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第四节函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,三、小结,为函数的泰勒级数。,一、泰勒级数,如果在点的某邻域内具有各阶导数，称幂级数,定理设函数在点的某一邻域内具有各阶导数，则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项满足,麦克劳林级数在泰勒级数中取，得级数称此级数为函数的麦克劳林级数。,二、函数展开成幂级数,步骤:,例1将函数展开成的幂级数。,解所给函数的各阶导数为,因此,于是得级数,收敛半径为,对于任何有限的数,余项的绝对值为,因为,有限,而,是收敛级数,的一般项,于是,所以,例2将函数展开成的幂级数。,解所给函数的各阶导数为,于是得级数,对于任何有限的数,余项的绝对值为,所以,例3将函数展开成的幂级数.,由,解,例4将函数展开成的幂级数.,解,例5将函数展开成的幂级数。,解,例6,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注,L,L,L,+,+,-,-,+,+,-,+,+,=,+,n,m,x,n,n,m,m,m,x,m,m,mx,x,!,),1,(,),1,(,!,2,),1,(,1,),1,(,2,以上所列展开式是用间接展开法展开其他函数的基础,下面举两个用间接展开法将,展开成关于,的幂级数的例子,例7,解,并且有,所以,例8,解,因为,而,所以,1.基本概念泰勒级数,麦克劳林级数;,2.函数的幂级数展开的方法直接法,间接法;,3.如
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