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文档简介

第四节实对称矩阵的相似矩阵,一、实对称矩阵特征值的性质二、实对称矩阵的相似理论三、实对称矩阵对角化的方法,第四节教学要求1、掌握实对称矩阵特征值的性质2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法,定理1实对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、实对称矩阵特征值的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,于是,二、实对称矩阵的相似理论,定理4任意实对称矩阵都与对角矩阵相似。,它们的重数依次为,其中,证明：,设的互不相等的特征值为,由定理3，对应于特征值,又由定理2及知，有个线性无关的特征向量，,恰有个线性无关的特征向量，,从而与对角矩阵相似。,定理5设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵。,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,三.实对称矩阵对角化的方法,其中对角矩阵的主对角元的排列顺序与中列向量的排列顺序相对应.,解,例1对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.,(1)第一步求的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步将特征向量正交化,第四步将特征向量单位化,于是得正交阵,利用对角化可求方阵的幂,例2设为3阶实对称矩阵,的特征值为求,解:由于是实对称矩阵,故必可对角化,且,例3设三阶实对称矩阵的特征值为-1,1,1,与特征值-1对应的特征向量为,求,即,解之得基础解系,故就是对应于的特征向量.,解:设与特征值对应的特征向量为,由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量一定正交,故,又的对应于二重特征值的线性无关的特征向量一定有两个,记,于是,例4设是两个阶实对称矩阵,证明相似的充要条件是有相同的特征值.,证明,若A与B有相同的特征值.记特征值为,由相似矩阵的传递性知A与B相似.,因为实对称矩阵A与B必可对角化,所以,若A与B相似,由相似矩阵的性质,A与B一定有相同的特征值.,1.对称矩阵的性质：,小结,(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2
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