弹性力总结

1 / 46 弹性力总结 弹性力学学习体会 【摘要】：在弹性力学的学习过程中，我一直思考其与之前所学的材料力学的差异与联系。就个人的理解谈谈弹性力学和材料力学两者之间关系。 【关键词】：弹性力学 、材料力学、联系、区别 经过一个学期的弹性力学学习，说句实话，弹性力学学起来还真的比较的抽象，有很多知识理解起来不是很清楚，比如一些公式的推导以及解题方法。弹性力学要求的数学功底比较高。不过通过弹性力学的学习，还是了解到了一些相关的基本理论和一些解题思想。 弹性力学，是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。弹性力学的研究对象是完全弹性体，弹性体是变形体的一种，在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，出去外力后，除去外力后物体即恢复原状。根据问题的性质，2 / 46 忽略一些很小的次要因素，对物体的材料性质采用了一些基本假定，即弹性力学的基本假定，主要有连续性、完全弹性、均匀性、各向同性，符合以上假定的物体 ，就称为理想弹性体；此外，假定位移和形变是微小的。在物体的任意一点，应力分量 ?x， ?y， ?z， ?yz， ?zx， ?xy，这六个应力分量就可以完全确定该点的应力状态；形 ， ?zx，变分量 ?x， ?y， ?z， ?yz?xy，这六个应变分量就可以完全确定该点的形 变状态。物体任意一点的位移，用它 在 x、 y、 z三轴上的投影表示。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力 -应变关系和运动 (或平衡 )规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共 15 个函数。从理论上讲，只有 15 个函数全部确定后，问题才算解决。但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数 ，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。数学弹性力学的典3 / 46 型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 弹性力学是一门研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移的科学，主要研究任务是解决弹性体的强度、刚度和稳定性问题。与材料力学相比较，弹性力学不必引入一些仅仅为了方便数学推演的 而人为进行的假定，因而运用弹性力学解决问题得出的结果会更加精确，我们也可以运用这种精确的结果来校核材料力学中的近似解。 弹性力学与材料力学研究对象和研究方法上存在着一些差异，但是他们之间的界限却又不是那么明显。以弹性力学的平面问题为例，由弹性力学中平面问 题的三套基本方程和两种边界条件联立，就得到了求解两类平面问题的一些基本方程。但是要由这些基本方程求得解析解，又是一个复杂而困难的问题，需要很强数学知识。 材料力学和弹性力学都是分析各种构物或其构件在弹性阶段的应力和位 4 / 46 移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求和改进它们的计算方法。然而两门力学在研究对象上有所分工，在研究方法上也有所不同。材料力学里基本上只研究所谓杆状构件，即长度远大于高度和宽度的构件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移是材料力学主要研究内容。至于非杆状结构如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构，则在弹性力学里加以研究。对于杆状构件作进一步的精确分析也需要用弹性力学。 材料力学里研究的杆状构件除了用静力学、几何学、物理学三方面进行分析外，大都要引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，例如平面假设，这就大大简化了数学推演，但是得出的解答有时只是近似的。弹性力学里研究杆状构件一般都不必引用那些假定，因此结果较准确。材料力学和弹性力学各有所长，它们之间关系密切，可以这么说，材料力学是弹性力学以一种特例。由于材料力学的计算比较弹性力学简单很多，虽然它得到的解不是很精确，但绝大多数情况下，是满足实际工程需要的，所以在实际工程中应用广泛。弹性力学虽然计算复杂，但它可是 得到非常精确的解，在科技研究方面有巨大的优势。尤其是随着计算机技术的飞速发展，有限元应用得到极大的发展，在科学技术发面发挥重要的作用。 5 / 46 通弹性力学的学习，我对应变、应力等量的意义有了更深的了解，以及对有限元法、差分法、逆解法和半逆解法有所了解；不过还是有很多问题和疑惑，需要去思考。最后，感谢老师这一学期以来的教诲！ 参考文献 1.孙训芳，方孝淑，关来泰编 :材料力学 ,高等教育出版社 ,北京 , 2.