数 （3-6）此时表明幅度平方函数由2N个极点，极点用下式表示 （3-7）这2N个极点分布在s平面半径为的圆上，角度间隔是弧度。N=3时，极点间隔为60度，极点对虚轴是对称的，且不会落在虚轴上，当N是奇数时，实轴上有极点；当N为偶数时，则实轴上没有极点。为形成稳定的滤波器，去s左半平面的N个极点构成，即 （3-8）化简上式得 因为k为整数，所以k=0，1，2。所以巴特沃斯滤波器的N个极点为 （3-9）设N=3，则极点有6个，分别为 ， （3-10） ， （3-11）取s平面左半平面的极点构成： （3-12）归一化频率问题由滤波器的系统函数，可见和有关，即使滤波器的幅度衰减特性相同，只要不同，就不一样。为了设计统一，可将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率归一化，归一化后的表示为 （3-13）式中，为归一化极点，用下式表示 （3-14） 这样，只要根据技术指标求出阶数N，便可按照上式求出N个归一化极点，查表得到，另外，表中还给了因式分解形式中的各个系数，这样只要求出阶数N，查表可得到各个极点。阶数N的确定阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该有技术指标，确定，将带入幅度平方函数中，再将幅度平方函数带入上式，得到 （3-15）将带入上式，再将带入，得到 （3-16）化简得 （3-17）令，则N由下式表示 （3-18）用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率，如果技术指标中没有给出，可以按照 （3-19） （3-20）若采用第一个式子，则阻带指标有富裕量；如果用第二个式子，则通带指标有富裕量。3.2 脉冲响应不变法 （1）脉冲响应不变法的核心是通过对连续函数等间隔采样得到离散序列，使（其中T为采样间隔）,因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下 设模拟滤波器只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将用部分分式表示，则 （3-21）式中，为的单阶极点。将进行拉氏逆变换得到 （3-22）式中，单阶阶跃函数。对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 （3-23）对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数 （3-24）由这一转换过程看出，它对部分分式表达的模拟系统函数更为方便，对任一极点，到得转换可直接用下式来完成 （3-25） 从上述可以看出1 S平面的单极点变换到z平面上处的单级点。2 与的部分分式的系数是相同的，都是。3 如果模拟滤波器是稳定的，所有极点位于s平面的左半平面，及极点的实部小于零，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即模小于1，因此数字滤波器也是稳定的。 （2）与的关系下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里以采样信号作为桥梁，推导其映射关系。将的采样信号用表示， （3-26）对进行拉式逆变换，得到 （3-27）式中，是在采样点t=nT时的幅度值，它与序列的幅度相等，即，因此得到 （3-28）上式说明采样信号的拉氏变换与相应的Z变换之间的映射关系为 （3-29）已知模拟信号的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换之间的关系满足 （3-30）其中，将带入上式，得 （3-31） （3-32）上式表明将模拟信号的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期延拓后，再按上式的映射关系映射到Z平面上，就得到H(z)。可称为标准映射关系。 图3 冲激响应不变法的映射关系设 则得到： （3-33）那么 上面关系说明，s平面左半平面O映射z平面的单位圆（r=0）内，s平面的虚轴映射z平面的单位圆（r=1）,s平面右半平面映射z平面单位圆（r1）外。这说明：第一，如果因果稳定，转换后得到仍是因果稳定的；第二，数字滤波器频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，满足转换关系的两点要求。与二者关系可由上式导出，考虑，且，则得到 （3-34）这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应以为周期的周期延拓。因而正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是有限的，且带限与折叠频率以内时，即 ， （3-35）才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 ， （3-36）3 频率混叠现象实际上，任何一个模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。如果原模拟信号的频带不是限于之间，则会在的奇数倍附近产生频谱混叠。若设计的滤波器是带限的， ， （3-37）说明用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很好的重现原模拟滤波器的频响。上式中，的幅度特性与采样间隔成反比，这样当T较小时，就会有太高的增益，为避免这一现象，令 （3-38）那么 （3-39）此时 （3-40） 由以上分析可以看出，脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即。如果不考虑频率混叠的现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现模拟滤波器的频率特性；另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好，其缺点是会产生频率混叠现象。所以它适合低通带通滤波器的设计，不适合高通带阻滤波器的设计；并且对与带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。第四章 软件仿真4.1 命令介绍Butter：b,a=butter(N,wc)设计N阶低通滤波器，wc为它的3dB边缘频率，以为单位，故0w1。Buttord：为了设计任意的选频巴特沃斯滤波器，必须知道阶数N和3dB边缘频率wc，如果已知滤波器指标则调用格式为N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As)，对于低通滤波器，wpwsFreqz：H,w=freqz(b,a,N)，输出变元H是系统的频率特性，它是一个N元得复数向量，输出变元w是数字频率向量，它把0到pi均分为N份，分辨率，输出变元b,a分别是分子分母多项式的负幂系数向量，输出变元N为频率点数Abs：abs(H),为取H的幅度Subplot：将多个图画到一个平面上的工具，subplot(m,n,p),m表示图拍成m行，n表示图拍成n列，p指第p个图Plot：plot(x,y)，用于绘制二维曲线，横坐标是x，纵坐标是y，x,y向量的数目必须相等Axis：axis(x1,x2,y1,y2),xi和x2用于确定横坐标的范围，y1和y1用于确定纵坐标的范围Unwrap:unwrap(w)就是解卷绕，使相位不发生跳变，从而反映出真实的相位变化。Grid on：在所绘制的图形中产生网格线4.1 仿真过程与仿真图数字滤波器的设计步骤滤波器参数要求 参数变换 巴特沃斯模拟低通滤波器 离散化处理由模拟变换为数字巴特沃斯低通滤波器 相位特性 幅度特性 波形图图4 设计流程图MATLAB程序Fs=1000; fp=100; fs=300; Ap=3; As=20;Wp=fp/(Fs/2);Ws=fs/(Fs/2);N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As);b,a=butter(N,Wc);H,F=freqz(b,a,500,Fs);subplot(2,2,2)plot(F,20*log10(abs(H) xlabel(频率(Hz); ylabel(幅度(dB) axis(0 500 -30 3);grid onsubplot(2,2,1)plot(F,abs(H); xlabel(频率(Hz);ylabel(幅度);title(低通滤波器)grid on;subplot(2,2,3)pha=unwrap(angle(H)*180/pi);plot(F,pha);xlabel(频率(Hz); ylabel(相位(dB)grid on MATLAB仿真图图4 巴特沃斯数字低通滤波器MATLAB第5章 结论由图4的，经MATLAB仿真，利用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器已经达到了设计的要求。第6章 总结本次经过一周的课程设计，让我们更熟悉了数字信号处理的基本知识和MATLAB的m语言，让我们把课上的理论知识运用到实际中去，让我们更近一步地巩固了课堂上所学的理论知识，并能很好地理解与掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。因为学过数字信号处理这门课，但这只是理论知识，通过实验我们才能真正理解其意义。语音信号处理在以前的学习中并没有怎么接触，但是通过网上查找资料，我很快的理解了其基本原理。经过这次的