多元函数微分法及其应用(交)

2012-2013第一学期本科高等数学教案授课院系 授课专业 授课班级 授课教师 兰州工业学院高等数学教案教师姓名授课班级授课时数2授课形式讲授所用教具授课日期所用教材高等数学（同济6版）参 考 书 目教学手段板书 多媒体 混合授课章节名称第八章 多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念教学目的要求1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义；2、理解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质，会求简单的二元函数的极限问题；3、通过与一元函数相应概念的比较，培养学生分析与解决问题的能力。教学重点1、 二元函数的概念；2、二元函数的极限与连续性。教学难点二元函数的极限问题更新补充内容教学提纲一、 复习引入1.复习一元函数的有关概念，引入二元函数的概念。二、 知识模块11. 平面点集和n维空间2. 多元函数概念三、 知识模块21. 多元函数的极限2. 多元函数的连续性.四、课堂练习P62 习题9-1 1、5、6课外作业P62、P63 习题9-1 2、6、（2）（3）(5)7、（1）（2）课后体会与总结多元函数可看作一元函数的推广，因而多元函数的许多相关概念与一元函数的类似，在学习多元函数的一些概念时要与一元函数的做比较，这样一方面可以复习一元函数的知识，另一方面可以让我们更容易学习多元函数的内容。授 课 主 要 内 容一、复习引入（或背景介绍、体系介绍、历史演变介绍、专业应用介绍等）一元函数是只含有一个自变量的函数，但在实际问题中，经常会遇到一个因变量依赖于几个自变量的情形，这就引入多元函数的概念。二、平面点集和维空间 1、平面点集的相关概念（1）平面点集：坐标平面上具有某种性质的点的集合, 称为平面点集, 记作（2）邻域：设是平面上的一个点，是某一正数。与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即或 注：邻域的几何意义：表示平面上以点为中心、为半径的圆的内部的点的全体。 点的去心邻域，记作，即。（3）点与点集之间的关系：任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系中的一种： (a)内点:如果存在点的某一邻域,使得,则称为的内点； (b)外点：如果存在点P的某个邻域，使得，则称为的外点； (c)边界点：如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边点。的边界点的全体，称为E的边界，记作E。注：E的内点必属于E,E的外点必定不属于E, 而E的边界点可能属于E,也可能不属于E。（4）聚点：如果对于任意给定的d0，点P的去心邻域内总有中的点，则称P是E的聚点。 由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E，也可能不属于E。（5）开集：如果点集E 的点都是内点，则称E为开集。 （6）闭集：如果点集的余集E c为开集，则称E为闭集。（7）连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集。 （8）区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域。 （9）闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。 （10）有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数，使得 , 其中是坐标原点，则称为有界点集。（11）无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集。2、维空间定义1：设为取定的一个自然数，元有序数组的全体，即称为维空间。称为维空间中的一个点，称为该点的第个坐标。当时，维空间分别是我们熟悉的数轴、平面及三维空间。维空间中两点与的距离规定为注：在维空间中定义了距离后，平面中邻域、区域及关于点集E的内点、边界点、聚点等概念均可类似地推广到维空间的点集上去。三、多元函数概念例1.圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系。这里，当在集合内取定一对值时，对应的值就随之确定。 例2.一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具有关系，其中为常数。这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定。定义2：设为平面上的一个非空点集。如果对于中每一点，按照法则，总有唯一确定的实数与之对应，则称是上的二元函数，记为，或，点集称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量。注：（1）在定义2中，中每一点对应的实数称为在点的函数值；数集称为该函数的值域；点集称为二元函数的图形。(2) 关于二元函数的定义域，我们作如下约定: 如果该函数采用解析式表示，而没明确指出定义域，则该函数的定义域理解为使这个解析式有意义的那些点所组成的点集, 这种点集也称为该函数的自然定义域。例3.求函数的定义域。定义3：设是维空间的非空子集。如果对于中每一点，按照某一法则总有唯一确定的实数与之对应，则称是定义在上的元函数。记作,，或,。点集称为函数的定义域, 称为自变量，称为因变量。在定义中, 中的点 唯一确定的数称为在点的函数值。值域和元函数的图形也可类似地定义。四、多元函数的极限 我们先讨论二元函数当，即时的极限。这里 表示点以任何方式趋于点，也就是点与点间的距离趋于零，即 。与一元函数的极限概念类似，如果在的过程中，对应的函数值无限接近一个确定的常数，我们就说A是函数，时的极限。下面用“”语言描述这个极限概念。定义2 设函数在开区域（或闭区域）内有定义，是的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式 的一切点，都有 成立，则称常数为函数当，时的极限，记作 ，或 （），这里 。为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。例4 设 （），求证 。证 因为，可见，对任给，取，则当 时，总有 成立所以 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于A。