徐芝纶编：弹性力学简明教程 ,高等教育出版社 ,北京 , :/link?url=2rIBMdebB-ry_6nICsZgp8mjHI5j30bY6lJ7Ni88e67js4UbRvSInA9R4LCLRGvF 1 弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用 途为： 1）连续性假定：引用这一假定后，物体中 的应力、应变和位移等物理 量就可看成是连续的， 因 此， 建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续 函数来表示他们的变化规律。 2）完全弹性假定：这 一假定包含应力与应变成正比的含义， 亦即二者呈线 性关系，复合胡克定律，从而使物6 / 46 理方程成为线性的 方程。 3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体 内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这 些物理性质的弹性常数就不随位置坐标而变化。 4）各向同性假定：各 向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同 的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。 5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问 题时，不 用考虑物体尺寸的改变， 而仍然按照原来的尺寸和形 状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可 以将它们的二次幂或乘积略去不计， 使得弹性力学的 微分方程都简化为线性微分方程。 2 对于地下硐室或巷道， 为什么常常简化为平面应变 问题？在什么情况下可以为平面应变问题？ 因为其弹性体形状的特殊性， 因此可以这类把空间问 题简化为近似的平面问题， 这样可以使计算的工作量 大大减少， 而且所得结果仍然能满足工程上对精度的 需求。 当弹性体某一个方向的尺寸远大于另外两个 方向的尺寸时，问题可以简化为平面 应变问题。 3、简述弹性力学、材料力学和结构力学三者的相同 点和不同点。 学科 研究对 分析对 目标 特点与 象 象 精度 材料 杆状构 面上应 强度、 宏观、 力学 件： 杆、 力、位 刚度 近似 梁、柱 移 结构 杆系结 面上应 强度、 宏观、 力学 构：桁 力、位 刚度 近似 架、钢 移 架 弹性 一切弹 空间各 强度、 细观、 力学 性范围 点的应 刚度、 较精确 内的固 力、位 点的7 / 46 状 体连续 移 态 介质： 板、 壳、 坝、 翼、 墙等 需要说明的是弹性力学和材料力学在剪应力方面定 义的是完全相 反的。 4、 求解弹性力学问题时， 常常要用利用圣维南原理， 为什么？ 在求解弹性力学问题时， 使应力分量、 形变分量、 位移分量完全满足基本方程并不困难；但是，要使得 边界条件也得完全满足，却往往发生很大的困难； 另 一方面，在很多的工程结构计算中， 都会遇到这样的 情况：在物体的一小部分边界上，仅仅知道物体所受 面力的合成， 而这个面力的分布方式并不明确，因而 无从考虑这部分边界上的应力边界条件。 圣维南原理： 如果物体的一小部分边界上的面力变换 为分布不同但静力等效的面力 ， 则近处的应力分布将有显著 的改变， 但远处的应力所 受影响可以忽略不计。 作用： 将次要边界上复杂的面力作分布的面力代替。 将次要的位移边界 条件转化为应力边界条件处理。 5、写出在直角坐标系下空间弹性力学问题的基本方 程及其边界条件的一般形式。 边界条件： 应力边界条件：力及约束作用于板边，平行于板面，并沿厚度不变； 如 何 简 化？ 两板 面 无面 力 和约 束作 用 ，故 由于薄板很薄，应力是连续变 (? z , ? zx , ? zy ) z ? ? ? 02 化的，又无 Z 向外力，可认为 V 中） ，故平面只有平面应力 (? z ,? zx ,? zy ) ? 0 ? z ,? zx ,? zy 存在。由于板等厚度，外力、约束沿 Z 向不变，可归纳为平 面应力问8 / 46 题。还得满足 a 。应力中只有平面应力 存在； b，且仅为 ? z ,? zx ,? zyf ( x, y )7、弹性力学按应力和位移求解，分别应满足什 么方程和边界条件？ 按应力求解平面问题时 ，应力分量 必须满足下列条件： 在区域内的 ? x , ? y 和 ? xy平衡微分方程； 在区域内的相容方程。满足的边 界条件： (l? x ? m? yx ) ? f x ( s )(m? y ? l? xy ) ? f y ( s)对于单连体 ，上述条件 就是确定应力的全部条件。对于多连体 ，还 必须满足多连体中的位移单值条件。 按位移求解平面问题时，位移分量必须在区域 内满足微分方程 E ? 2u 1 ? u ? 2u 1 ? u ? 2 v ( ? ? ) ? fx ? 0 2 ?y 2 2 ?x?y 1 ? u 2 ?x 2 程，以及在边界上的应力或位移边界条件。一般有两 种求解途径： 位移法 ：取位移分量 为基本未知函数， 从基本未方程和应力边界条件中消 去应力和应变分量， 导出用位移表示的平衡微分方程 和用位移表示的应力边界条件。并由此求出位移分 量，用过几何方程求出应变分量，再由物理方程求出 应力分量 应力法 ：取应力分量为基 本未知函数， 从基本方程和边界条件中消去位移和应 变分量，导出用应力表示的相容方程和边界条件。 