毕业设计（论文）-基于分数阶傅里叶变换的chirp信号参数估计及代码.doc

摘 要线性调频信号即LFM信号是一种在雷达，通信，声纳，地震探测等领域中有着重要作用的非平稳信号。因为LFM信号是一种非平稳信号，对它进行参数估计会比较复杂，现在的处理方法大多是使用时频面上的二维峰值搜索。分数阶傅里叶变换是时频变换中的一种，因为它在处理多分量LFM信号时不会产生交叉项，所以在LFM信号的参数估计中得到了广泛的应用。本文首先介绍了分数阶傅里叶变换的基本定义及性质，然后介绍了变换的离散算法中的采样型算法，即Ozaktas采样型算法和Pei采样型算法，并使用这两种算法在matlab上进行了LFM信号参数估计的仿真实验。在论文的安排上，首先介绍了题目的背景和所做的工作；然后，介绍了离散分数阶傅里叶变换的定义及计算过程，还有使用这些算法进行参数估计时的计算方法；之后，讲述了的仿真过程和结果；最后，对实验结果进行了分析和主观评估。关键词：分数阶傅里叶变换；线性调频信号；参数估计；离散算法AbstractThe LFM signal is a kind of non-stationary signal ,which plays an important role in the field of radar, communication, sonar, seismic detection etc.Because of LFM signal is a nonstationary signal, so the parameter estimation for it is more complex. now most of the method toestimation itparameter,is two-dimensional peak search onime-frequency plane .Fractional Fourier transform is one kind of frequency conversion, because when its processing the multi-component LFM signal it will not get cross terms. so ithas been widely usedin the parameter estimation of LFM signal .This article first introduces tthen introduces the discrete fractional Fourier transform algorithm type of sampling algorithm, and use these two kinds of algorithm do parameter estimation of LFM signal simulation experimenton matlab.On the arrangement of the thesis, the author firstly introduces the background of the topic and the authors have done;Then, this paper introduces the definition of discrete fractional Fourier transform and the calculation process, and using these algorithms for parameter estimation method;After, tells the way of the process and results of the author;Finally, the experimental results are analyzed and subjective evaluation.Keywords: FRFT；LFM signal；parameter estimation；disperse calculate55目录第1章 引 言11.1 应用背景及其意义11.2 研究的现状2第2章 离散分数阶傅里叶变换72.1 分数阶傅里叶变换72.1.1 分数阶傅里叶变换的定义72.1.2 分数阶傅里叶变换的性质92.2 离散分数阶傅里叶变换112.2.1 离散分数阶傅里叶变换简介112.2.2 Ozaktas采样型算法122.2.3 Pei采样型算法162.3 基于FRFT的LFM信号参数估计的理论模型182.3.1 基于Ozaktas算法的参数估计模型192.3.2 基于Pei算法的参数估计模型21第三章 基于DFRFT的LFM信号参数估计223.1 引言223.1.1主要技术和方法223.1.2问题总结与分析233.2 算法设计及实验分析243.2.1 使用FFT来对LFM信号进行参数估计243.2.2 基于Ozaktas算法的参数估计273.2.3 基于Pei算法的参数估计31第4章 对实验结果的分析394.1两种算法对参数估计的实验结果分析394.2仿真程序的展示界面40第5章 总结与展望43致 谢44参考文献45第1章 引 言1.1 应用背景及其意义LFM信号是时变信号中的一种的典型代表，线性调频信号（LFM信号）1可以说是无所不在的。