因此，如果以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。考察函数显然，当点沿轴趋于点时，；又当点沿轴趋于点时，。 虽然点以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是并不存在.这是因为当点沿着直线趋于点时,有 ， 显然它是随着的值的不同而改变的.以上关于二元函数的极限概念,可相应的推广到元函数即上去。关于多元函数极限的运算,有与一元函数类似的运算法则.例5 求 .解： 这里在区域和区域内都有定义，同时为及的边界点。但无论在内还是在内考虑，下列运算都是正确的：。五、多元函数的连续性定义3 设函数在开区域（闭区域）内有定义，是的内点或边界点且。如果 ,则称函数在点连续。如果函数在开区域（或闭区域）内的每一点连续，那么就称函数在内连续，或者称是内的连续函数。以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到元函数上去。若函数在点不连续，则称为函数的间断点。这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数没有定义，但在内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数的不连续点，即间断点。前面已经讨论过的函数 当，时的极限不存在，所以点是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数 在圆周上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值。这就是说，在上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切PD, 有.性质2（介值定理） 在有界闭区域上的多元连续函数，如果在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果是函数在上的最小值和最大值之间的一个数，则在上至少有一点，使得。一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则， 可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数。多元连续函数的复合函数也是连续函数。与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这里指出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合）。例如，是两个多项式之商，它是多元初等函数。又例如是由基本初等函数与多项式复合而成的，它也是多元初等函数。根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性，再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即 .例6 求.解 函数 是初等函数，它的定义域为。因不是连通的，故不是区域。但是区域，且 ，所以是函数的一个定义区域。因, 故 .如果这里不引进区域，也可用下述方法判定函数在点 处是连续的：因是的定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以是的一个定义区域，又由于是初等函数，因此在点处连续。一般地，求，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则 在点处连续，于是。例7 求。解 =。兰州工业学院高等数学教案教师姓名授课班级授课时数2授课形式讲授所用教具授课日期所用教材高等数学（同济6版）参 考 书 目教学手段板书 多媒体 混合授课章节名称第八章 多元函数微分学第二节 偏导数教学目的要求1、理解多元函数偏导数的概念；掌握多元函数偏导数的求法；2、了解高阶偏导数的求法；3、培养学生利用所学的知识解决问题的能力教学重点偏导数的概念和求法教学难点高阶偏导数的求法更新补充内容教学提纲一、 复习引入1.复习一元函数导数的概念，由一元导数的概念引入多元函数偏导数的概念二、 知识模块11.偏导数的定义2.偏导数的计算三、 知识模块21. 高阶偏导数.XX、课堂练习P69 习题9-2 1；6.XX、课堂总结课外作业P69 习题9-2 1. (1)（2）（3）（5）（6）2.8.9.课后体会与总结本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础授 课 主 要 内 容一、复习引入一元函数的导数是考察函数的变化率，对于多元函数也要考虑同样的问题，但是因为多元函数的自变量有多个，所以要考察关于一个自变量的变化率，比如一定量的理想气体当温度保持不变时，要考察体积关于压强的变化规律，或者压强保持不变时，要考察体积关于的变化规律，这就引入偏导数的概念。二、导数的定义及其计算法在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念。对于多元函数同样需要讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。以二元函数为例，如果只有自变量变化，而自变量 固定（即看作常量），这时它就是 的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数，即有如下定义：定义 设函数 =在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量,如果 (1)存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作, , 或 例如，极限（1）可以表示为 . (2)类似地，函数在点处对的偏导数定义为 (3)记作, , 或如果函数在区域D内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作, , 或类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记作, , 或由偏导数的概念可知，在点处对处对的偏导数显然就是偏导函数 在点处的函数值；就是偏导函数在点 处的函数值。就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数。