并 由此求出应力分量，再求出应变和位移分量。 采用应力求解时必须满足相容方程，是因 为相容方程是应变对应位移存在且连续的必要条件。 当应变分量满足相容方程后， 可以求出对应的位移分 量，说明位移是存在的而且必然连9 / 46 续。反之，不满足 相容方程的应变分量，不是 物体中实际存在的，也求 不出对应的位移。 (3)混合法：同时以某些位移分量和某些应力 分量作为基本未知量， 用包含上述基本未知量的微分 方程和边界条件求出这些基本未知量， 再用相关方程 求出其它未知量。 用位移表示的平衡微分方程： E ?u 2 1 ? u ? 2 u 1 ? u ?v 2 ( ? ? ) ? fx ? 0 2 ?y 2 2 ?x?y 1 ? ? 2 ?x 2E ?v 2 1 ? u ? 2 v 1 ? u ?u 2 ( ? ? )? fy ? 0 2 ?x 2 2 ?x?y 1 ? ? 2 ?y 2E ? 2 v 1 ? u ? 2 v 1 ? u ? 2u ( ? ? ) ? fy ? 0 2 ?x 2 2 ?x?y 1 ? u 2 ?y 2 并在边界上满足位移边界条件： (u )s用位移表示的应力边界条件： E ?u ?v 1 ? u ?u ?v l ( ?u )?m ( ? ) ? fx 2 ?y ?x 1 ? ? 2 ?x ?yE ?v ?u 1 ? u ?u ?v m( ?u )?l ( ? ) ? fy 2 ?y ?x 1? ? 2 ?y ?x?u， (v ) s ? v8、 在求 解力学问题时， 常常要用到圣维南原理， 为什么？ 在求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分 量、位移分量完全满足基本方程并不困难；但是，要 使得边界条件也得完全满足，却往往发生很大的困 难；另一方面，在很多的工程结构计算中，都会遇到 这样的情况： 在物体的一小部分边界上，仅仅知道物 体所受面力的合成，而这个面力的分布方式并不明 确，因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件。 圣 维南原理： 如果物体的一小部分边界上的面力变换为 分布不同但静力等效的面力 ，则 近处的应力分10 / 46 布将有显著的改变， 但远处的应力所受 影响可以忽略不计。作用： 将次要边界上复杂的 面力 作分布的面力代替。 将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 9 、写出虚功原理和最小势能原理的数学表达 式，并解释其含义。 虚功原理：在弹性体上，外力按应力求解平面问题，满足的平衡微分方 程： ? x ? yx ? ? fx ? 0 ?x ?y ? y ? xy ? ? fy ? 0 ?y x 用 2应力表示的相容方程： ?f y 应 力 边 界 条 件 ?f ? (? x ? ? y ) ? ?(1 ? u )( x ? ) ?x ?y (l? x ? m? yx ) ? f x ( s ) (m? y ? l? xy ) ? f y ( s)对于多连体，还必须满足位移单值条件。 相容方程用应力表示：平面应力情况： ： ? 2 (? x ? ? y ) ? ?(1 ? u )( ?f x ?f y ? ) ?x ?y平 面 应 变 ：力 f i ）在任意一组变形可能位移上所做的虚功，等于任一组静力可能应力在与上述变形可能位移相应 的可能应变上所做的功，即： ? 2 (? x ? ? y ) ? ?1 ?f x ?f y ( ? ) 1 ? u ?x ?y相 容 方 程 用 应 变 表 示 ： 2 2 ? 2 ? x ? ? y ? ? xy ? ? 2 2 ? x?y ?y ?x?其中、 ?f i ui(s) i(k )d? ? ? f iS(s)(s)ui(k )dS ? ? ? ij?(s)? ij ( k ) d?上 f? ? ij n j，且在应力边界 Suui(k )静力可能应力 ( s ) 和变形 ? ui 在虚功原理中， ? ij(k ) i 相容方程用应力函数表示：可能位移 u及其相应的可能应变 ? ij ( k ) 可以是相 ? 2 ? ( x, y ) ? 013、说明哪些数学方法可用于弹性力学问题的解析 或半解析求解？ 差11 / 46 分法、变分法有限单元法？ 14.说明有限元法的原理和步骤。 原理：将连续体变换为离散结构，然后利用分 片插值技术与虚功原理或变分原理进行求解步骤： 结构的离散化 ， 建立计算模型 单元分析。包括构造单元的位移模式 ， 求解单元的等效结点荷载列阵 Re ， 应变单位矩阵 应力转换矩阵 S 和单元刚度矩阵 k e 等。 B ， 整体分析。即将各个单元集成离散化的结构模型， 有 e 集成 K ，有 Re 集成 R，解出结构的整体结k l (? x ) s ? m(? yx ) s ? n(? zx ) s ? X Nm(? y ) s ? n(? zy ) s ? l (? xy ) s ? YNn(? z ) s ? l (? xz ) s ? l (? yz ) s ? Z N 互独立而无任何关系的静力可能状态和变形可能状 态。最小势能原理：在所有变形可能位移中，真实位 移使处于稳定平衡状态的弹性体的总势能取最小值。 最小势能原理的变分形式为 ?U ? ?V ? 