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文档简介

,第四节可用变量代换法求解的一阶微分方程,齐次型方程可化为齐次型的方程伯努利方程小结,一、齐次型方程,的微分方程称为齐次型方程.,2.解法,令,代入原方程,得,可分离变量的方程,1.定义,两边积分,得,积分后再用代替u,便得原方程的通解.,分离变量，,例1求解微分方程,微分方程的解为,解,例2求解微分方程,解,微分方程的解为,例3抛物线的光学性质,实例:车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,得微分方程,由夹角正切公式得,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,二、可化为齐次型的方程,为齐次型方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次型方程.,2.解法,1.定义,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解,上述方法不能用.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,解,代入原方程得,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,三、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将代入即得,代入上式,解,例6,例7用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,三、小结,1.齐次方程,齐次方程的解法,2.可化为齐次方程的方程,3.伯努利方程,思考题,方程,是否为齐次方程?,思考题解答
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