运筹学基本可行解的几何意义.ppt

课堂练习1-2：用图解法求解下面的线性规划,按小组分工完成：画约束条件1；画约束条件2；画约束条件3；标明可行域；目标函数等值线；说明如何得到最优解，算出相应的目标函数最优值。其他6个小组对应讲评。,第一步模型标准化；第二步按照基本解的定义找基（非退化3阶方阵）多少个？不超过，为什麽？怎麽找？确定基变量和非基变量；令非基变量为0，解出基变量；基变量和相应非基变量搭配构成基本解；,凸集设K是n维欧氏空间的一个点集，若任意两点X（1）K，X（2）K的连线上的一切点：X（1）+（1-）X（2）K（01），则称K为凸集。,顶点设K是凸集，XK；若X不能用X（1）K，X（2）K的线性组合表示，即XX（1）+（1-）X（2）（01）则称X为K的一个顶点（也称为极点或角点）。,图解法（练习）,181614121086420,|24681012141618,x1,x2,4x1+6x248,2x1+2x218,2x1+x216,可行域,A,B,C,D,E,1、定义“顶点”的方式有什麽特点？2、这种定义方式在什麽场合运用最方便？,讨论,2、线性规划问题解的性质定理：,定理1-1线性规划问题的可行解集（即可行域）是凸集。,证明思路：根据凸集定义，采用直接法证明；具体步骤：从D中任取两个不同的点，应满足可行解定义中相应的条件；证明X=X(1)+(1-)X(2)D(利用，证明X满足凸集定义中相应的条件),定理1-2线性规划几何理论基本定理若，则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性规划的基本可行解。证明思路：定理1-2是X是D的一个顶点X为LP的基本可行解;引理是X为LP的基本可行解X的正分量所对应的系数列向量线性无关;从而将问题转化为X是D的一个顶点X的正分量所对应的系数列向量线性无关,证明要点：（1）引理:X为LP的基本可行解X的正分量所对应的系数列向量线性无关必要性由基本可行解定义直接证得充分性正分量K个,（2）定理1-2（反证法）,必要性第一步：将反证法假设和已知条件具体化；第二步：寻找X附近的属于D的两个点X（1）和X（2）（技巧：将第一步得到的两个式子相加减得到）；第三步：选取适当的，可保证X=1/2X（1）+1/2X（2），从而与“X是顶点”矛盾。,充分性第一步：将反证法假设具体化，明确正分量；第二步：由大前提X是可行解,找出不全为0的一组数；第三步：得到P1,P2,，Pm线性相关的结论，与已知条件矛盾；,定理1-3若可行域非空有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在可行域的顶点上达到最优值。证明思路：首先可行域非空有界就肯定有最优解本定理要证明的是设在非顶点X处取得最优值，则存在顶点X（1）和X（2）也取得相同的最优值。,定理1-4若目标函数在k个点处达到最优值（k2）,则在这些顶点的凸组合上也达到最优值.证明思路：根据凸组合的定义直接证得结论。,课后小组讨论2：（1）读懂证明，理清思路，写出从最罗嗦的证明过渡到最简洁的证明过程（加上边注段落大意）可以作为小实践选题！（2）P70习题1-4（检查是否属于可行域；检查相应的Pj是否线性相关）,上述4个定理的一些有意义的启示：,LP的可行域一定是凸集，但是凸集不一定成为LP的可行域，而非凸集一定不会是LP的可行域。（为什麽？能举例说明吗？）线性规划的基本可行解和可行域的顶点是一一对应的（类似于坐标与点的对应关系！）,在可行域中寻找LP的