至于实际求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题。求 时，只要把暂时看作常量而对求导数；求 时，则只要把 暂时看作常量而对求导数。偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数 =() 在点 () 处对的偏导数定义为x0其中 ()是函数 的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。例1 求 在点(1, 2)处的偏导数。解 把y 看作常量，得把x 看作常量，得将 (1, 2)代入上面的结果，就得，例2 求的偏导数。解 , 例3 设,求证：+证 因为 , ,所以 +=+例4 求 的偏导数。解 把 和都看作常量，得 =由于所给函数关于自变量的对称性，所以 = , =. 例5 已知理想气体的状态方程(为常量) ，求证： =1.证 因为 , =; , =; , =;所以=1.我们知道，对一元函数来说，可看作函数的微分与自变量的微分之商。而上式表明，偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商。二元函数在点的偏导数有下述几何意义。设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数, 即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率（见图8-6）。同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于,但不能保证点按任何方式趋于时，函数值都趋于 。例如，函数在点（0，0）对的偏导数为 同样有但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续。三、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数, ,那么在D内 、都是的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数： = , =, = , =其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。例6 设，求、 及 。解 = , = ； = , = ； = , = ； = 6我们看到例6中两个二阶混合偏导数相等，即 = 这不是偶然的。事实上，我们有下述定理。定理 如果函数的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。这定理的证明从略。对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数。而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。例7 验证函数 满足方程 +=0 。 证 因为,所以 =, =, =, =因此 +=+=0.例8 证明函数，满足方程 +=0 ,其中.证 =, =+=+.由于函数关于自变量的对称性，所以=+,=+.因此+ =+=+=0.例7和例8中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。兰州工业学院高等数学教案教师姓名授课班级授课时数2授课形式讲授所用教具授课日期所用教材高等数学（同济6版）参 考 书 目教学手段板书 多媒体 混合授课章节名称第八章 多元函数微分学第二节 全微分教学目的要求1、理解全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件；2、了解全微分在近似计算上的应用；3、培养学生的相应的运算能力。教学重点全微分的概念及计算。教学难点全微分存在的条件。更新补充内容1.2.教学提纲一、 复习引入1.复习一元函数微分的概念;2.先介绍二元函数的偏增量、全增量的概念，再学习全微分的概念。二、 知识模块11.全微分的定义；2.可微的必要条件和充分条件；三、 知识模块21、全微分在近似计算中的应用.XX、课堂练习P76 习题9-3 XX、课堂总结课外作业P76 习题9-3 1. （2）（3）（4）3.6.9.课后体会与总结二元函数可微、偏导数存在、连续三者之间的关系偏导数存在可微 连续可微偏导数存在连续授 课 主 要 内 容一、复习引入1.复习一元函数微分的概念。如同一元函数的微分，为了解决函数的增量的近似计算问题，引入全微分的概念。2.介绍二元函数的偏增量、全增量的概念，再学习全微分的概念。二、全微分的定义我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得 ， 上面两式的左端分别叫做二元函数对和对的偏增量，而右端分别叫做二元函数对和对的偏微分. 在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题下面以二元函数为例进行讨论设函数在点的某一邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量、的全增量，记作c，即 一般说来，计算全增量z比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量、的线性函数来近似的代替函数的全增量,从而引入如下定义定义 如果函数在点的全增量可表示为，其中、不依赖于、而仅与有关，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即。如果函数在区域内各点处都可微分，那末称这函数在内可微分。在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由上述定义可知，如果函数在点可微分，那末函数在该点必定连续。事实上，这时由（2）式可得 ，从而 。因此函数在点处连续。下面讨论函数在点可微分的条件。定理1（必要条件）如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为 =+。证 设函数在点可微分。于是，对于点的某个邻域的任意一点，（2）式总成立。特别当 时（2）式也应成立，这时，所以（2）式成为 。上式两边各除以，再令而取极限，就得x0 lim=，从而偏导数存在，且等于。 同样可证=。所以（3）式成立。证毕。