由于线性调频信号有时带积大的特点，所以它在雷达、通信、声纳、地震探测等众多的研究领域有非常广泛的应用。例如在雷达系统中，采用线性调频信号来作为调制发射的脉冲时，会有较大时带积，可以提高雷达的探测距离和雷达探测的准确度。在地质信息的探测中，常常通过地震波在各个地层中的散射，折射和吸收情况来判断地底的实际状况，而这些研究都是要通过研究地震波中的线性调频分量来一一分析的。在其他的领域中比如说是物理学，医学等学科中，也存在很多频率会随时间变化的信号，学者们通常把它们类比成为“线性调频信号”来进行数学处理。除此之外，在空间阵列信号的运算中，当信号源处在近场附近的时候，沿线性阵列分布所得到的信号可以近似为线性调频信号。线性调频信号是一种典型的非平稳信号，它的频率会随着时间的变换而线性的增加或者减少，这是由它的调频率所决定的。而时频分布是分析非平稳信号的一种最为简结且较为有用的研究方法，在经过了几十年学者的不断研究之后，关于时频分布的理论已经较为全面了，并在实际研究中有了非常广泛的使用。LFM信号（线性调频信号）是时频分布中最常用也是最有用的信号模型之一8，它的时频特征非常简单且直观，它在时频平面上就是为一条过零点直线，而且任何一个在时频域上较为复杂的信号都可以由多个线性调频信号的加权叠加来近似合成。所以，对线性调频信号（LFM信号）的研究有着非常重要的意义和实用价值。在处理简单的平稳信号时，傅里叶变换是一个有效且十分有用的工具，但当信号变成是非平稳信号的时侯，傅里叶变换对于这些复杂的信号就不再适用了。因为对原始信号进行傅里叶变换所得到的是原始信号在频域的“整体频谱”，而不是原始信号的“局部信息”。所以为了可以方便的分析和快速的处理常见的非平稳信号，学者们对”傅里叶变换“进行了非常深入研究，并已经推广和改进出一系列新的研究非平稳信号的理论方法，就比如短时傅里叶变换(STFT)、小波变换、魏格纳变换、分数阶傅里叶变换等等。其中的分数阶傅里叶变换（FRFT）是可以定义为将原始信号分解为一系列的不同加权的正交的线性调频基，通过它的定义我们可以认为它是一种一维线性变换，对原始信号进行不同阶次下的分数阶傅里叶变换就可以理解为将原始信号在时频平面上进行不同角度下的旋转并展示出原始信号在不同的角度下的时域频域的图像，所以它更适合来分析和处理类似于线性调频信号的这样的非平稳信号。所以在本文将使用分数阶傅里叶变换来作为分析和处理线性调频信号的工具。使用分数阶傅里叶变换在处理线性调频信号的时侯，线性调频信号在分数阶傅里叶域上表现出能量聚集性，而且在处理多分量线性调频信号时没有交叉项之间相互干扰的问题，所以在使用分数阶傅里叶变换作为线性调频变换的工具时将会有非常大的优势。但是这种算法也有一些缺点，基于分数阶傅里叶变换的LFM信号的参数估计因为存在有二维峰值搜索算法这样的计算量较大的算法而计算量大，特别是在参数的估计精度要求较高的情况下，这种算法的计算量将会是很大的，这些缺点使得这种算法不利于算法的硬件实现也限制了它的使用环境和范围。1.2 研究的现状线性调频信号（LFM信号）作为一种典型的非平稳信号，线性调频信号信号的快速检测和有效的参数估计一直以来就是现代的信号处理中重点中的重点，它可以近似的认为是一类非平稳信号的瞬时频率的参数估计这样的问题。在过去的很长的一段时间里，线性调频信号的最大似然估计被人们认为是估计线性调频信号的参数的最直接简单最有效有用的算法，但从实际上说它就是一个多变量的函数的优化选择问题，而且在实际的应用中常常会因为它需要进行多维的峰值搜索运算，所以这种算法的计算量就会很大，这对于这种算法的硬件实现是很困难的，而且它同时还存在一个明显的缺点就是当它的标函数不是凸函数的时侯，这种算法所得出的估计值会很容易就是一个局部的极值点，这些大大小小的问题最终使得这种算法的工程实现十分困难。随着时域频域分析方法的不断发展不断创新，基于各种各样的时域频域分析工具的线性调频信号的参数估计的技术也在不断的出现不断的发展，下面将会讲述几种较为有效有用的线性调频信号的参数估计方法。