安徽省2019年中考数学一轮复习第一讲数与代数第一章数与代数1.2整式课件.ppt

1.2整式,理解用字母表示数、代数式的实际背景或几何意义,理解代数式的值,熟练掌握整式的加、减、乘、除运算(多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘),熟练地掌握乘法公式,了解整数的概念,了解整数指数幂的意义和基本性质,了解因式分解的意义,掌握用提公因式法、公式法进行因式分解(指数是正整数,直接用公式不超过两次).,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,素养提升,考点6,列代数式(8年2考)1.代数式的概念用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.名师点睛代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号,而公式和等式中都含有等号.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,素养提升,考点6,2.列代数式把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.列代数式的常见模型有:(1)原量a增加(减少)10%为a(110%);比原量a的n倍多(少)m为anm;(2)原价a的八折为a;原价a按成本提高x%后再打七五折为a(1+x%)0.75;(3)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为ax+by元;(4)每天完成的工作量为a,则要完成m的工作量所需时间为天.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,素养提升,考点6,典例1(2018芜湖模拟)某市2017年生产总值(GDP)比2016年增长了12%,由于受到国际金融危机的影响,预计今年比2017年增长7%.若这两年GDP年平均增长率为x%,则x%满足的关系是()A.12%+7%=x%B.(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)C.12%+7%=2x%D.(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2【解析】设2016年的国内生产总值为1,2017年国内生产总值(GDP)比2016年增长了12%,2017年的国内生产总值为1+12%,2018年比2017年增长7%,2018年的国内生产总值为(1+12%)(1+7%),这两年GDP年平均增长率为x%,2018年的国内生产总值也可表示为(1+x%)2,则x%满足的关系是(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2.【答案】D,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,素养提升,考点6,【变式拓展】甲、乙、丙三家超市为了促销同一种定价为m元的商品,甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%,第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是()A.甲B.乙C.丙D.都一样【解析】降价后三家超市的售价:甲为(1-20%)2m=0.64m,乙为(1-40%)m=0.6m,丙为(1-30%)(1-10%)m=0.63m,因为0.6m0.63m0.64m,所以此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是乙.,B,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,代数式求值(8年1考)用数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值.名师点睛列代数式的注意事项:(1)代入求值时,一般要先化简,再代入计算,这样能减少运算量;(2)代数式中的字母取值一定要使原代数式有意义.,【答案】D,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,提分训练1.(2018湖南岳阳)已知a2+2a=1,则3(a2+2a)+2的值为.【解析】利用整体思想代入计算即可.a2+2a=1,3(a2+2a)+2=31+2=5.,5,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,数式规律探究(8年6考)规律探究题是安徽中考必考题型,除2015年在填空题中考查、2010年在选择题中考查外,其余均在解答题中考查.此类题型主要考查学生通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程,来总结出一般性结论的能力.解决这类问题的一般思路是通过所给出的式子、图形进行观察、分析、比较,从而发现其中的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以应用.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,典例3观察下列各个等式的规律:,请用上述等式反映出的规律解决下列问题:(1)直接写出第四个等式;(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.【解析】(1)根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式;(2)根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n个等式并加以证明.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,提分训练,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,整数指数幂的意义和基本性质(8年6考)1.整数指数幂的运算性质当m,n都是整数时,aman=am+n;aman=am-n(a0);(am)n=amn;(ab)n=anbn;,2.零指数幂与负整数指数幂(1)a0=1(a0);(2)a-p=(a0,p是正整数).,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,典例4(2018四川攀枝花)下列运算结果是a5的()A.a10a2B.(a2)3C.(-a)5D.a3a2【解析】a10a2=a8,A选项错误;(a2)3=a6,B选项错误;(-a)5=-a5,C选项错误;a3a2=a5,D选项正确.【答案】D提分训练3.(2018山东滨州)下列运算:a2a3=a6;(a3)2=a6;a5a5=a;(ab)3=a3b3.其中结果正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】a2a3=a5,错误;(a3)2=a6,正确;a5a5=1,错误;(ab)3=a3b3,正确.正确的有2个.,B,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,整式(8年3考)1.整式的概念单项式与多项式统称为整式.2.同类项(1)同类项:多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.(2)合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.3.整式的加减一般地,几个整式相加减,如果有括号,就先去括号,然后再合并同类项.名师点睛整式的加减运算最终可归结为去括号、合并同类项.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,4.整式的乘法(1)单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.(3)多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,5.整式的除法(1)单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.6.乘法公式(1)完全平方公式:(ab)2=a22ab+b2.