我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 +，但它与之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如，函数=在点处有 及 ，所以=,如果考虑点沿着直线 趋于，则=,它不能随而趋于0，这表示时， 并不是较高阶的无穷小，因此函数在点处的全微分并不存在，即函数在点处是不可微分的。由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理。定理2（充分条件） 如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分。证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）。设点为这邻域内任意一点，考察函数的全增量 。在第一个方括号内的表达式，由于不变，因而可以看作是 的一元函数 的增量。于是，应用拉格郎日中值定理，得到 = 又假设，在点 连续，所以上式可写为 =， （4）其中为、的函数，且当， 时，。 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ， （5）其中为 的函数，且当时， 。 由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z可以表示为。 （6）容易看出 |，它是随着，即而趋于零。 这就证明了 在点是可微分的。以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上，我们将自变量的增量、分别记作、，并分别称为自变量的微分。这样，函数的全微分就可以写为 =+. (7)通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。例如，如果三元函数可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即 =+例1 计算函数的全微分解 因为， 所以例2 计算函数在点处的全微分解 因为 =yexy, =xexyx=2y=1x=2y=1 | =, | =, 所以=例3计算函数的全微分.解 因为 =, =+, =, 所以=(+ ) +兰州工业学院高等数学教案教师姓名授课班级授课时数2授课形式讲授所用教具授课日期所用教材高等数学（同济6版）参 考 书 目教学手段板书 多媒体 混合授课章节名称第八章 多元函数微分学第二节 多元复合函数的求导法则教学目的要求1、理解掌握多元复合函数的求导法则，会用此法则求多元复合函数的（偏）导数；了解全微分形式的不变性；2、培养学生归纳总结和综合应用的能力。教学重点多元复合函数的求导法则。教学难点多元复合函数的求导法则更新补充内容1.2.教学提纲一、复习引入1.先复习一元复合函数的求导法则，然后再学习多元复合函数的求导法 二、知识模块11. 求导的链式法则三、知识模块2全微分形式的不变性.XX、课堂练习P82 习题9-4 XX、课堂总结课外作业P82 习题9-4 1.3.5.7.10.课后体会与总结1.通过求全微分来求一阶偏导数有时比用链式法则显得灵活；2.当复合函数复合的层次比较多，结构较为复杂时，用一阶微分的形式不变性求一阶偏导数或者全导数较为简单。授 课 主 要 内 容一、复习引入1.先复习一元复合函数的求导法则，然后再学习多元复合函数的求导法二、求导的链式法则 定理 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算： 证 设获得增量，这时的对应增量为、，由此，函数对应地获得增量根据假定，函数在点具有连续偏导数，于是由第三节公式有 这里，当，时， 将上式两边各除以，得 因为当时，所以 =+这就证明了复合函数在点可导，且其导数可用公式计算证毕用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形例如，设、，复合而得复合函数 则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算在公式及中的导数称为全导数上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形例如，设，复合而得复合函数 如果及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算： =+, =+ 事实上，这里求时，将看作常量，因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理但由于复合函数以及和都、是的二元函数，所以应把式中的改为，在把换成，这样便由得到式。同理由式可得到式。 类似地，设、及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：=+，=+如果具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数可看作上述情形中当，的特殊情形，因此 ， ， ，从而复合函数具有对自变量及的偏导数，且由公式及得 ， 注意 这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把中的及看作不变而对的偏导数与也有类似的区别例设 而，求和解 =+ =1 =，=+ 1 例设，而求和解例设， 而，求全导数解= =例设，具有二阶连续偏导数，求 及解 令,，则为表达简便起见，引入以下记号：，这里下标1表示对第一个变量求偏导数，下标2表示对第二个变量求偏导数，同理有、 等等。因所给函数由及，复合而成，根据复合函数求导法则，有，（）求及时，应注意及仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有 ， 于是 + 例设的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换成极坐标系中的形式：；解 由直角坐标与极坐标间的关系式，可把函数换成极坐标及的函数：现在要将式子及用、及函数对、的偏导数来表示为此，要求出的偏导数、。这里，复合而成，应用复合函数求导法则，得： ，两式平方后相加，得：再求二阶偏导数，得 。同理可得。两式相加，得：。四、全微分形式的不变性设函数具有连续偏导数，则有全微分如果 、又是、的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数 的全微分为，其中及分别由公式和给出，把公式及中的及代入上式，得由此可见，无论是自变量、的函数或者中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的。