在这些算法中的一种从思路上来说最为直接简单的方法是让非平稳信号在很短的时间中近似为一个平稳信号，然后再在每个较小的时间段内使用傅里叶变换来得到信号的频域图谱，进而得到和分析原始信号的局部功率谱。这种算法就是最初始时候的时域频域分析方法，短时傅里叶变换(STFT)。它是傅里叶变换的推广形式，同时由它的定义可以知道这种算法也是一种线性的时域频域表示，也是一种分析非平稳信号的有效有用的工具，同时它也是人们认识最深入的一种时域频域分析工具。但是由于短时傅里叶变换10的定义它会受到不确定性原理的制约，这种算法不能够同时兼顾时间的分辨率和频率的分辨率的精度，只能运行两边来保证时间和频率的精度。 小波变换12是由法国物理学家在20世纪80年代所提出的一种时域频域分析工具，在经过到现在为止的30多年的学者们的研究和发展，小波变换已经成为了信号处理领域中非常重要的一部分。这种算法与短时傅里叶变换最大的不同是，小波变换中的窗函数是可调的时域频域窗，窗函数的宽度是会随着频率的变化发生变化，在频率较高的时侯窗函数为短窗口，而在频率较低的时候时窗函数为宽窗口。小波变换是一种拥有多分辨率的时域频域分析算法，这种特性是有助于拓展不确定性原理的，所以它将会是特别适用于在低频分量上需要高分辨率，在高频分量上不需要太高的分辨率的信号。魏格纳(wigner)8分布是由E.P.Wigner于1932年得出，Ville于1947年引进到信号处理领域，由学者们所研究和发展，到今天魏格纳分布已经成为一种极具代表性的时域频域分析的工具。在魏格纳分布应用在处理非平稳信号的时侯，魏格纳分布又被人们称为魏格纳维尔分布(WVD)。由WVD定义可知它是一种正交分布，它可以改善算法的时间和频率的分辨率，而且这种算法满足数据的实值性，能量的守恒，时频移位等等的特性。线性调频信号的WVD分布在理论上是一个冲激函数，而一个时间有限的线性调频信号的WVD分布呈现为背脊状，由线性调频信号在WVD分布上的情况可以得知使用WVD分布作为线性调频信号的分析工具是十分理想的。但是由于WVD分布中含有二次非线性运算，所以它在检测多分量线性调频信号时和估计多分量线性调频信号的参数时将会不可避免的产生交叉项之间的干扰，出现这样的问题会在参数估计的工作中带来巨大的麻烦。在分析非平稳信号的时频工具中还有的一种非常重要的算法就是分数阶傅里叶变换（FRFT）。Namias于1980年中最早提出了分数阶傅里叶变换的数学模型，Namias将传统的傅里叶变换的分数幂形式进行概念的扩展后定义为了一种崭新的时域频域的分析工具，这就是分数阶傅里叶变换，他还阐明了分数阶傅里叶变换中的一些与基本的傅里叶变换的特性所不同的一些特性，即它的高阶微分的定义形式和它与某些微分方程式之间的密切关系。之后随着Kerr与McBride从数学积分的角度出发得到了分数阶傅里叶变换在数学领域的严格的说明，研究人员以此为基础得出了分数阶变换的光学定义，人们对分数阶傅里叶变换的研究也随之慢慢增多，研究深度也渐渐深入。Lohmann在1993年重新给分数阶傅里叶变换下了定义并解释了它在信号处理领域的物理意义：一个信号的分数阶傅里叶变换就是将这个信号的时坐标轴在时域频域平面上绕原点进行逆时针旋转，以p为阶次的分数阶傅里叶变换是坐标轴在时域频域平面上绕原点进行逆时针旋转p/2度。分数阶傅里叶变换可以认为是傅里叶变换的广义形式，由分数阶傅里叶变换的定义可以得知它从根本上说是一个一维的线性变换，同时由于它是傅里叶变换的推广它还会有一些傅里叶变换所没有的性质。由傅里叶变换的定义可以知道傅里叶变换是将信号展开为一系列具有不同加权系数的正交的正弦基，所以就像正弦信号在傅里叶域上就是两个冲击函数，一个线性调频信号在合适的分数阶傅里叶域上也一定会是一个冲激函数。由以上分析我们可以知道，线性调频信号会在分数阶傅里叶域上有极好的能量聚集性，而且因为不同的线性调频信号会在不同的阶次下的分数阶傅里叶域上表现出能量聚集性，即不同的线性调频信号的能量峰值会在不同阶次下的分数阶傅里叶域上出现，所以在使用分数阶傅里叶变换对作为多分量线性调频信号的参数估计和检测的工具时不会出现交叉项之间的干扰，这种特性让我们在选择分数阶傅里叶变换对作为多分量线性调频信号的参数估计和检测的工具时有很大的便利。但是在基于分数阶傅里叶变换的线性调频信号的检测与参数估计算法中，需要在时频平面上所形成的图像上进行二维能量峰值搜索，以在阶次和分数阶傅里叶域形成的平面上找到含有能量最大的点，然后再依据这个点的参数来进行参数估计，但是这样运算时的运算量会往往会比较大，而且计算的效率不高，大量的计算量被浪费在了寻找合适的阶次上。因此，学者们将注意力放在使用分数阶傅里叶变换作为基础上的其他算法作为检测和估计线性调频信号的参数的数学工具，下面是几种改进简单分数阶傅里叶变换作为检测和估计线性调频信号的参数的数学工具的算法。