0, ?U - 形变 势能的变分； ?V -外力功的变分 10、对于土木工程问题，分类说明物体产生应 力和变形的外部原因和因素 . 外部原因 :1、外力会产生应力及形变 ， 可以细说到荷载的分布、 大小、 方向的不同。 2、 位移会产生应力及变形 3、 温度的变化或温度的不均匀会产生温度应力， 若没有 完全约束，会产生温度变形同时，同一结构在受不变 荷载作用时，改变约束条件 ，其 应力的大小及分布还有变形也会不同。 11、简述变分法，复变函数方法和积分变化方法求 解12 / 46 弹性力学问题的思路和特点。 变分解法，即预先使位移函数满足 Su 上的位移边界 条件再满足位移变分方程， 必然也可以找出对应于实 际平衡状态的位移解答。 变分是在同一点位置上由于 状态改变而引起的反函数的改变： 取位移函数为自变 量， 并以势能极小值条件导出变分方程， 应力变分法 取应力函数为自变量，并以余能极小值导出变分方 程。 复变函数是应力函数、 位移分量函数可以用复变 函数的两个解析函数来表示称为 K-M 函数，根据满 足两个解析函数的边界条件求解。 12. 弹性力学问题的基本求解方法是什么？弹性力 学问题采用应力求解时为什么要用变形协调方程？ 并写出在平面情形 直角坐标系下的数学表达式。 弹性力学平面问题有 8 个未知函数，它们必 须满足区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方 位 移 边 界 条 件 ： (u ) ? u s(? ) s ? ?(v ) s ? v 混合边界条件：当在部分边界上为应力边界 条件，而其余边为位移边界条件时， 称为混合边界条 件。 6、说明弹性问题，在什么情况下可简化为平面应 变问题和平面应力问题？ 平面应变条件： 很长的常截面柱体； 体 力 作用于体内，平行于横截面，且沿长度方 fx, fy 点位移列阵 计算各单元应力。从求出的 ?。向 不变； 面力 fx, fy 作用于柱面，平行于横截整体结点位移列阵 ? 中逐个单元的取出该单元面，且沿长度方向不变； 约束作用于柱面，平行 于横截面，且13 / 46 沿长度方向不变。如何简化？截 面、外力、约束沿 Z 向不变，外力、约束平行于 xy 面，柱体非常长。故，任何 Z 面均为对称面。所以， ? ?0 ， 只 有的结点位移列阵 ? e ，求出每个单元的应力。 15. 位移模式的收敛条件？单元位移模式必须能反映单 元的刚体位移，位移模式必须能反映单元的常量应 变，这是收敛的性的必要条件。位移模式应尽可能反 映 位移的连续性，这是收敛性的充分条件。 16 简述按应力求解平面问题时的逆解法和半逆解 法。 答：所谓逆解法，就是先按某种方法给出一组满足全 部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察，在确 定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物 体， 当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位 移时，才能得到这组解答。所谓的半逆解法，就是针 对所要求解的问题，根据弹性体的几何形状、受力特 u, v 所以只存在 ? x , ? y , ? z ； 由于截面、体力、面力及约束沿 Z 向不变， 故应力，应变、位移坤为 。可归纳 为平面应 f ( x, y )变问题。 平面应力问题条件： 等厚度的薄板； 体 力作用于体内，平行于板面，并沿厚度不变； 面 点或材料力学已知的初等结果， 假设一部分应力分量 或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量， 把 这些量合在一起来凑合已知的边界条件； 或者把全部 的应力分量或14 / 46 位移 分量作为已知， 然后校核这些假设 的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。 3 弹性力学问题的基本方程是什么？写出其在 极坐标系下的表达式。 平面应力分量 ? 2? ? 2? ? y ? 2 ? fy y ? x ? 2 ? fxx ?x ?y? xy? 2 ? ? ? E (? ? u? ) ? ? E (? ? u? ) ? x x y y y x 1? u2 1? u2 ?x?y? ?z ?E ? ( ? ? ? ) 1 ? ? 1 ? 2?， ? 2? y ?z 2?2 ? 2? z ? ? yz ? ?0 ?y 2 ?y?zE ? ( ? ?z) 1 ? ? 1 ? 2? yz ? xy ? ? yz ? 2? y ? (? ? ? )?2 ?y ?x ?z ?x ?x?z? z? ?E ? z? 2(1 ? ? )斜面上的应力 p x ? l? x ? m? xy p y ? m? y ? l? xy 斜面上的正应力和切应力 ? xy ? yz ? ? xz ? 2? z ? (? ? ? )?2 ?z ?z ?x ?y ?x?y 空间位移分量表示弹性方程 ? 2? z ? 2? x ? 2? xz ? ? ?0 ?x 2 ?z 2 ?x?z? xyE ? ? xy 2(1 ? u )? n ? l ? x ? m ? y ? 