高中教学课件《几种常见函数的导数》.ppt

几种常见函数的导数,1.导数的概念,前课复习,2、函数在一区间上的导数：,如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,即,前课复习,3.求函数的导数的方法是:,说明:在这种方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.,5.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.,6.求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,前课复习,4.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。,根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.,公式1:,公式2:,请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.,新课教学,你能否用二项展开式的性质与导数的定义对其加以证明？,新课教学,公式2:,公式3:,要证明这个公式,必须用到一个常用极限,公式4:,练习：课本P115练习1,2,练习:曲线y=sinx在点P()处的切线的倾斜角为_.,新课教学,例1:求过曲线y=cosx上点P()且与过这点的切线垂直的直线方程.,注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.,例2:已知直线m与曲线在点P(1,1)处的切线平行且距离等于,求直线m的方程.,设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:,故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.,例题讲解,例3:求双曲线与抛物线交点处切线的夹角.,例题讲解,例4:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.,解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.,由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0)=-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.,这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.,例题讲解,1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1)(c为常数;(2);(3);(4),2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式.,3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性问题.,课堂小结,附录：基本初等函数求导公式:,例:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.,说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别.在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.,解:设所求切线的切点在A(x0,y0).,因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02.,又因为函数y=x2的导数为所以过点A(x0,y0)的切线的斜率为,由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又应为.,联立,解得:,补充习题,故切点分别为(1,1)或(5,25).,当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;,当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10;,所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10 x-25.,练习:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有:y0=3x0+1,y0=ax