中考数学总复习 第一部分 考点知识梳理 2.6 相似形课件.ppt

2.6相似形,命题解读,考纲解读,了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念.掌握平行线分线段成比例定理,了解黄金分割.了解图形相似的概念和相似三角形的概念和性质.了解相似多边形和相似比.理解并掌握两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.理解并掌握相似三角形的判定定理.能够利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性质定理证明和解决有关的问题.了解位似图形的概念,能够利用位似将一个图形放大或缩小,能利用图形的相似解决一些简单实际问题.,命题解读,考纲解读,命题解读,考纲解读,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1比例线段和比例的性质1.线段的比和比例线段(1)线段的比:如果选用同一个长度单位度量的两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们的长度的比,即ABCD=mn,或写成.(2)比例线段:四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.2.线段的比例中项在线段a,b,c中,如果ab=bc,那么b就叫做a,c的比例中项,此时有b2=ac.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,3.黄金分割把线段AB分成两条线段AC,BC(ACBC),如果AC是AB和BC的比例中项,即AC2=ABBC,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,4.比例的性质,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)此性质的证明运用了“设k法”(即引入新的参数k),这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中的一种常用方法;(2)应用等比性质时,要考虑分母是否为零;(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例1(2016山东威海)如图,在ABC中,B=C=36,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点H,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点G,连接AD,AE,则下列结论错误的是()B.AD,AE将BAC三等分C.ABEACDD.SADH=SCEG,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【解析】B=C=36,AB=AC,BAC=108,DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,DB=DA,EA=EC,B=DAB=C=CAE=36,BDABAC,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【答案】A,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点2平行线分线段成比例1.平行线等分线段定理三条平行线截两条直线,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.2.平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截,所截得的对应线段成比例.3.推论(三角形一边的平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【解析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可.DEBC,.【答案】C,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【变式训练】(2016山东济宁)如图,ABCDEF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么的值等于.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点3相似三角形的判定1.相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.2.相似三角形的判定(1)平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.(2)两角相等的两个三角形相似.(3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.(4)三边对应成比例的两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,3.相似基本图形(1)“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图).(2)“斜交型”的相似三角形(需满足1=2,有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”).,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(3)“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”、“三垂直型”).,这些相似三角形的基本图形只是最基本的,也是为了让同学们尽快地熟悉常见的相似三角形的情况,但在实际问题中,两个相似三角形的位置各种各样、千变万化,脑海中不能仅局限于以上这几种情况.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例3(2016湖南娄底)如图,已知A=D,要使ABCDEF,还需添加一个条件,你添加的条件是.(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)【解析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件.A=D,当B=DEF时,ABCDEF,ABDE时,B=DEF,添加ABDE时,ABCDEF.【答案】ABDE(答案不唯一),综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【变式训练】(2016江苏盐城)如图,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与AEF相似的三角形有(C)A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABDC,AEFBCF,AEFDEC,与AEF相似的三角形有2个.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点4相似三角形的性质1.相似三角形的对应角都相等、对应边都成比例.2.相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3.相似三角形的周长的比等于相似比.4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.,(1)相似三角形的相似比k具有顺序性,甲与乙的相似比是k,则乙与甲的相似比是;(2)利用相似三角形的性质,可以证明角相等、线段成比例,也可以求三角形的周长、边长、面积等.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例4(2016兰州)已知ABCDEF,若ABC与DEF的相似比为,则ABC与DEF对应中线的比为(),【解析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答.ABCDEF,ABC与DEF的相似比为,【答案】A,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【变式训练】如图,在一块直角三角板ABC中,C=90,A=30,BC=1,将另一个含30角的直角三角板EDF的30角的顶点D放在AB边上,E,F分别在AC,BC上,DE与AB垂直,若CEF与DEF相似,则AD=.