在最简单的分数阶傅里叶域上的二维平面峰值搜索的算法上，采用了步进系数的粗搜索加上拟牛顿算法的精搜索的方法加以改进，这样就可以在减少算法的运算量的基础上又保持了相当的参数估计的精度。但是这种算法也有一些问题，在为了保证所找到的峰值就是我们想要的解，在使用这种方法时，需要在进行步进式搜索时以很小的步长进行二维搜索，这样的运算方法会影响算法的计算效率，同时我们也发现在设置步长的时候没有统一的设置标准，每一次计算都可以任意设置步进系数，这会给算法的工程实现带来很多问题。对线性调频信号先进行预处理后再进行傅里叶变换进行参数估计8，这种算法是基于线性调频信号本身的一些特点，对信号进行与处理后，缩小二维扫频的范围。在线性调频信号的频谱中，它的最大的频率值和最小的频率值的差值与时间会有线性关系，而两者的比值就是调频率，所以我们很方便的就找到了线性调频信号的调频率。在找到了调频率的估计值后我们仅需要在较小的搜索范围内进行对原始信号进行分数阶傅里叶变换以实现小范围内的二维平面中的峰值搜索，然后就可以很快的得到线性调频信号的参数估计所需的参数。这种算法极大的减少了二维扫频的运算量，同时也可以避免一些时域附近的局部峰值对参数估计带来的影响。到目前为止，已经有很多种基于简单的分数阶傅里叶变换对线性调频信号的参数估计的复杂算法的出现，这个技术也渐渐走向成熟而且在逐步应用到实际中。但是由于这些算法中都有计算量的问题，所以这些算法都不适合于需要快速计算精度要求高的场合。1.3 本文的安排和作者的工作概要在下一章中要主要介绍分数阶傅里叶变换的基本定义和它的主要性质，还有它的一些数值计算方法，主要介绍它的离散算法中的采样型算法，还要介绍如何使用分数阶傅里叶变换来估计线性调频信号的参数，包括两种采样型离散算法的具体实现的算法模型。在第三章主要介绍参数估计的精度和它的评价方法，并对在matlab上的仿真程序所得的仿真结果进行了分析和主观评价。作者的主要工作是阅读和学习分数阶傅里叶变换的相关书籍和有关文献，较为深入的理解了分数阶傅里叶变换的定义及其性质，理解了如何使用分数阶傅里叶变换来估计线性调频信号的参数并在matlab中实现了使用分数阶傅里叶变换来对线性调频信号进行参数估计。第2章 离散分数阶傅里叶变换2.1 分数阶傅里叶变换分数阶傅里叶变换1可以看作是傅里叶变换的广义形式，所以它在保留了傅里叶变换的基本性质和特点的基础上又能够添加了一些新的有用的特性，因此它将会在信号处理领域中应用广泛。分数阶傅里叶变换的定义方式多种多样，因为它的一些特性可以让它有很多的表达方式，但是因为这些定义方式彼此都是等价的，所以它们之间可以相互导出，实际上它们之间没有本质上的区别，但是由于不同的定义方式会有在不同的领域上有不同的物理解释，这就会使它们的应用场合各不相同。2.1.1 分数阶傅里叶变换的定义分数阶傅里叶变换的定义是: （2-1） 其中，被称为核函数，x(t)为原始信号，其中，p不能是2的整数倍。 当p=4n即()时，当时。再经过变量代换和，式（2-1）可以表示为： ， （2-2）注意到和分别相当于恒等算子I和奇偶算子P。所以对p=1，有=/2，且 (2-3)可以发现就是x(t)的傅里叶变换，同样可以发现就是原函数x(t)的傅里叶逆变换。因为式(2-1)中是三角函数的参数，所以这种变换具有周期性，因此只需考察变量在一定的区间中即（或）就可以保证所得到的结果是完备的。根据(2-1)式，函数的零阶变换被定义为等于该函数本身。上面的这些性质可以写作： （2-4）分数阶傅里叶变换所特有的一个重要性质就是旋转相加性，这种性质可以用下面几种形式的表达式表达： (2-5)这一性质可通过重复使用(2-1)式得到证明，这个性质也可以使用高斯积分直接证明，如式（2-6）： (2-6)由上面的推导我们可以知道，使用-p来替换p，我们可以得到分数阶傅里叶变换核函数中的一些特有的性质： (2-7)同时，由式(2-2)可知核函数是对称的，但不是共轭对称的。到这里我们就可以对分数阶傅里叶变换提出第一种物理解释，仅仅考虑阶次在区间内，当p=0时原始函数的分数阶傅里叶变换就是原函数没有对信号进行改变，当p=1时原始信号的分数阶傅里叶变换就是原始信号的傅里叶变换。在p从0变到1的过程中，原始信号的分数阶傅里叶变换的结果也平滑的从原函数慢慢变化到了原始函数的傅里叶变换的结果。如图2-1，展示的是将一个时域上的门函数慢慢连续的由分数阶傅里叶变换的结果，直到最终在频域上的sinc函数的图解说明。 (a)阶次为0到1时 (b)阶次为1到2时图2-1 不同变换阶数时的分数阶傅里叶变换2.1.2 分数阶傅里叶变换的性质我们对这种变换已经有了的了解并知道了它的一种物理解释，但这样的了解对将分数阶傅里叶变换应用于实际中是远远不够的，我们还需要学习一些它的相关性质。