MATLAB14符号数学工具箱.ppt

1,第十四章符号数学工具箱,MATLAB所具有的符号数学工具箱(symbolicMathToolbox)中定义了一种新的数据结构，用来存储代表符号的字符串，称为符号对象。可以用来代表符号变量、表达式和矩阵等。在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象(可以是常数、变量以及表达式等)，然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式，从而进行所需的符号运算。在运算中，凡是由包含符号对象的表达式所生成的新对象也那是符号对象。sym和syms是创建和定义基本的符号对象的两个函数，函数syms是sym的简捷方式。,2,14.1符号表达式及运算利用sym命令可以创建符号变量和表达式。S=sym(arg)：由表达式创建一个sym对象S，如果arg是一个字符串(string)，则S是符号变量或符号数；如明是数值标量或矩阵，则S是这些给定数值的符号形式。以下是sym函数调用形式的具体实现方式：x=sym(x)：建立符号变量x，变量的值为单引号内的字符或字符串，这里是和变量名相同的字符x;xsym(x,real)：设定符号变量为实型变量(Real)；xsym(x,unreal)：使x为纯粹的形式变量，没有附加属性；一般用来清除x的实数特性，从mapple的工作空间中清除掉。pi=sym(pi)和delta=sym(1/10)：建立符号数，避免了浮点数本身的近似，建立的符号数是数值的精确表示。,3,例141链接Example1。符号表达式是代表数字、函数、算子和变量的MATLAB字符串，或字符串数组。不要求变量有预先确定的值。利用sym命令创建表达式：例142链接Example1_01。注意，该例子中用的是显式格式，在MATLAB可以自己确定变量类型的场合下，通常不要求显式函数sym，可以直接用表达式。例143链接Example1_02。然而，很多时候sym是必要的。尤其是建立符号数组时，必须用函数sym，特别地将字符串变为符号表达式。例144链接Example1_03。,4,MATLAB在内部把符号表达式表示成字符串，与数字变量或运算相区别；否则，这些符号表达式几乎完全像基本的MATLAB命令。,符号表达式MATLAB表达式,5,许多符号函数能够自动将字符转变为符号表达式。但是最简单形式(无引号)要求个参量，它是一个单字符的字符串，不能包含空格。例145链接Example1_04。符号变量当字符表达式中含有多于一个的变量时，只有一个变量是独立变量。如果不告诉哪一个变量是独立交量，则可以通过findsym函数、查询，找出符号表达式或符号矩阵中的一个或所有变量。例146链接Example1_05。符号矩阵的创建：例147链接Example1_06。提取分子和分母如果表达式是个有理分式(两个多项式之比)，利用numden来提取分子或分母。在必要时numden将表达式合并、有理化并返回所得的分子和分母。,6,例148链接Example1_07。标准代数运算很多标准的代数运算可以在符号表达式上执行：symadd,symsub,symmul,symdiv：加、减、乘、除两个表达式Sympow：将一个表达式上升为另一个表达式的幂次。例149链接见Example1_07。另一个通用函数可让用户用其它的符号变量、表达式和算子创建新的表达式。Symop：取由逗号隔开的参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式。例1410链接见Example1_07。,7,高级运算MATLAB具有对符号表达式执行更高级运算的功能。compose：把f(x)和g(x)复合成f(g(x)。例1411链接见Example1_07。finverse：求表达式的函数逆，返回表达式的逆函数。如果解不是唯一就给出警告。例1412链接见Example1_07。Symsum：求表达式的符号和，有四种形式：,8,例1413链接见Example1_07。变换函数Sym：可获取一个数字参量并将其转换为符号表达式。Char：Convertsymobjecttostring。Numeric：功能正好相反，它把一个符号常数(无变量符号表达式)变换为一个数值。(double7.0版本)Eval：另一个可用于把符号常数变换为数字或计算表达式的函数。例1414链接见Example1_07。