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点5位似图形1.位似图形如果两个相似图形的对应顶点的连线交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.,位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点;位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形;位似图形的对应边互相平行或共线.,2.位似图形的性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3.位似图形的画法步骤(1)确定位似中心(位似中心可以是平面上任意一点);(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取);(3)根据已知位似比,确定所画位似图形中关键点的位置;(4)顺次连接上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形.,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,附:常见的位似图形,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例5(2016山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2),【解析】正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为解得OA=1,OB=3,C点坐标为(3,2).【答案】A,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【备用练习】如图,ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-1,1),C(-3,2).(1)请画出ABC关于y轴对称的A1B1C1;(2)以原点O为位似中心,将A1B1C1放大为原来的2倍,得到A2B2C2,请在第三象限内画出A2B2C2,并求出,综合探究,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【答案】(1)A1B1C1如图所示.(2)A2B2C2如图所示.A1B1C1放大为原来的2倍得到A2B2C2,综合探究,考点扫描,1.相似三角形中的动点问题典例1(2016内蒙古赤峰)如图,正方形ABCD的边长为3cm,P,Q分别从B,A出发沿BC,AD方向运动,P点的运动速度是1cm/s,Q点的运动速度是2cm/s,连接A,P并过Q作QEAP,垂足为E.(1)求证:ABPQEA;(2)当运动时间t为何值时,ABPQEA;(3)设QEA的面积为y,用运动时间t表示QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围)(提示:解答(2)(3)时可不分先后)【解析】(1)根据正方形的性质和相似三角形的判定证明即可;(2)根据全等三角形的判定和性质,利用勾股定理解答即可;(3)根据相似三角形的性质得出函数解析式即可.,综合探究,考点扫描,【答案】(1)四边形ABCD为正方形,BAP+QAE=BAD=90,QEAP,QAE+EQA=AEQ=90,BAP=EQA,B=AEQ,ABPQEA.(2)ABPQEA,AP=AQ.在RtABP与RtQEA中根据勾股定理得AP2=32+t2,AQ2=(2t)2,即32+t2=(2t)2,综合探究,考点扫描,综合探究,考点扫描,2.相似三角形与函数问题的综合典例2(2016广东梅州)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=5cm,BAC=60,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0t5),连接MN.(1)若BM=BN,求t的值.(2)若MBN与ABC相似,求t的值.(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.,综合探究,考点扫描,的对应边成比例得出比例式,即可得出t的值;(3)过M作MDBC于点D,则MDAC,证出BMDBAC,得出比例式求出MD=t.四边形ACNM的面积y=ABC的面积-BMN的面积,得出y是t的二次函数,由二次函数的性质即可得出结果.,综合探究,考点扫描,【答案】(1)在RtABC中,ACB=90,AC=5,BAC=60,B=30,综合探究,考点扫描,综合探究,考点扫描,综合探究,考点扫描,3.相似三角形与旋转变换综合的问题探究典例3在AOB中,C,D分别是OA,OB边上的点,将OCD绕点O顺时针旋转到OCD.(1)如图1,若AOB=90,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点,证明:AC=BD;ACBD.(2)如图2,若AOB为任意三角形且AOB=,CDAB,AC与BD交于点E,猜想AEB=是否成立?请说明理由.,综合探究,考点扫描,【解析】(1)由旋转的性质得出OC=OC,OD=OD,AOC=BOD,证出OC=OD,由SAS证明AOCBOD,得出对应边相等即可;由全等三角形的性质得出OAC=OBD,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出BEA=90,即可得出结论;(2)由旋转的性质得出OC=OC,OD=OD,AOC=BOD,由平行线得出比例式证明AOCBOD,得出OAC=OBD,再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出AEB=.,综合探究,考点扫描,【答案】(1)OCD旋转到OCD,OC=OC,OD=OD,AOC=BOD.OA=OB,C,D为OA,OB的中点,OC=OD,OC=OD.AOCBOD(SAS),AC=BD.延长AC交BD于点E,交BO于点F,如图(1)所示.AOCBOD,OAC=OBD.又AFO=BFE,OAC+AFO=90.OBD+BFE=90,BEA=90,ACBD.,综合探究,考点扫描,(2)AEB=成立,理由如下:如图(2)所示.设AC与BO交于点F.OCD旋转到OCD,OC=OC,OD=OD,AOC=BOD,又AOC=BOD,AOCBOD,OAC=OBD,又AFO=BFE,AEB=AOB=.,命题点,命题点相似三角形的判定及性质(必考)1.(2016安徽第8题)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为(B),【解析】本题考查相似三角形的判定与性质.BC=8,CD=4,在CBA和CAD中,B=DAC,C=C,CBACAD,命题点,2.(2016安徽第23题)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:PCEEDQ.(2)延长PC,QD交于点R.如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形;如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.,命题点,解:(1)点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,DE=OC,DEOC,CE=OD,CEOD,四边形ODEC是平行四边形,OCE=ODE,OAP,OBQ是等腰直角三角形,PCO=QDO=90,PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ,PCEEDQ(SAS).,命题点,(2)如图,连接OR.PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线.AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD.在四边形