我们要介绍这种变换的一些基本性质和由基本性质推导出的运算性质。1.线性性质 由于这种变换是一种线性变换，所以它必须满足线性叠加性。若的p阶分数阶傅里叶变换为，则有： （2-8）2.旋转相加性 （2-9） 其中分别是阶次为p1和阶次为p2的变换，性质2是这种变换一个特性，这是它区别于其他变换的一大特性。3.交换性 （2-10）变换的交换性可以由旋转相加性（即式（2-9）直接导出。4.可逆性 （2-11） 这条性质非常容易得出，阶次为p的逆变换就可以等价为阶次为-p的变换，而且变换的可逆性也可以由性质2（即式（2-9）直接导出。5.酉性 （2-12） 6.特征函数 （2-13） 性质6中的式子表示的是变换的特征值与它的特征向量间的关系，这个式子也能够说明分数阶傅里叶变换的本征函数就是HermiteGauss函数。7.Parseval准则 （2-14）由上式可以知道分数阶傅里叶变换是满足Parseval关系的，则它就与傅里叶变换相类似，变换也是满足能量守恒关系的，也就是频域的能量总和与时域的能量总和相等。 （2-15）以上就是变换的基本特性，下面我们将来介绍变换的运算性质，其中的大部分运算特性都可以用上面的基本公式导出。1.尺度特性 （2-16）其中c为不是0和无穷大的实数，和取自同一象限，与p的值不相同由下式给出： （2-17）2.时移特性 （2-18）3.频移特性 （2-19）4.积分和导数 （2-20） （2-21） 除此之外我们还应该注意到，分数阶傅里叶变换是一个偶运算。类似的性质也可以使用算子形式表达，奇偶算子p的对称性：。还可得知偶运算的特征函数总是选择确定的奇偶性，就如Hermite-Gauss函数一样。最后还应注意到。2.2 离散分数阶傅里叶变换2.2.1 离散分数阶傅里叶变换简介分数阶傅里叶变换的出现早已引起了各个领域的学者们重视，并进行了很多的研究，而分数阶傅里叶变换由于它的一些非常有用的特性在工程上也有非常广阔的应用前景，并且已经在工程上有了很多的应用。同时一个计算方法必须实现其离散化的算法，否则这在计算机作为计算工具的今天这种算法的发展会受到很大的限制。由于分数阶傅里叶变换的定义较为复杂，而且计算方法较为繁琐，所以它的离散算法也必然不会像离散傅里叶变换那样简单。为了保证离散分数阶傅里叶变换定义的严密性，为了保证分数阶傅里叶变换的快速计算方法的有效性，H.M.Ozaktas 提出，任何一种形式的离散分数阶傅里叶变换必须满足以下的几点特性：1.酉性，即：，F为离散傅里叶变换算子；2.满足旋转相加性，即：；3.P=1时可以退化为离散傅里叶变换，即；4.离散算法与连续分数阶傅里叶变换的相似性；5.阶数取值的连续性。除了上述的一些要求之外，算法的计算量也是一个算法是否有效的一个重要评判方面，因为算法最终是要使用到工程中，生活中，这就对计算的时间有了要求，这个算法不能因为计算量太大而导致需要长时间的计算才能得到结果。对于DFRFT数值计算方法，我们希望它的计算量可以与FFT相当，这样就可以在保证计算量变化不大的情况下，能够有更多更好的应用。由于我们使用的是采样型的DFRFT，所以在下一节中我们将着重介绍采样型DFRFT的几种数值计算方法。2.2.2 Ozaktas采样型算法这种算法的基本思想是，将分数阶傅里叶变换的公式进行拆分，化为几个简单的计算公式，然后在对这些较为简单的公式进行离散化处理，这样就得到了变换的离散计算方法，这种方法是从公式的离散化的角度对变换进行离散化数值计算，所以它得出的DFRFT的性质与FRFT性质相似。同时它的计算复杂度低，精度较高，它的计算速度几乎可以和快速傅里叶变换相当即它的计算量逼近快速傅里叶变换的计算量，这些特点让它成为了目前使用最为广泛的DFRFT算法之一。这种算法还采用了一种将时域频域的尺度统一的特殊方法，即为量纲归一化。2.2.2.1 量纲归一化原理 从理论上说时间有限同时带宽有限的信号是不可能存在的，即一个信号不可能在时域和频域同时满足紧致的条件，但是这种在实际应用中的方法与理论中的差异是可以接受的，因为当时域和频域都可以认为是近似紧致的。假设我们得到了原始信号，和分别表示这个原始信号的时间宽度和频带宽度。由于信号在各个阶次下的分数域上尺度不统一，所以在进行离散计算时我们应该首先来统一分数域上的尺度。想要解决这个问题的实际方法就是让信号的时间坐标和频率坐标能够有统一化的单位，于是我们可以引入一个坐标单位，其中S是一个具有时间量纲的尺度因子。信号在经过上述的量纲归一化之后，信号的时域和频域的坐标都被转换为新的坐标域即(x,v)，这个新的坐标单位是一个无量纲的单位，它将信号的时间宽度和频带宽度统一了起来，同时时域和频域上的坐标尺度也实现了统一化，即，如图2-2所示。