山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第14章完全四边形.doc

第14章 完全四边形我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形六个交点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线如图14-1，直线，两两相交于、六点，即为完全四边形线段、为其三条对角线设与交于点，则称其为对角三角形完全四边形中，既有凸四边形，凹四边形，还有折四边形以及四个三角形即凸四边形，凹四边形，折四边形，四个三角形是，每个四边形的对边称为完全四边形的对节，一个完全四边形共有六对对节完全四边形有一系列有趣的性质沈文选完全四边形的有没性质J中等数学，2006（8）：17-20沈文选完全四边形的性质应用举例J中等数学，2006（10）：16-20沈文选有约束条件的完全四边形的有没性质与竞赛命题J中等数学，2007（2）：17-22沈文选完全四边形的点及其应用J中学教学，2006（4）：36-39沈文选走向国际教学奥林匹克的平面结合试题诠释（下）哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2007：204-217性质1 完全四边形的三条对角线的中点共线，此线称为牛顿线此即完全四边形的三条对角线，的中点，共线证明 如图14-1，分别取，的中点， 于是，在中，三点共线；在中，三点共线；在中，三点共线由平行线性质，有对及截线应用梅涅劳斯定理，有，即有再对应用梅内劳斯定理的逆定理，知，三点共线注：此性质还可有10余种证法沈文选完全四边形的有没性质J中等数学，2006（8）：17-20沈文选完全四边形的性质应用举例J中等数学，2006（10）：16-20性质2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割如图14-2，在完全四边形中，若对角线所在直线分别与对角线，所在直线交于点，则若，则由，即证（此时，也可看做直线，相交于无穷远点，也有下面的，两式）若不平行于，则可设两直线相交于点，此时，还有，下面仅证明当不平行于时，有，其余两式可类似证明证明 对及点应用赛瓦定理，有对及截线应用梅涅劳斯定理，有上述两式相除（即），可得注：对及点和截线分别应用赛瓦定理和梅涅劳斯定理可得对及点和截线分别应用赛瓦定理和梅涅劳斯定理可得性质3 完全四边形的四个三角形，的外接圆共点，点称为它的密克尔点证明如图14-3，设与的外接圆交于点外，还交于点设点在直线，上的射影分别为，则对应用西姆松定理，知，共线又设点在上的射影为，则对应用西姆松定理，知，共线，故，四点共线对和分别应用西姆松定理的逆定理，知在，的外接圆上，故四个三角形的外接圆共点注：直线又称为完全四边形的西姆松线此性质也称为完全四边形的密克尔定理性质4 过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行对角线的同一端点所在的边（或其延长线）相交，所得线段被此对角线所在直线的交点平分（可参见第15章线段的调和分割定理2的推论3）证明如图14-4，设，分别为完全四边形的三条对角线所在直线的交点（i）过作与平行的直线交于，交于，交于，与的延长线交于点，则须证，事实上，由完全四边形对角线调和分割定理有又，则从而由，则从而(ii)过作与平行的直线，交于，交的延长线于点，交的延长线于，变于同（1）的证明一样，可得（iii）过点作与平行的直线，交的延长线于，交的延长线于，交的延长线于，交的延长线于同（1）的证明，可得综上，我们便完成了结论的证明注：由上述优美的性质，容易想到蝴蝶定理，在这里，我们不妨也把它称为完全四边形的蝴蝶定理性质5 如图14-5，完全四边形中，（1）四个三角形，的垂心四点共线（2）四个三角形，的外心四点共圆（施坦纳圆）（3）以三角对角线为直径的圆共轴，且与四个三角形的垂心乎共线证明 （1）由密克尔定理，设其密克尔点为，即，的外接圆的公共点为，则点关于四个三角形的西姆松线为同一条直线由施坦纳定理（设的垂心为，其外接圆上任一点则关于的西姆松线通过线段的中点）通过点分别与，的垂心的连线段的中点，从而这四个三角形的垂心共线注：该线称为完全四边形的垂心线，它平行于完全四边形的西姆松线（2）设其密克尔点为，四个三角形，的外心分别为，由于与圆和圆的公共弦，则设交于，则同理又，四点共圆，则故，即，四点共圆同理，四点共圆，故， ，五点圆（3）我们证明以完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这条根轴上如图14-6，在完全四边形中，以对角线，为直径作圆这三个圆的圆心就是三条对角线的中点，设，分别为，的垂心，注意到三角形垂心的性质：三角形的垂线是所有过任一条高的两个端点的圆的根心在完全四边形中，显然，的垂心不重合 