这个性质叫做全微分形式不变性。例利用全微分形式不变性解本节的例1。解 ，因，代入后归并含及的项，得（）（），即 比较上式两边的、的系数，就同时得到两个偏导数、，它们同例1的结果一样。兰州工业学院高等数学教案教师姓名授课班级授课时数2授课形式讲授所用教具授课日期所用教材高等数学（同济6版）参 考 书 目教学手段板书 多媒体 混合授课章节名称第八章 多元函数微分学第二节 隐函数的求导法则教学目的要求1、掌握隐函数的求导法则；2、培养学生归纳总结和综合应用的能力。教学重点隐函数的求导法则教学难点方程组确定的隐函数的偏导数更新补充内容1.2.教学提纲一、复习引入1.先复习前面所学过的一元隐函数求导的方法。二、知识模块1.由一个方程所确定的隐函数存在定理； 2.由方程组所确定的隐函数存在定理；.XX、课堂练习P89 习题9-5 XX、课堂总结课外作业P89 习题9-5 2.3.5.7.10.（2）（4）课后体会与总结本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。授 课 主 要 内 容一、复习引入在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.二、隐函数的求导法则1、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有 （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 由于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得 如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得 例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。解 设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。下面求这函数的一阶和二阶导数 =， ; = 。隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程 ()=0 (3)就有可能确定一个二元隐函数。与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 =,=. (4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于 (, )0,将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得 +=0, +=0。因为连续，且,所以存在点的一个邻域，在这个邻域内0，于是得 =,=。 例2 设，求解 设 () =，则=2, =.应用公式(4)，得 =。再一次对求偏导数，得2、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组 (5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数、的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3 设函数、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式): =在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 (6) 这个定理我们不证.与前两个定理类似，下面仅就公式(6)作如下推导。由于 ,0, ,0,将恒等式两边分别对求导，应用复合函数求导法则得 这是关于, 的线性方程组，由假设可知在点的一个邻域内，系数行列式 从而可解出, ，得 , . 同理，可得 , .例3 设，求,和.解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。将所给方程的两边对求导并移项，得 在的条件下， 将所给方程的两边对求导，用同样方法在的条件下可得 例4 设函数在点()的某一邻域内连续且具有连续偏导数，又 (1)证明方程组 (7)在点的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数。(2)求反函数对的偏导数。解 (1)将方程组(7)改写成下面的形式 则按假设 由隐函数存在定理3，即得所要证的结论。(2)将方程组(7)所确定的反函数代入（7），即得 将上述恒等式两边分别对求偏导数，得 由于0，故可解得 同理，可得 兰州工业学院高等数学教案教师姓名授课班级授课时数2授课形式讲授所用教具授课日期所用教材高等数学（同济6版）参 考 书 目教学手段板书 多媒体 混合授课章节名称第八章 多元函数微分学第六节 多元函数微分学的几何应用教学目的要求1、了解偏导数在几何上的应用；2、掌握曲线的切线方程和曲面的切平面方程的求法。教学重点曲线的切线方程和曲面的切平面方程的求法。教学难点空间曲线作为两个曲面交线情形下，曲线的切线与法平面方程的建立更新补充内容1.2.教学提纲一、复习引入1.复习空间解析几何与向量代数的知识二、知识模块1一元向量值函数及其导数三、知识模块21.空间曲线的切线与法平面2.曲面的切平面与法线.四、课堂练习P100 习题9-6 1；2.(2);4;6;10XX、课堂总结课外作业P100 习题9-6 5;7;8;11课后体会与总结本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分 法的应用。利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方式，给出了空间曲线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面方程；同时针对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线方程，并给出了曲面法向量的方向角。授 课 主 要 内 容一、复习引入复习空间解析几何与向量代数的知识二、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为 (1)这里假定式(1)的三个函数都可导。在曲线上取对应于的一点及对应于的邻近一点。根据解析几何，曲线的割线的方程是 当沿着趋于M时，割线的极限位置MT就是曲线在点处的切线(图87).用t除上式的各分母，得 令这时 通过对上式取极限，即得曲线在点处的切线方程为 = (2)这里当然要