2lm? xy2 2?x ? xy ? min ? ? 90 相容方程： ? 4? ? 4? ? 4? ?2 2 2 ? 4 ?0 ?x 4 ?x ?y ?y? n ? lm(? y ? ? x ) ? (l 2 ? m 2 )? xy 主方向 主应力 ? ?0 tan x1 ? max ? xy?y ?2 2 ? 2? x ? ? y ? ? xy ? ? ?0 ?y 2 ?x 2 ?x?y ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f? ? 0 ? ? ? ? 基本方程： 应力分量： tan x 2 ?E u ?v ( ? ) 1 ? u 1 ? 2u ?yE u ?u ( ? ) 1 ? u 1 ? 2u ?x? x ? y 2 ?1 ? ? x ? ? y 2 ? ( ) ? ? xy ? ?2? 2 2 主方向 ?z ?1 d ? d ?1 d? ? ? ? ? (? ) ?0 ? ? d? ? d? ? d? ? ? ? E u ?v E u ? ?y ? ( ? ? ) ?z ? ( ? ) 1 ? ? 15 / 46 1 ? 2u ?y 1 ? ? 1 ? 2u ?z2tan ? 1 ?N ? ?1 ? x ? xytan ? 2 ? xy ? x ? ?11 1 2 2 ? ( ? l ) (? 2 ? ? 1 ) 4 2 求解有限单元刚度矩 ? yz ?E ? ?v ( ? ) 2(1 ? ? ) ?y ?z? zx ?E ?u ? ( ? ) 2(1 ? ? ) ?z ?x 阵及结点载荷 E ?w ?v ( ? ) 2(1 ? u ) ?y ?z E ?u ?w ? zx ? ( ? ) 2(1 ? u ) ?z ?x 按位 E ?v ?u ?u ?v ?w ? xy ? ( ? ) 2(1 ? u ) ?x ?y ? ? ?x ? ?y ? ?zE u ?w ( ? ) 1 ? u 1 ? 2u ?z? yz ?ai ? x j y m ? y j x mbi ? y j ? y mci ? ? x j ? x m 移求解空间问题平衡微分方程 ?u ?v ? E ?v ?u ? ? ? xy ? ( ? )? ? ?x ?y ?z 2(1 ? ? ) ?x ?y 极坐标下表现形式： 平面极坐标 平衡微分方程： ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f? ? 0 ? ? ? ?a j ? x m y i ? y m xib j ? y m ? yibm ? y i ? y j?k ii k ij k im ? ? ? k e ? ?k ji k jj k jm ? ?k k k ? ? mi mj mm ?2 ?2 ?2 ?2 ? ? ?x 2 ?y 2 ?z 2c j ? ? x m ? xia m ? xi y j ? y i x jE 1 ? ( ? ? 2u ) ? f x ? 0 2(1 ? u ) 1 ? 2u ?xE 1 ? ( ? ? 2 v) ? f y ? 0 2(1 ? u ) 1 ? 2u ?y E 1 ? ( ? ? 2 w) ? f z ? 0 2(1 ? u ) 1 ? 2u ?z 无 限 半 空 间 采 用 按 位 移 求 解 u ? 0, v ? 0, w ? w( z ) 代 入 平 衡 微 分 方 程 ?u ?v ?w dw ? ? ? ?x ?y ?z dzc m ? ? xi ? x jA? 1x i y i 1 1x j y j 2 1x m y m 单元刚度矩阵 1 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? f? ? 0 ? ? ? ? 几何方16 / 46 程： ? ?u ? ， ? ?u?1 ?u? ? ?，单元结点载荷 求解地应力 ;Re ? X i Yi X j Y j X m Ym ? ? ?1 ?u ? ?u? u? ? ? ? ? ? ?物理方程： 2? 3 ? I1? 2 ? I 2? ? I 3 ? 0 I1 ? ? x ? ? y ? ? zI 2 ? ? x? y ? ? y? z ? ? z ? x ? ?l (? x ? ? ) ? m? yx ? n? zx ? 0l? xy ? m(? y ? ? ) ? n? zy ? 0 l? xz ? m? yz ? n(? z ? ? ) ? 02 yz? ? ? d 2 w ? 0, ? 0, ? ?x ?y ?z dz 2 可导出 1? ? u (? ? ? ? ) E 1? u 2 1? ? u ? ? (? ? ? ?) E 1? u 2(1 ? u ) ? ? ? ? ? E? ?2 zx?2 xy2 2 2 I 3 ? ? x? y ? z ? 2? yz ? zx? xy ? ? x? yz ? ? y? zx ? ? z? xy 积 分 得 E 1 d 2w d 2w ( ? 2 ) ? fg ? 0 2(1 ? u ) 1 ? 2u dz 2 dz dw (1 ? u )(1 ? 2u ) ?g ? ? ( z ? A) dz E (1 ? u )w?得 (1 ? u )(1 ? 