图2-2 归一化前后信号的时频支撑区域上述的这种量纲归一化的处理方法的特点是先进行量纲归一化再进行采样，但我们在实际的研究中发现。这种处理方法只是一种原理性的方法。在实际工程应用中是不具有任何的可操作性。因为我们在应用中需要处理的信号往往是一个经过硬件处理后所得到的离散信号，所以要想将这种离散分数阶傅里叶变换算法成功的应用于实际工程计算中，就需要对离散信号进行量纲归一化处理。针对这个问题学者们给出了两种量纲归一化方法，一种是离散尺度化法，一种是数据截取/补零法，我们将主要介绍在我们在仿真中使用的离散尺度化法。 离散尺度化算法的基本想法是对所得到的离散序列进行尺度变换以使结果和使用连续信号相同，如图2-3所示。这个算法需要选择合适的时间宽度、频带宽度、尺度因子S以及归一化后的坐标宽度。为了方便处理，我们常常取时间宽度为所得离散信号的总时长，T为离散信号的总时长，将时间轴的中点设在坐标的原点，则量纲归一化后信号的时域范围会被限定在。我们希望将频带宽度直接设置为所得信号的频带宽度，但是我们无法直接确定信号的频带宽度。于是我们可以设置频带宽度为信号的采样频率，为信号的采样频率。因为采样频率必须大于信号最大频率的两倍。将频率轴的中点设在坐标的原点上，则量纲归一化后信号的频域范围会被限定在。在确定了量纲归一化所需要的的时间宽度和频带宽度之后，我们就可以计算出尺度因子S和归一化坐标的宽度，由此可知，时域和频域在进行量纲归一化之后，时域和频域的坐标范围实际上都是。离散数据原来的采样间隔为，在对离散数据进行了离散尺度化算法之后，离散数据的采样间隔变为。在所得的离散序列经过离散尺度化算法之后，就可以进行DFRFT离散数值计算了。图2-3 离散尺度化法示意图2.2.2.2 Ozaktas采样型分解算法依据分数阶傅里叶变换的定义可以将变换写为： （2-22）其中，。若阶次为，我们可以将式(2-22)分为以下三步运算： (2-23) (2-24) (2-25)其中，g(t)和只是两个中间结果，。如果要实现连续分数阶傅里叶变换的离散数值计算，则必须对式(2-23)式(2-24)式(2-25)进行离散化处理。首先因为原始信号被一个LFM信号所调制，就如式(2-23)所示。对调制信号g(t)的离散化处理中，需要确定它的带宽，因为信号的时域区间为，则线性调频信号的最高瞬时频率为，它的带宽为。由式(2-23)可知调制信号g(t)的带宽可确定为，线性调频信号的调制信号g(t)的带宽最高可以达到原始信号带宽的两倍。为了满足采样定理，我们应对g(t)以为间隔采样，但是x(t)的采样间隔为，所以需要对原始信号进行插值，然后再与线性调频信号的离散采样值相乘，从而得到g(t)的采样。然后是信号g(t)与一个线性调频信号作卷积，就如式(2-24).因为g(t)可以用它的带限形式代替： (2-26)其中，。是LFM信号的傅里叶变换。函数h(u)的求解需要使用Fresnel积分： (2-27)所以，式(2-26)的离散形式可以写为： (2-28)式（2-28）的形式可以使用FFT来计算。最后如式(2-25),得到的以为采样间隔的样本，因为在变换计算的公式中x(t)的形式，所以要对再进行抽样得到计算结果。总的来说，上面的方法是从连续信号的x(t)的离散采样开始，最后得到了唯一描述的离散采样，但这个计算方法只适用于的情况。当p不在此区间中，则需要用分数阶傅里叶变换的旋转可加性变换到可以运行的阶次来进行运算。2.2.3 Pei采样型算法这种算法的基本思想是，对输入输出序列进行采样，然后计算出合适的输入输出的采样间隔，对输入输出进行尺度变换，使计算的结果与连续FRFT的计算结果相同。这种算法简单，容易理解，与连续FRFT的计算过程拥有相似性，而且它的计算简单，计算量小。但是这种算法没有完全满足FRFT中的旋转可加性，而且在仿真中我们发现它不能进行大范围的二维峰值搜索。我们可以将分数阶傅里叶变换的定义式写为： （2-29）其中。依据算法原理我们需要对输入信号x(t)和输出信号进行采样，采样间隔分别为和，发现：， （2-30）其中，我们希望直流成分位于中心所以我们不从和开始采样。将式（2-30）代入到连续分数阶傅里叶变换定义式中可以得到： （2-31）以式（2-31）可以写为： （2-32） （2-33）为了使式（2-32）满足可逆性，当时，我们需要让它的逆变换等于的共轭转置矩阵。即 （2-34）由式（2-32）和式（2-34）可以得出 （2-35）为了使上式中的对的求和等于，即需要满足 （2-36）其中是与互为质数的整数。