由于的垂心是三个圆的根心，而对于，在它的边所在直线上的点，的垂心关于以，为直径的远的幂相等，即在这三个圆两两的根轴上同样，对于，在它的边所在直线上的点，其垂心关于以，为直径的圆的相等，以及，均关于以，为直径的圆的幂相等故，均在这三个圆两两的根轴上，即这三个圆两两的根轴重合，亦即共轴，且四个三角形的垂心在这条根轴上 注：此结论又称为高斯定理：分别以一完全四边形的对角线为直径所作的三圆共轴，它们的等幂轴就是完全四边形的垂心线性质6 如图14-7，在完全四边形中，点是对角线所在直线上的一点，联结， 若，则证明 如图14-7所示的各种情形，过点作直线，过，分别作直线于，交于，交于；作直线于，交于，交于，则于是由，知从而 （*）由等比性质，得，所以即有故注：当与重合，与重合时，式（*）变为由此，即知性质7 在完全四边形中，点是对角线所在直线上异于的任意一点，则沈文选善用平台，揭示性质J中学生数学，2009（5）：45-46证明 联结与直线交于点在中及点应用塞瓦定理，有注意到将以上三式代入式（*）得又将上两式代入式，得故注：显然性质7是性质6的推广性质7的前部分证明也可对及截线或对及截线应用梅涅劳斯定理得到类似于的式子性质8在完全四边形中，分别为，的外心，分别为，的垂心，则（1），（2）分别在，上，且四边形 证明如图14-8所示（1）设为其密克尔点，则为圆与圆的公共弦，即知同理，于是，又，故或者，考虑，在边上的射影分别为，的中点，即在边上的射影为的同理，在上的射影为的又在上的射影为，即为的，故同理此时又，从而（2）自作的垂线交于点，联结，由的外心，知及，则，从而，四点共圆，于是又为的外心，知于是即这说明也垂直于，即知为的垂心，即与重合，从而在上过作的垂线交于，联结，则，从而，四点共圆，即有又，即这说明为的垂心，即与重合，故在上过点作的垂线交于，联结，则，于是从而，四点共圆，有又，即，即知为的垂心 从而与重合，故在上过点作的垂线交于点，联结，由为的外心，有及，知，从而，四点共圆，于是又为的外心，知，于是，即这表明也垂直于，即知为的垂心，即与重合，故在上综上知，点，分别在，上下面证四边形由于，共圆，该圆圆心记为，设为的中点，如图14-9所示注意到卡诺定理：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离，等于外心至其对边的距离的2倍，则知，且；，且，从而，即知为平行四边形，于是同理，故四边形性质9 在完全四边形中，四边形有内切圆的充要条件是下列有两条件之一：（1）（2）证明（1）充分性 如图14-10，在上截取，在上截取 联结，则又，则，故分别作，的平分线因为，所以这三个角的平分线所在的直线就是三边的垂直平分线，从而，这三个角的平分线交于一点，设为由角平分线的性质知，到与，与，与的距离均相等，即到四边形的四边距离相等，所以，四边形有内切圆 且为其内切圆的圆心必要性 略（2）充分性 在上截取，在上截取，则，则，的平分线就是的三边的中垂线，同（1）知四边形有内切圆必要性 略性质10 在完全四边形中，四边形有内切圆的充要条件是与的内切圆相处切证明 如图14-11，必要性 当四边形有内切圆圆时，设圆分别切，于点，设的内切圆圆切于点，的内切圆圆切于点，则同理由四边形有内切圆，知，于是再由，可知 从而圆与圆外切于上某一点充分性 设的内切圆圆与的内切圆圆外切于上一点，作的内切圆圆，过作圆的另一条切线分别交直线于，交直线于，作的内切圆圆，则由前面的证明可知圆与圆外切于上一点，再由圆与圆的圆心同在的平分线上，知圆与圆重合 从而与重合，与重合 因此，四边形有内切圆性质11 在完全四边形中，四边形（在内）有旁切圆的充要条件是下列有两条件之一：（1）（2）证明（1）必要性 略充分性 如图14-12，在射线上取点，使得，在射线上取点，使得联结，由则从而，均为等腰三角形 设点为的外心，易知，分别为的三边，的中垂线，即它们分别是，的平分线，则点到四边形各边的距离相等，即知四边形（在内）有旁切圆，圆心为（2）必要性 设旁切圆与四边形分别相切于点，如图14-12所示。则故充分性 类似于（1）而证（略）性质12 完全四边形的牛顿线垂直于西姆松线及垂心线事实上，如图14-13，图中牛顿线为令为西姆嵩县，在西姆松线上的射影为， 由西姆松线的性质9知在与中，有故令的中点为，则亦为的中点 而，分别为梯形与的中位线，故均垂直于，即牛顿线垂直于西姆嵩县性质13 完全四边形的密克尔点至每双对顶点的距离之乘积彼此相等事实上，如图14-14，由，有，即同理性质14 通过完全四边形没对对节的中心及它们所在边的交点作圆，这样所作的六圆共点事实上，如图14-14，作出密克尔点，联结，则有，则，设，分别是，的中点，联结，则，这说明了圆过点 其余仿此性质15 在完全四边形的没对对节中，自此节点的中点向他节引垂线，所引两垂线的交点必落在完全四边形的垂心线上事实上，如图14-14，设，是完全四边形的对节，的中点，为密克尔点，为的垂心（，）注意到对的西姆松线就是完全四边形的西姆松线，所以的中点在上所以在完全四边形的垂心线上 