2u ) ?g ( z ? A) 2 ? B 2 E (1 ? u )代入弹性方程应 力 分 量 ： ? ?1 ? ?1 ? ?2? 2 ? 2 深埋巷道求解： 轴对称的： ?x ?y ? ? 2? ? ? 2 ? ? ? ? 1 ? ( ) ? ? ? ?A?2A? B(1 ? 2 ln ? ) ? 2c? B(3 ? 2 ln ? ) ? 2c相容方程： ? 2 平面轴对称： 相容方程： 1 d? ? ?1 ? 1 ?2 2 ( 2? ? ) ?0 ? ? ? 2 ? 2 ?d 1 d d? (? ) ? 0 d? ? d? d?2? ? ? ? ? ? 0 形变分量：再根据边界条件求 yz zx xy 基本方程： 平衡微分方程： ?u ?g ( z ? A) 1? u ? z ? ? ?g ( z ? A)?0? d?应力分量： ? ? 1? A (1 ? u ) 2 ? (1 ? 3u ) B ? 2(1 ? u ) B ln ? ? 2(1 ? 17 / 46 u )c ? ? ? ? ? x ? yx ? zx ? ? ? fx ? 0 ?x ?y ?z? y ?y? zy ?z? xy x? fy ? 0? ?A?2A? B(1 ? 2 ln ? ) ? 2c2? 1? A ? ? ? ? (1 ? u ) 2 ? (3 ? u ) B ? 2(1 ? u ) B ln ? ? 2(1 ? u )c? ? ? ? ? ? 0 位移分量： ? z ? xz ? ? ? fz ? 0 ?z ?x y 还有一种： E ? 2u 1 ? u ? 2u 1 ? u ? 2 v ( ? ? ) ? fx ? 0 2 ?y 2 2 ?x?y 1 ? u 2 ?x 2 E ? 2 v 1 ? u ? 2 v 1 ? u ? 2u ( ? ? ) ? fy ? 0 2 ?x 2 2 ?x?y 1 ? u 2 ?y 2? yz? ? ? B(3 ? 2 ln ? ) ? 2c? ? ? ? ? ? 0 形变分量： ? 1? A ? ? ? ?(1 ? u ) 2 ? (1 ? 3u ) B ? 2(1 ? u ) B ln ? ? 2(1 ? u )c ? ? ? ? 1? A u ? ? ? (1 ? u ) ? 2(1 ? u ) B? (ln ? ? 1) ? (1 ? 3u ) B? ? 2(1 ? u )c? ? ? I cos? ? K sin? ? ? ?u? ?4 B? ? H? ? I sin ? ? K cos? ?或者 E ? ?u ?v 1 ? u ?u ?v ? ?l ( ? u ?y ) ? m 2 ( ?y ? ?x )? ? f x 1 ? u 2 ? ?x ?sE ? ?v ?u 1 ? u ?v ?u ? ?m( ? u ?x ) ? l 2 ( ?x ? ?y )? ? f x 1 ? u 2 ? ?y ?s 不是轴对称的， 竖向压 p 横向压 p 可转化成 1/2(p+q) 四向压和上下 1/2 压横向拉的叠加最后结果 ? 1? A ? ? ? ? (1 ? u ) 2 ? (3 ? u ) B ? 2(1 ? u ) B ln ? ? 2(1 ? u )c ? ? ? ? ? ? 0p?q a2 p?q 3a 4 4a 2 ?r ? ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 4 ? 2 ) cos 2? 2 2 r r r? ? ?p?q a2 p?q 3a 4 (1 ? 2 ) ? (1 ? 4 ) cos 2? 2 2 r r 几 何方程： ?x ?u ?x?y ?u ?y?z ? ?z位移分量： ? 1? A u ? ? ? (1 ? u ) ? 2(1 ? u ) B? (ln ? ? 18 / 46 1) ? (1 ? 3u ) B? ? 2(1 ? u )c? ? ? I cos? ? K sin? ? ? ?u? ? 4 B? ? ? H? ? I s in ? ? K cos? ? r?p?q 3a 4 2a 2 ? (1 ? 4 ? 2 ) sin 2? 2 r r 时 求 当 ? yz?v ?u ? ?v ? ? ?u ? ? ? ? ? ? ? zx ?z ?x xy ?x ?y ?y ?z 物 理 方 程 ： 空间轴对称基本方程： 体积应力 ， ? ? ? ? ? ? z ?u u ?u ? ? ? z ? ? ?z 应力分量用形变表示： ， E ? ? ? ? 0、 、 2 4?x ?y ?1 ? x ? ? (? y ? ? z ) E 位移相容方程： 2 2 ? 2? x ? ? y ? ? xy ? ? ?0 2 2 ?y ?x ?x?y? ?( ? ? ? ) 1 ? ? 1 ? 2? yz ? xz ? ? xy ? 2? x ? (? ? ? )?2 ?x ?x ?y ?z ?y?z? yz ? xy2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) ? zx ? ? zx ? yz E E 把 变成按 2(1 ? ? ) ? ? xy E ? E 2 , u ? u 2 E 1? u 1? u1 ? y ? ? (? z ? ? x ) E?z ?1 ? z ? ? (? x ? ? y ) E 应变问题 空间轴对称平衡微分方程： u ? u ? cos? ? u? sin ? v ? u ? sin ? ? u? cos?