这样式（2-33）变为 （2-37）于是可以得到： （2-38）对进行归一化处理以满足式（2-35），于是可以得到变换矩阵 （2-39）可以选择，则式（2-37）可以改写为 （2-40）由以上推导，我们可以依据和得到下面的两个离散分数阶傅里叶变换公式1）若，即： （2-41）2）若，： （2-42）以上公式必须满足限制条件和。 我们可以发现，当且时，式（2-41）可以简化为离散傅里叶变换，当时，式（2-42）简化为离散傅里叶逆变换。我们也可以发现，当，n为整数时，和不存在。即，当时，不能用式（2-41）和式（2-42）来定义，我们使用下式来进行定义。 （2-43） （2-44）在式（2-43）中，如果很小，和也必须很小，在同样的时域和频域范围内，采样点数将会增加，这将会大大增加变换的计算量。因为根据FRFT的定义有 （2-45）所以，当很小时，我们可以先作采样信号的离散傅里叶变换，然后再计算阶次为-1的离散分数阶傅里叶变换，这样可以有效的减少计算量。所以我们将上面的离散分数阶傅里叶变换变为 （2-46）其中， （2-47） （2-48）因为，在时，我们可以定义离散变换的定义为： （2-49）其中。我们应当注意到，在上面离散分数阶傅里叶变换的推导中时域和频域已经进行了参数归一化，因此在利用上述的离散分数阶傅里叶变换计算连续分数阶傅里叶变换的结果时必须要考虑归一化因子。2.3 基于FRFT的LFM信号参数估计的理论模型有前面的介绍我们可以知道线性调频信号在分数域上有能量聚集性，所以二维峰值搜索就是依据此原理设计的。以阶次p为自变量，在0到2上，选择一个合适的步进系数，对信号进行分数阶傅里叶变换，形成信号能量在参数为（,u）平面上的二维图像，之后在这个二维平面进行峰值搜索就可以估计出信号的参数。含有加性噪声的单分量线性调频信号可表示为 (2-50)，和均为未知参数，为加性高斯白噪声，则参数估计的结果如下 (2-51) （2-52）由于分数阶傅里叶变换的离散算法使得变换的计算速度大大加快，这时使用为变量进行二维峰值搜索时，可以很快的得出结果。同时这种变换也是一种线性变换，所以它可以估计出信号的中心频率，调频率，相位还有幅度，而非线性变换是无法估计出信号的相位信息的。但是这种算法还有一些缺陷，比如在检测时，大部分的计算是无效的，可以通过粗扫描在加以精确扫描来改进。然后是，在参数估计的精度要求高的地方，或者调频参数比较极端时，步进系数不足以分辨出信号峰值与坐标轴时，就需要小的步进系数，这样会增加参数估计的计算量。在多分量信号的参数估计中，虽然不存在交叉项干扰的问题，但是却会存在大信号遮掩小信号这样的问题。2.3.1 基于Ozaktas算法的参数估计模型线性调频信号x(t)的分数阶傅里叶变换可以表示为：A （2-53）A其中，当时即，信号x(t)在这个角度下会完全表现出一个冲激函数，此时可以将式（2-53）改写为： （2-54）令，则式（2-53）可以写为 (2-55) 当时，线性调频信号在分数阶傅里叶域上的峰值可以表示为 （2-56）在Ozataks算法中我们需要首先进行量纲归一化，然后再进行离散数值计算。而通过二维峰值搜索额到了信号的参数估计值时，这时与原数据对比我们会发现它与原始数据会相差很大。这是因为在进行了量纲归一化后，坐标的尺度已经发生了变化，所以得到的结果一定是错的。所以我们需要推导一下怎样有估计出的数据来求出我们想要的原始数据，假定原始信号的调频率为，中心频率为。信号在则经过量纲归一化后的调频率为，中心频率为，由离散尺度化算法可知 （2-57）其中S为尺度因子，信号的时宽为，采样频率为。由此我们可以得出在归一化前后的参数的关系： （2-58）将式（2-58）带入到式（2-52）中就可以得到使用Ozaktas算法在具体的计算中的参数估计公式了： （2-59）2.3.2 基于Pei算法的参数估计模型 首先线性调频信号可以写为： 对其进行离散分数阶傅里叶变换后可得： （2-60） 由式（2-60）可知，当时，线性调频信号可以达到最好的聚焦性。在信号经过分数阶傅里叶变换后，通过二维峰值搜索，可以得到中心频率f，调频参数的表达式： (2-61) 其中N为输出序列的长度，为二维峰值搜索所得的旋转角度，根据式（2-61）由于这种算法没有参数归一化问题，所以在找到后就可以直接对线性调频信号的参数进行估计。第三章 基于DFRFT的LFM信号参数估计3.1 引言3.1.1主要技术和方法在完成本次毕业设计中，我主要使用了第二章中讲到的一些知识，即2.2.2中的Ozaktas离散分数阶傅里叶变换及其在2.3.1中的在参数估计中的具体计算方法，和Pei离散分数阶傅里叶变换及其在2.3.2中的参数估计中的具体计算方法，这是我在进行matlab仿真实验的技术原理。