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文档简介

4.空间中的平面与直线,空间中的平面及其方程。,空间直线及其方程。,1、平面的点法式方程,几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系.,任取平面上一点M(x,y,z).,一、空间中的平面及其方程,(A,B,C)(xx0,yy0,zz0),=A(xx0)+B(yy0)+C(zz0),=0.,即平面上任意点M(x,y,z)都满足方程(1).,反之若(x,y,z)满足(1)，则由(1).,(1),我们称垂直于平面的任何非零向量为的法方向或法向，,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0,法点式方程,解,所求平面的点法式方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,一般地，设平面过M1,M2,M3三点,M1,M2,M3不共线.即,则得平面方程为：,即,平面的三点式方程.,2、平面的一般方程,由点法式方程,法向量,平面的一般（式）方程。,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过轴；,平面平行于轴；,平面平行于坐标面；,类似地可讨论情形.,类似地可讨论情形.,设平面：,由过原点知,所求平面方程为,解,3、平面的截距式方程,4、点到平面的距离,解：如图,M1,N,M0,设平面:Ax+By+Cz+D=0.则,平面上点M1(x1,y1,z1)满足,A1x+B1y+C1z+D1=0.,即,即,点到平面的距离公式,例5.设平面过点M1(1,0,0),M2(1,1,1)且与,平面1：x+y+z=0垂直，求平面.,而过点M1,M2.故,解：,故得平面方程为,即,二、空间直线及其方程,1.由直线上一点与直线l的方向决定的直线方程,如果一个非零向量平行于直线L，就称这个向量为直线的一个方向向量,点在直线l上的充要条件是,（1）式叫做直线l的向量式参数方程,直线的(坐标式)参数方程,将直线的参数方程中的参数t消去，则可得到,直线L的标准方程或对称式方程。,方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦,解,所以交点为,所求直线方程,两点式方程。,注：,2.直线的一般方程,若空间直线L为两平面,则,的交线，,空间直线的一般方程。,(不唯一),在直角坐标系下，两平面的法向量分别为,所以直线l的方向向量可取为,例8将直线L化成对称式方程,解：平面的法向量,平面的法向量,求直线L上一点M0(x0,y0,z0),令x0=1则,得Y0=4,z0=4,所求直线L方程为,解,先作过点M且与已知直线
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