或者 u ? ? ? z? ?z? ? ? ? f? ? 0 ? u cos? ? v sin ? z ? ?z ? ?z ? ? ? fz ? 0 ?z ? ?空间轴对称几何方程 v? ? ?u sin ? ? v cos? ? ? ? x cos2 ? ? ? y sin2 ? ? 2? xy sin ? cos? ? ? ? ? x sin2 ? ? ? y cos2 ? ? 2? xy sin ? cos?z ?u z ?z? ? zp ?u ? ? ?u z ? ?u? ? ? (? y ? ? x ) sin ? cos? ? ? xy (cos2 ? ? 19 / 46 sin2 ? )?u ? ?z? x ? ? ? cos2 ? ? ? ? sin2 ? ? 2? ? sin ? cos? ? y ? ? ? sin2 ? ? ? ? cos2 ? ? 2? ? sin ? cos? ? xy ? (? ? ? ? ? ) sin ? cos? ? ? ? (cos2 ? ? sin2 ? )空间体应变方程： ? ? ? x ? ? y ? ? z ? ? y ? z ? ? z ? x ? ? x? y ? ? x? y ? z 体积应力：空间轴对称物理方程： ? ? ?1 ? ? - ? ?1 ? ? - ? ?1 ? z ? ? z - ? ? ? z?2(1 ? ? ) ? ? z? ? ? ? x ? y ? z 空间斜面应力坐标分量按位移求解空间轴对称问题： 弹性方程：力分量用形 变表示： ， E ?p x ? l? x ? m? xy ? n? xz p y ? l? xy ? m? y ? n? yz p z ? l? xz ? m? yz ? n? z 斜面正应力： ? n ? lpx ? mp y ? npz? l 2? x ? m 2? y ? n 2? z ? 2(lm? xy ? mn? yz ? nl? xz ) 斜面剪应力： 2 2 2 2 ?n ? px ? py ? p z2 ? ? n? ?( ? ? ? ) 1 ? ? 1 ? 2? E ? ? ? ( ? ? ? ) 1 ? ? 1 ? 2?E ? ( ? ?z) 1 ? ? 1 ? 2?， ?z ? z? ?E ? z? 2(1 ? ? )拉梅方程： u E 1 ? ( ? ? 2u? ? ?2 ) ? f ? ? 0 2(1 ? ? ) 1 ? 2? ? ?E 1 ? ( ? ? 2u z ) ? f z ? 0 2(1 ? ? ) 1 ? 2? ?z?u ? ?u?u z , u z 就是 w ?z?2 ?2 1 ? ?2 ? ? ? 2 ? ? ?z 2平面极坐标 平衡微分方程： 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? f? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? f? ? 0 ? ? ? ? ? ? 几何方程： ? ? ? ? ?u ? ?1 ?u ? ， ? ?u?u?1 ?u?20 / 46 ， ? ? ?u? ?物理方程： 1? ? 2 u (? ? ? ? ) E 1? u 2 1? ? u ? ? (? ? ? ? ? ) ? ? ? 2(1 ? u ) ? ? E 1? u E 应 力 分 量 ： 1 ? 1 ? 2? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 1 ? ? 2? ? ? ? ? ( ) ? ? 2 ? ? ? ? ?相容方程： (?2 1 ? 1 ?2 2 ? ? ) ?0 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 检验应变分量是满足弹性体，先看相容方程， 2 2 ? 2 ? x ? ? y ? ? xy 再求应力分量 ? ? 2 2 ?x?y ?y ?x E E ?x ? ( ? ? u? y ) ? y ? (? y ? u? x ) x 1? ? 2 1? ?2?x ?E ? xy 2(1 ? ? )把应力分量代入平衡微分方程 ? y ? xy ? x ? xy ? ?0 ? ?0 ?y ?x ?x ?y ? x1 cos? ? ? xy sin ? ? 0? xy cos? ? ? y sin ? ? 0 ? x 2 cos ? ? ? xy sin ? ? 0? xy cos ? ? ? y sin ? ? 0 行列式 = ? cos? cos ? sin(? ? ? ) 弹性力学关于应力变分法问 题 一、起源及发展 1687 年， Newton 在自然哲学的数学原理中提出第一个变分问题 定 轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年， Bernoulli提出了著 名的最速降 21 / 46 线问题；到 18 世纪，经过 Euler， Lagrange 等人的努力，逐渐形成变分法。 