具体的实现方案是，首先由一个自己编写的函数LFMcreat.m生成复指数形式的线性调频信号，然后在这个信号中加入一定分贝的高斯加性白噪声，之后将上一步中得到的信号送入三个参数估计函数中进行参数估计，最后通过所得参数与原始数据相比以确定所得的数据是否正确。具体的流程如图3-1。在产生线性调频信号的时候可以使用matlab中的chrip函数可以佷方便的产生线性调频信号，但是这个函数要使用的参数是起始时间，起始频率，终止时间和终止频率，这种参数的设置方式不便于直接输入中心频率和调频系数就能生成线性调频信号。所以我直接使用线性调频信号的定义，通过外部输入的中心频率和调频参数就能很方便的生成一个线性调频信号。由于所使用计算机的硬件限制，无法很快计算较多点数的离散运算，所以这对我们的时间设置和采样频率的设置带来一定的麻烦。在采样频率的设置上我的设置和任务书的设置是相同的为40MHz，但是信号持续时间我设置的较长，我设置为10微秒，因为5微秒的图像在单边带上不是整数，为2.5微秒这会给图像显示带来一些问题。同时由于分数阶傅里叶变换的定义中，时间区间是关于零点对称的，所以我们在产生线性调频信号是也应该按照对称的时间区间来设置。线性调频信号产生函数的返回值有采样频率，时间宽度和产生的线性调频信号，函数的输入参数为中心频率和调频率。产生的线性调频信号如图3-2所示，该信号的中心频率是10MHz，调频率为0.5MHz，由于调频率较低信号的密度没有大的变化。关于参数估计的问题我们将在3.2中详细介绍。图3-1 程序整体的运行流程图3-2 线性调频信号3.1.2问题总结与分析在完成此次毕业设计的过程中，我遇到了不少问题，也解决了不少的问题，但还是有大量的问题没有得到有效解决。首先，就是在使用傅里叶变换估计线性调频信号的参数时精度不理想；然后，在对调频系数较低的线性调频信号进行参数估计时，因为调频系数较低，所以它所对应得阶次就十分接近1，此时需要使用较小的步进系数对信号进行扫描，但是在用较小的步进系数进行全范围的扫描时所需的计算时间会很长，所以步进系数的设置需要分区间设置，但没有具体的标准；之后，就是在加入乘性高斯白噪声对信号的参数估计具有毁灭性的作用，如何在加入乘性噪声时还能够对信号进行参数估计等等。现在只做到可以估计单信号的参数估计，但是多信号的参数估计还没有完成，还有对参数估计算法的改进算法也没有实现，其中有很多的算法都可以改进最基本的参数估计算法，书上讲的拟牛顿算法在4次迭代计算以后就可以让参数估计的精度逼近克拉美罗下界等等。3.2 算法设计及实验分析3.2.1 使用FFT来对LFM信号进行参数估计因为线性调频信号的频率关于时间的变换是线性的，所以在估计号它的上下限频率时，就得到了它的带宽。而带宽与时间的比值就是所想要的调频率，同时上下限频率的中值就是中心频率，所以只要得出正确的上下限频率我们可以很方便的估计出线性调频信号的参数。而在估计线性调频信号的上限，下限频率时，我将上限频率和下限频率分别设置在线性调频信号频谱中的峰值最大的两处。这样我在线性调频信号进行离散傅里叶变换后，在它的频谱上搜索最大值，在得到最大值后将这个点置为零，让后再在频谱图中搜索最大值，这样就得到了线性调频信号的最大值和次大值点，这两个点往往就是线性调频信号的上下限频率对应在频谱中的点，如图3-3所示。这样就得到了上下限频率，就可以很方便的计算出线性调频信号的具体参数。但是，这个算法虽然简单且计算量小，但是它的计算精度比较差，而且抗噪声能力也不强。假设取得的上限频率为，下限频率为，由这两个参数计算中心频率和调频系数的公式如下： （3-1）图3-3 线性调频信号频谱图如图3-4，在信噪比为-7dB时的图像，可知信号已经快要无法检测了，而且此时计算出的参数值估计值的偏差会比较大，加入噪声对参数估计的影响是非常大的，因为噪声信号的加入会让频谱图中的每一个点都增加一定的幅度，这个随机性会给最大值点的估计带来带来巨大的问题，同时最大值点找不到之后，次大值值点也会因为同样的原因而找不到，这样就没有办法获得信号的上下限频率的值，所以对线性调频信号的参数估计也无从谈起了。图3-4 信噪比为-7dB时的信号频谱图信号的信噪比在-18dB到-4dB 的区间上时，使用这个算法进行参数估计的结果如图3-5所示，可见在加入噪声之后，这种算法的参数估计已经不能正常工作了。图3-5信号在信噪比为-18dB到-5dB上的参数估计精度这种算法的计算流程为，一个信号传入函数中，同时还需要知道这个信号的采样频率以计算频率，时间宽度以计算调频频率这个参数，现对信号进行傅里叶变换，然后对信号的频谱进行峰值搜索，然后对搜索到的峰值点置零，再次进行峰值搜索，这样就找到了两个最大值点，这就是所求的上下限频率，计算过程的流图如图3-6所示。图3-6 使用傅里叶变换进行参数估计的流程图3.2.2 基于Ozaktas算法