余类推性质16完全四边形各边交成四个三角形，若通过每个三角形的垂心及任两顶点作圆，则所作12个圆除三三交于四个三角形他四点，这四点同在完全四边形的垂心线上事实上，如图14-15，设，分别为，的垂心，设圆交垂心线于，有，（，）所以，故圆也过，所以又，所以，故圆也过点，即圆，圆，圆共点于，且在上，余类推其中，性质17 完全四边形的密克尔点在对角三角形的九点圆上，且该密克尔点对于对角三角形的中点三角形的西姆松线重合于完全四边形的西姆松线证明 如图14-16，设为完全四边形的密克尔点，作，直线与交于点注意到：自四边形的对角线交点引线平行于每边而与对边（所在直线）相交的四交点共线，知，共线于，（也可证等）因为，的中点在，上，所以且过的中点故是对角的中点三角形的一边的线由，有，即从而下面证明圆过密克尔点 由，有，又，则注意到，则故，共圆，所以在上射影共线（西姆松线）所以对的射影在对，的射影的连线上，即对的射影在完全四边形的西姆松线上性质18在完全四边形中，过、作与对角线平行的直线分别交对角线于、，连结、相交于点，则点在直线上证明 延长交于点对及点应用塞瓦定理，有（*）由，有，将上述三式代入（*）式得又由，有于是上式变为对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知、共线，故点在直线上例l（1999年全国高中联赛题）在凸四边形中，对角线平分，是边上一点，交于，交于求证：证明如图14-18，在完全四边形中，点为对角线所在直线上一点，由题设知由性质6，即知例2（IM0-43预选题，2003年国家队集训测试题）已知圆，与圆交于、两点，、为圆，上不同于、的两个点，直线，分别交圆于、，直线和交于点证明：当点和变化时，的外心在一个圆上证明 如图14-19，当点和，变化时，点、组成完全四边形的六个顶点，由性质5知点恰为全四边形的密克尔点，由此即知的外心在完全四边形四个三角形的外接圆圆心所在的圆（即斯坦纳圆）上例3（1996年第37届IMO中国国家队选拔赛试题）以的边为直径作半圆，与、分别交于点、过、作的垂线，垂足分别为、线段、交于点求证：证明如图14-20，连结与，设它们相交于点，因，则为的垂心，于是又，则由性质18，得点在上，于是例4（2008年中国国家集训队测试题）设一条直线截的三边、所在直线于、三点，、分别是、的外心求证：的垂心位于直线上证法l 先证如图14 - 21，作、的外接圆、设它们的另一个交点为联结、，由，这表明、四点共圆，即的外接圆也经过点（事实上，为其密克尔点）而是和的根轴，是和的根轴，得，由此，同理， 这就表明以下用同一法来证明的垂心位于直线上如图，自作的垂线与直线交于点，联结、因是的外心，易知；另一方面，由此可知，得四点共圆因此，而是的外心，知于是，即上式表明也垂直于这就说明是的垂心，它的确位于直线上证法2 在完全四边形中，应用性质8（3）印证例5（2005年国家集训队训练题）已知，是边，的中点，是边，上的高，联结，交于点又设，分别是的外心、垂心，联结，求证：证明如图14-22，显然，及，分别四点共圆，其直径分别为，其圆心，分别为，的中点从而注意到，四点共圆（该圆即为的九点圆，其圆心为的中点）此时，完全四边形（或）的密克尔点在对角线所在直线上（第24章定理4）于是，为和的公共弦，从而故注：由于的圆心为，而为完全密克尔点，则例6(数学教学2005 (8)数学问题652)在中，为边上的中线，分别为，上的高，设，交于点直线，交于点求证：证明如图14-23，显然，四点共圆在完全四边形中，密克尔点在对角线所在直线上，且（第24章定理4）在完全四边形中，密克尔点在对角线所在直线上，且（第24章定理4）从而为的垂心，故例7(中等数学2011（2）训练题）已知锐角，过点、的与边、分别交于点，为外接圆的弧上一点 证明：、三线共点的充分必要条件是的内心与的内心重合证明 必要性如图14-24，设，共点于，与交于点，设的半径为由于，则知直线与必相交，不妨设交于点，联结交于点，则在完全四边形中，为其密克尔点，且（第24章定理4）又在完全四边形，中，设其密克尔电分别为，则在直线上，且；在直线上，且（第24章定理4）于是即知为的垂心，从而即知所以与重合，由有，即知，及，分别四点共圆由，及三角形内心性质，知为，的内心充分性设是，的共同内心，则，因此而，则，即知， ，四点共圆从而为完全四边形的密克尔点，即有（第24章定理4）又由必要性中证明知， 故，共线，即，共点例8 两圆与相交于、两点，过点的割线段、分别交于、，交于、，直线与直线交于点求证：证明 如图14-25，由性质13即证 事实上，由，有，从而由，四点共圆，从而，注意到，于是，即有，从而故注：对于图14-26，令，则，均为定值为定值由，或，知注意到为完全四边形的密克尔点，则同前述证明有对于图14-27，令，则，为定值 因为完全四边形的密克尔点，则，及，分别四点共圆 于是，故为定值由，知注意到为完全四边形的密克尔点，则同前述证明有练习十四1在完全四边形中，写