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、 工 程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程中的变分法 是把微分方程化归为其对应泛函的临界点，以证明其 解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是 Morse理论与极小极大理论。变分法有着深刻的物理背景， 某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理 方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“ 变分原理 ” 。 22 / 46 由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问 题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单，但“ 变分 ” 的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“ 虚 ” 的概念的建立 与理解。以下，就应力变分法进行讨论。 二、定义及应用 、应力变分方程 设有任一弹性体，在外力的作用下处 于平衡。命 ?ij 为实际存在的应变分量， 它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足 23 / 46 位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发 生了微小的改变 ?ij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为 ?ij?ij 假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。 既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边 界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即 ?x?xy?zx?0,?x?y?z? ?y?yz?xy?0,?y?z?x?z?zx?yz?0。 ?z?x?y? 在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分 ?fx、 ?fy、 f。 z 24 / 46 根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足 l?x?m?xy?n?zx?m?y?n?l?f,yzxyy? ?n?z?l?m?。 fzxyzz?x?f,? 则应变余能的变分应为 ?VC?vcdxdydz?(?vc?x?x?vc?yz)dxdydz。 ?v?vc?v?x， c?y， c?z ?x?z?y ?vc?v?v?yz， c?zx， c?xy ?zx?yz?xy 将上式代入，得 ?VC?(?x?x? 再将几何方程代入，得 ?yz?yz?)dxdydz。 25 / 46 ?w?v?(?)?yz?y?z?u?VC?x?xdxdydz。 根据分部积分和奥 高公式，对上式右边进行处理： ?u?xdxdydz?lu?xdS?u(?x)dxdydz, ?x?x 最后可得 ?Vc?u(l?x?m?xy?n?zx)?dS? ?u(?x?xy?zx)?x?y?zdxdydz。 再将、代入，即得 ?Vc=?(ufyf?wz)f。 d S x?v 这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。 最小余能原理： 26 / 46 ?Vc?(u?fx?v?fy?w?fz)dS?0。 上式也可以改写为： ?Vc?(ufx?vfy?wfz)dS?0。 、应力变分法 由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然 后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为： ?ij?ij?0?Am?ij? mm 其中 Am是互不依赖的 m个系数， ?ij?0 是满足平衡微分方程和应力边界条 件的设定函数， ?ij?m是满足 “ 没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边 界条件 ” 的设定函数。这样，不论系数 A m如何取值， ?ij?0总能满足平衡微分 27 / 46 方程和应力边界条件。 注意：应力的变分只是由系数 Am的变分来实现 。 如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程 得 ?vc?0， 即： ?Vc?0 ?Am 应变余能 Vc是 Am 的二次函数 ，因而方程将是 Am的一次方程 。这样的方程共有 m 个，恰好可以用来求解系数， Am 从而由表达式求得应力分 量。 如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程，即 ?Vc?(u?fx?v?fy?w?fz)dS。 28 / 46 在这里， u、 v、 w