Sym2poly：将符号多项式变换成它的MATLAB等价系数向量。poly2sym：功能正好相反，并让用户指定用于所得结果表达式中的变量。例1415链接见Example1_07。,9,变量替换Subs：在符号表达式个进行变量替换。subs(f,old,new)：f是符号表达式，new和old是字符、字符串或其它符号表达式。例1416链接见Example1_07。14.2微积分微分符号表达式的微分以四种形式利用函数diff。例1417链接Example2。diff也可对数组进行运算。如果F是符号向量或数组，diff(F)对数组内的各个元素进行微分。diff也用计算数值向量或矩阵的数值差分。例1418链接Example2。,10,积分int(f)：积分函数，f为符号表达式，力图求出另一符号表达式F使diff(F)f。积分比微分复杂得多。积分或逆求导不一定是以封闭形式存在，或许存在但软件也许找不到，或者软件可明显地求解，但超过内存或时间限制。当MATLAB不能找到逆导数时，它将返回未经计算的命令。例1419链接Example2_01。14.3符号表达式画图在许多的场合，将表达式可视化是有利的。MATLAB提供了函数ezplot来完成该任务。例1420链接Example3。,11,14.4符号表达式简化及格式化有时MATLAB返回的符号表达式难以理解，有许多工具可以使表达式变得更易读懂。Pretty：以类似于数学课本上的形式来显示符号表达式。Collect：合并所有相似项Factor：表示成多项式乘积Expand：多项式展开例1421链接Example4。simplify：利用各种类型代数恒等式，包括求和、积分和分数幂、三角、指数和log函数、Bessel函数、超几何函数和g函数，来简化表达式。例1422链接Example4_01。simple函数：最有用的、但也是最不正统的，试用了几种不同的简化工具，然后选择在结果表达式中含有最少字符的那种形式。例1423链接见Example4_01。,12,14.5可变精度算术运算因为数值的精度受每次操作所保留的数值的限制，所以数值的任何运算都会引入舍入误差，重复的多次数值运算会造成累积误差。而对符号表达式的运算是非常准确的，因为不需要进行数值运算，所以无舍入误差。对符号运算结果用函数eval或numeric，仅在结果转换时会引入舍入误差。maple缺省为18位的精度。Maple缺省准确度可以由digits(n)来改变，其中n是所期望的准确度数值。另外有一个函数vpa，可以用任何精度实行单个计算。它以缺省的精度或任何指定的精度对单个符号表达式进行计算，并以同样的精度来显示结果。例1424链接Example5。将函数vpa作用于符号矩阵，对它的每一个元素进行计算。例1425链接见Example5。,13,14.6方程求解用MATLAB所具有的符号工具可以求解符号方程。求解单个代数方程如果表达式不是一个方程式(不合等号)，则在求解之前solve将表达式置成等于0。例1426链接见Example6。注意：在求解周期函数方程时，有无穷多的解。在这种情况下，solve对解的搜索范围限制在接近于零的有限范围，并返回非唯一的解的子集。代数方程组求解例1427链接见Example6。,14,单个微分方程dsolve：计算常微分方程的符号解。用字母D来表示求微分。D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。任何D后所跟的字母为因变量。方程d2y/dx20用符号表达式D2y0来表示。例如，一阶方程dy/dx1+y2的通解为，例1428链接见Example6。二阶微分方程的例子，该方程有两个初始条件：微分方程含有一阶以上的项：例1429链接见Example6。,15,函数dsolve也可同时处理若干个微分方程式，下面有两个线性一阶方程，例1430链接见Example6。14.7线性代数和矩阵符号矩阵例1431链接见Example7。代数运算用函数symadd，symsub，symmul和symdiv，对符号矩阵可以执行许多通用的代数运算用sympow可计算乘幂，用transpose计算符号矩阵的转置。7.0版本已和数值矩阵代数运算统一。,微分方程组,16,例1432链接见Example7。线性代数运算用函数inv和determ，可计算符号矩阵的逆阵以及行列式。例1433链接见Example7_01。linsolve(A，B)对X方阵求解矩阵方程A*XB例1434链接见Example