实际问题与一元一次方程_1

1 / 15 实际问题与一元一次方程 实际问题与一元一次方程 【本讲教育信息】 一 .教学内容： 1.体会数学建模思想 . 2.进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题 . 二 .知识要点： 1.数学建模 这里所讲的数学建模是利用数学方法（一元一次方程）解决实际问题的一种实践 .即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式（一元一次方程）表达，建立起数学模型，然后运用数学方法进行求解 .建立数学模型的这个过程就称为 数学建模 . 2.用一元一次方程解决实际问题的几个注意事项 （ 1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理 . （ 2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等 . （ 3）要养成 “ 验 ” 的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义 . （ 4）不要漏写 “ 答 ” 、 “ 设 ” 和 “ 答 ” 都不要丢掉单位名2 / 15 称 . （ 5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真 . 三 .重点难点： 1.重点：进一步体现一元一次方程与实际的密切联系，渗透数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力 . 2.难点：本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地列方程是主要难点 .突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系 . 【典型例题】 例 1.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示 .小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳 钉成一个长方形，如图中虚线所示 .小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？ 分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽 .根据题意可设长方形的长为 x，则长方形的周长为 2x 210 ，梯形的周长为 10 10 10 6 10 6 52.则 2x 20 52，从而解3 / 15 得 x 16. 解：设小明所钉长方形的长为 x，根据题意得： 2x 210 10 10 6 10 6 10 整理得， 2x 20 52 解得， x 16 由于饰物变化前后长度为 10 的边没有变化，所以长方形的一边长为 10 厘米 . 答：长方形的长为 16 厘米，宽为 10 厘米 . 评析：图形变化问题的等量关系往往是变化前后的周长相等、面积相等、体积相等 . 例 2.一批货物，甲把原价降低 10 元卖出，用售价的 10%做积累，乙把原价降低 20 元，用售价的 20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？ 分析：设这批货物的原售价为 x 元，则甲的积累是（ x 10）10% 元，乙的积累是（ x 20） 20% ，相等 关系是：甲的积累乙的积累 . 解：设这批货物的原售价为 x 元，根据题意得： （ x 10） 10% （ x 20） 20% 化简得： x 10 2（ x 20） 即 x 10 2x 40 解得 x 30 4 / 15 答：这批货物的原售价为 30 元 . 评析：这个问题的相等关系比较简单，难点是对两个百分数的处理 . 例 3.（ XX 年广东湛江）某足球比赛的计分规则为胜一场得3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分 .一个队踢 14 场球负 5场共得 19 分，问这个队胜了几 场？ 分析：根据题意，所得的 19 分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分，而踢胜的场数和踢平的场数共 14 5 9 场，如果设胜了 x 场，那么踢平的场数就是 9 x 场 .分别乘它们的分值，和为 19. 解：设胜了 x 场，根据题意得： 3x 1 （ 14 x 5） 19 即 3x 9 x 19 解得 x 5 答：这个队胜了 5 场 . 评析：积分多少与胜、平、负的场数相关，同时也与比赛积分规定有关，如果对体育比赛有一定了解，会有助于理解题意 . 例 4.（ XX 年安徽）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了 5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用5 / 15 反而比上个月增加了 14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率 . 分析：数量关系如下表： 上个月 这个月 石油进口量 1 1 5% 进口石油费用 1 1 14% 石油价格 1 1 x 解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为 x.根据题意得： （ 1 x）（ 1 5%） 1 14% 解得 x 20% 答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为 20%. 评析：借助表格来分析较复杂的数量关系 .这道题所用的相等关系是：数量 价格费用 . 6 / 15 例 5.（ XX 年上海） 2001 年以来，我市药店积极实施药品降价，累计降价的总金额为 269 亿元 .五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了 XX 年， XX 年的相关数据 .已知 XX 年药品降价 金额是 XX 年药品降价金额的 6 倍，结合表中信息，求 XX 年和 XX 年的药品降价金额 . 年份 2001 XX XX XX XX 降价金额（亿元） 54 35 40 分析：相等关系较为明显，可以根据累计降价的总金额为269 亿元列方程，结合表格如果设 XX 年降价金额为 x 亿元，则 XX 年降价金额为 6x 亿元，有 54 x 35 40 6x 269. 解：设 XX 年降价金额为 x 亿元，根据题意得： 7 / 15 54 x 35 40 6x 269 整理得， 7x 140 解得， x 20 6x 620 120 答： XX 年和 XX 年药品降价金额分别是 20 亿元和 120 亿元 评析：这个问题是以表格形式传递信息的，这种形式在现实中很普遍，重点培养从不同形式获取有关数据信息，是值得注意的问题 . 例 6.（ XX 年希望杯初一第 1 试）初一（ 1）班有学生 60 人，其中参加数学小组的有 36 人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少 5 人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多 2 人，则同时参加这两个小组的人数是（） 分析：数量关系如下： 全班共 60 人； 参加数学小组的36 人； 参加英语小组的是 36 5 31 人； 设同时参加两个小组的人数是 x 人； 两个小组都不参加的人数是（ x 2）人 .