概率论第一章随机事件及其概率.ppt

概率论与数理统计,统计学院汪家义,二、随机现象,四、随机事件,一、概率论的诞生及应用,三、随机试验和样本空间,1.1随机事件,第一章随机事件及其概率,五、事件的集合表示,六、事件的关系与运算,七、事件运算的性质,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念,一、概率论的诞生及应用,1.概率论的诞生,2.概率论的应用,概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,二、随机现象,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.,2.随机现象,“函数在间断点处不存在导数”等.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,结果有可能为:,1,2,3,4,5或6.,实例3抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例2用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.,结果:弹落点会各不相同.,实例4从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品、次品.,实例5过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.,实例6出生的婴儿可能是男,也可能是女.,实例7明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨.,随机现象的特征,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果,2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.,1.可以在相同的条件下重复地进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,定义,三、随机试验和样本空间,（一）随机试验,说明,1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”或“测量”等.,实例“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”.,分析,2.随机试验通常用E来表示.,(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;,1.抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,2.从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数.,同理可知下列试验都为随机试验.,(2)试验的所有可能结果:,字面、花面;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,样本点e,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.,（二）样本空间,例1将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:,S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),(H,T)：,(T,H):,(T,T)：,(H,H):,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.,则样本空间,实例2抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例3记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.,实例4从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.,实例5记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.,2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.,例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为,若观察出现正面的次数,则样本空间为,说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.,所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.,随机事件在一个随机试验中，可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，简称为事件。通常以大写英文字母A,B,C,来表示事件。,试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.,四、随机事件,例如上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.,必然事件随机试验中必然会出现的结果.,不可能事件随机试验中不可能出现的结果.,例如上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.,例如“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”.,基本事件:对于一个随机试验来说，它的每一个结果（样本点）是一个最简单的随机事件，称为基本事件。,(相对于观察目的不可再分解的事件),五、事件的集合表示,随机事件是样本空间中具有相同特征的样本点构成的集合，它可以看成是样本空间的一个子集合。当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生。,（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件B=掷出奇数点,两点说明：,(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,两个特殊事件,六、事件的关系及其运算,1.事件的包含：如果事件A的发生必然导致事件B的发生，即属于A的每个样本点也都属于B，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记作或。,如A=“长度不合格”，B=“产品不合格”,所以A包含于B.即,B,因为“长度不合格”必然导致“产品不合格”,2.事件的相等：如果事件A包含事件B，且事件B也包含事件A，则称事件A与事件B相等。即事件A与事件B的样本点完全相同。记作A=B。,3.事件的并(或和)：“事件A和B至少有一个发生”是一个随机事件，这一事件称作事件A与B的并(或和)，记作或。,例如设某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,记A=“产品不合格”，B=“长度不合格”，C=“直径不合格”.则,A,事件A与B的并的文示图,4.事件的交(或积):“事件A和B都发生”是一个随机事件，这一事件称作事件A与B的交(或积)，记作或。,A,B,AB,例如设某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,记A=“产品合格”，B=“长度合格”，C=“直径合格”.则,事件A与B的积事件的文(Venn)图,同样，事件交运算也可以推广到有限个或可列无穷个事件上去。,和事件与积事件的运算性质：,注：类似集合的证明方法可证明上述事件的运算性质。,5.事件的差:“事件A发生而事件B不发生”是一个随机事件，这一事件称作事件A与B的差。它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合。记作A-B。,A,B,例如记C=“长度合格但直径不合格”，A=“长度合格”，B=“直径合格”.则C=A-B。可以证明：,6.互不相容事件:如果事件A与B不能同时发生，即，则称事件A与B是互不相容的（或称事件A与B是互斥的）。显然，任意两个基本事件是互不相容的。,例如抛掷一枚硬币,记A=“出现花面”，B=“出现字面”则，A、B是互不相容（互斥）的两个事件.,互斥事件的文氏图,7.对立事件:“事件A不发生”是一个随机事件，这一事件称作事件A的对立事件（或A的逆事件）。记作。由于A也是的对立事件，因此，称A与互为对立事件。,例如“骰子出现1点”“骰子不出现1点”,B,若A与B互逆,则有,显然有：,8.完备事件组:若n个事件,满足以下两个条件：(1)(2)则称事件构成一个完备事件组。,例如掷一枚骰子，记Ai=“骰子出现i点”(i=1,2,6)则A1,A2,A6构成一个完备事件组.,化整为零各个击破,完备事件组在简化事件概率的计算中有重要应用。,七、事件运算的性质,注意：（1）事件的运算与数的运算的区别。,设A、B、C是随机事件举例说明下列命题或等式不成立。,1）若A+B=A+C，则B=C；,2）若AB=AC，则B=C；,3）A-(B-C)=A-B+C；,4）(A+B)-B=A+(B-B)=A;,5）(A-B)+B=A。,正确结论是(A+B)-B=A-B,正确结论是(A-B)+B=A+B,（2）对立事件与互斥事件的区别。,B,A、B对立,A、B互斥,互斥,对立,请自举一例说明互斥但不对立（不互逆）。,(1)A出现,B,C不出现;,(5)三个事件都不出现;,(2)A,B都出现,C不出现;,(3)三个事件都出现;,(4)三个事件至少有一个出现;,(6)不多于（至多有）一个事件出现;,该事件的等价描述是“至少有两个事件不出现”。,例1设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.,总个数3-1,所以该事件也可表示为,(7)不多于（至多有）两个事件出现;,该事件的等价描述是“至少有1个事件不出现”。,该事件也可以描述为“三个事件不都出现”。,该事件的逆事件是“三个事件都出现”。,(8)三个事件至少有两个出现;,(9)A,B至少有一个出现,C不出现;,(10)A,B,C中恰好有两个出现.,该事件的等价描述是“三个事件至多有1个事件不出现”。,该事件的另一种表示法是,注意：这种表示法中的三个事件并非两两互斥的事件,例2设事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，如何表述A的逆事件？,解记B=“甲产品畅销”，C=“乙产品滞销”，,则A=BC，由摩根律,所以，A的逆事件表述为“甲产品滞销或乙产品,畅销”。,例3向一目标射击三次，用事件A表示,“至多有一次击中目标”，则A的逆事件可表述为：,解设Bi（i=1,2,3）表示第次击中目标