(2)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,典例5(2018浙江衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:,小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,对于方案一,小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.【解析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程,本题得以解决.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,提分训练4.如图,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是a+6.,【解析】拼成的长方形的面积=(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6),拼成的长方形一边长为a,另一边长是a+6.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,5.(2018四川乐山)先化简,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3(-8m),其中m是方程x2+x-2=0的根.【答案】原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3(-8m)=4m2-1-m2+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m-1),m是方程x2+x-2=0的根,m2+m-2=0,即m2+m=2,原式=2(2-1)=2.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,因式分解(8年6考)1.因式分解把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解的方法(1)提公因式法:把公因式提到括号外面,这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m(a+b+c),这种因式分解的方法叫做提公因式法.(2)公式法:利用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法.温馨提示(1)因式分解时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,先提公因式,然后再考虑是否能用公式法分解;(2)因式分解一定要分解到不能再分解为止.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,典例6下列因式分解正确的是(),B.x4-2x2+1=(x2-1)2C.xy2-3x2y+xy=xy(y-3x)D.(x-3)(x+4)=x2+x-12,【解析】,A选项正确;x4-2x2+1=(x2-1)2=(x+1)2(x-1)2,B选项错误;xy2-3x2y+xy=xy(y-3x+1),C选项错误;(x-3)(x+4)=x2+x-12,不是因式分解,是整式的乘法,D选项错误.【答案】A,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,提分训练6.下列各式由左到右的变形中,属于分解因式的是()A.a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.10 x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x【解析】A选项变形为去括号,不是因式分解;B选项等式右边没有化为几个整式的乘积形式,不是因式分解;D选项等式右边没有化为几个整式的乘积形式,不是因式分解.,C,考点扫描,素养提升,“因式分解”中数学思想方法的应用多1.数形结合思想在因式分解中的应用典例1如图所示,根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解为.,(a+b)(a+4b),【解析】由图可知a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b).,考点扫描,素养提升,2.归纳猜想思想在因式分解中的应用典例2观察下列等式:12-31=1(1-3),22-32=2(2-3),32-33=3(3-3),42-34=4(4-3),则第n个等式可表示为.【解析】由于每个等式第一个数值由1的平方到2的平方逐渐增加,接着减去的是31,32等,等式右边是前面数字的一种组合,由此第n个等式可表示为n2-3n=n(n-3).3.配方法在因式分解中的应用典例3若a2+2b2+5c2=4bc-2ab+2c-1,则a-b+c的值是()A.-3B.0C.1D.2【解析】a2+2b2+5c2=4bc-2ab+2c-1,a2+2b2+5c2-4bc+2ab-2c+1=0,(a+b)2+(b-2c)2+(c-1)2=0,a+b=0,b-2c=0,c-1=0,a=-2,b=2,c=1,a-b+c=-3.,n2-3n=n(n-3),A,考点扫描,素养提升,4.因式分解中其他重要方法分组分解法典例4先阅读下面的材料,再分解因式.要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它的前两项分成一组,并提出a,把它的后两项分成一组,并提出b,从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n).这时,由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n),于是可提公因式(m+n),从而得到(m+n)(a+b),因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这种因式分解的方法叫做分组分解法,如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.,考点扫描,素养提升,请用上面材料中提供的方法因式分解:(1)ab-ac+bc-b2=a(b-c)-b(b-c)(请你完成分解因式下面的过程)=.(2)m2-mn+mx-nx.(3)x2y2-2x2y-4y+8.【解析】根据分组分解法的概念即可求解.【答案】(1)(a-b)(b-c).(2)m2-mn+mx-nx=m(m-n)+x(m-n)=(m+x)(m-n).(3)x2y2-2x2y-4y+8=x2y(y-2)-4(y-2)=(y-2)(x2y-4).,考点扫描,素养提升,5.因式分解中其他重要方法十字相乘法典例5计算(ax+b)(cx+d)=acx2+adx+bcx+bd=acx2+(ad+bc)x+bd,倒过来写可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积,常数项也为两个有理数的乘积,而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果,这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法.如图1所示.示例:因式分解:12x2-5x-2.解:由图2可知12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1).请根据示例,对下列多项式因式分解:2x2+7x+6;6x2-7x-3.,考点扫描,素养提升,【解析】根据题意给出的因式分解法即可求出答案.【答案】2x2+7x+6=(x+2)(2x+3).6x2-7x-3=(2x-3)(3x+1).,命题点1幂的运算性质(常考)1.(2018安徽第3题)下列运算正确的是()A.(a2)3=a5B.a4a2=a8C.a6a3=a2D.(ab)3=a3b3【解析】根据幂的乘方的运算性质可知(a2)3=a6,故A错误;根据同底数幂乘法的运算性质可知a4a2=a6,故B错误;根据同底数幂除法的运算性质可知a6a3=a3,故C错误;根据积的乘方的运算性质可知(ab)3=a3b3,D正确.2.(2017安徽第2题)计算(-a3)2的结果是()A.a6B.-a6C.-a5D.a5【解析】(-a3)2=(a3)2=a6.3.(2012安徽第3题)计算(-2x2)3的结果是()A.-2x5B.-8x6C.-2x6D.-8x5【解析】根据积的乘方和幂的运算法则可得B正确.,D,A,B,命题点2因式分解(常考)4.(2018