如图所示，可以得另外两个数量关系： 只参加数学小组的（ 36 x）人； 只参加英语小组的（ 31 x）人 .图中四部分相加和为 60.即（ x 2）（ 36 x）（ 36 5 x） x 60.解得： x 12. 8 / 15 解： B 评析：这道题的数量关系非常复杂，但是结合图形可以使其变得很明朗 . 【方法总结】 应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型 .从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础 .没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一 .数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用 所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一 . 【模拟试题】（答题时间： 60 分钟） 一 .选择题 1.实验中学七年级（ 2）班有学生 56 人，已知男生人数比女生人数的 2 倍少 11 人，求男生和女生各多少人？下面设未知数的方法，合适的是（） A.设总人数为 x 人 B.设男生比女生多 x 人 c.设男生人数是女生人数的 x 倍 D.设女生人数为 x 人 2.甲厂的年产值为 7450 万元，比乙厂的年产值的 5 倍还多9 / 15 420 万元，若设乙厂的年产值为 x 万元，下列所列方程中错误的是（） 420 5x 420 （ 5x 420） 420 7450 3.某种品牌的彩电降价 30%后，每台售价为 a 元，则该品牌彩电每台原价应为（） 元元 c.元 D.元 、 B 两城相距 720km，普快列车从 A 城出发 120km 后，特快列车从 B 城开往 A 城， 6h 后两车相遇 .若普快列车是特快列车速度的，且设普快列车速度为 xkm/h，则下列所列方程错误的是（） 6x 6x 120 6（ x x） 6x 120（ x x） 120 720 5.用两根长 12cm 的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为21 的长方形，则长方形和正方形的面积依次为（） 和和和和 32cm2 *6.有一位旅客携带了 30kg 重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带 20kg 重的行李，超重部分每千克按飞机票价格 %购买行李票，现该旅客购买了180 元的行李票，则他的飞机票价格应是（） 元元元元 10 / 15 二 .填空题 1.（ XX 年河北）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40 元，则 原价为 _元 . 2.买 4 本练习本与 3 枝铅笔一共用了元 .已知铅笔每枝元，则练习本每本 _元 . *3.一个长方形鸡场的一边靠墙，墙的对面有一个 2m 宽的门，另三边（门除外）用篱笆围成，篱笆总长 33m，若鸡场的长 宽 32 （尽量用墙），则鸡场的长为 _m，宽为 _m. 4.某市居民 XX 年末的储蓄存款达到 9079 万元，比 XX 年末的储蓄存款的 15 倍还多 4 万元，则 XX 年末的存款为_. 5.（ XX 年甘肃省白银）某商店销售 一批服装，每件售价 150元，打 8 折出售后，仍可获利 20 元，设这种服装的成本价为每件 x 元，则 x 满足的方程是 _. *6.（ XX 年广东茂名）依法纳税是每个公民应尽的义务，新的中华人民共和国个人所得税法规定，从 XX 年 3 月 1日起，公民全月工薪不超过 2000 元的部分不必纳税，超过2000 元的部分应缴纳个人所得税，此项税款按下表分段累进计算 .黄先生 4 月份缴纳个人所得税税金 55 元，那么黄先生该月的工薪是 _元 . 全月应纳税所得税额 11 / 15 税率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% 三 .列方程解应用题 1.（ XX 年吉林）据某统计数据显示，在我国的 664 座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市 .其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的 4 倍少 50 座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的 2倍 .求严重缺水城市有多少座？ *2.甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务，规定两人各加工这批服装的一半，已知乙的工作效率相当于甲的，工作了 8 小时，甲完成了自己的任务，这时乙还差 24 件服装没有完成 .这批服装共有多少件？ 3.如图所示，小红将一个正方形剪去一个宽为 4cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为 5cm 的长条 .若两次剪下的长条面积正好相等，那么每一12 / 15 长条的面积为多少？原正方形的面积为多少？ *4.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节约用水的 目的 .该市规定了如下的用水标准：每户每月的用水不超过 6m3 时，水费按每立方米 a元收费；超过 6m3 时，不超过部分每立方米仍按 a 元收费，超过部分每立方米按 b 元收费 . 该市居民张大爷一家今年 3、 4 月份的用水量和水费如下表： 月份 用水量 /m3 水费 /元 3 5 4 9 27 设该户每月用水量为 x（ m3），应缴水费 y（元） . （ 1）求 a、 b 的值，写出用水不超过 6m3 和超过 6m3 时， y与 x 之间的代数表达式； （ 2）若张大爷一家今年 5 月份的用水量为 8m3，该户 5 月份应缴的水费是多少？ 13 / 15 *5.振华中学为进一步推进素质教育，把素质教育落到实处，利用课外兴趣小组活动开展棋类教学活动，以提高学生的思维能力，开发智力，七年级一班有 50 名同学，通过活动发现只有 1 人象棋、围棋都不会下，有 30 人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多 7 人 . （ 1）若设会下围棋的有 x 个人，你能列出方程并证明 x 是35、 36、 37 三个数中的哪一个吗？ （ 2）你知道只会下象棋不会下围棋的人数吗？ 【试题答案】 一 .选择题 二 .填空题 （提示：可设长为 3x，宽为 2x，则 3x 2x 2x 2 33） 14 / 15 万元 20 150 提示：设黄先生 4月份的工薪是 x元，如果 x在 2000元 2500元，则 5%（ x 2000） 55，解得 x 3100，不符合题意；如果 x 在 2500 元 4000 元，则 10%（ x 2000 500） 5%500 55，解得 x 2800.所以黄先生 4 月份的工薪是 2800 元 . 三 .列方程解应用题 1.解：设严重缺水城市有 x 座，根据题意得： 4x 50 2x x 664 解得， x 102 答：严重缺水城市有 102 座 . 2.解：设甲每小时加工服装 x 件，则乙的工作效率是每小时加工 x 件，根据题意