韦达定理推广的证明.doc

.证明：当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x(-b)/2a,不妨取x1(-b-)/2a,x2(-b+)/2a,则：x1+x2=(-b-)/2a+(-b+)/2a=-2b/2a=-b/a,x1*x2=(-b-)/2a(-b+)/2a=(-b)2-/4a2=4ac/4a2=c/a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA2014-11-04若b2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 若b2-4ac0 则方程没有实数解 韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程AiXi=0 它的根记作X1,X2,Xn 我们有 Xi=(-1)1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)2*A(n-2)/A(n) Xi=(-1)n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 (3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 另外这与射影定理是初中必须 射影定理图掌握的. 韦达定理推广的证明设x1，x2，xn是一元n次方程AiXi=0的n个解。 则有：An(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0 所以：An(x-x1)(x-x2)(x-xn)=AiXi（在打开(x-x1)(x-x2)(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得： A（n-1）=-An(xi) A（n-2）=An(xixj) A0=(-1)n*An*Xi 所以：Xi=(-1)1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)2*A(n-2)/A(n) Xi=(-1)n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 有关韦达定理的经典例题例1 已知pq198，求方程x2pxq0的整数根 (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2由韦达定理，得 x1x2p，x1x2q 于是x1x2(x1x2)pq198， 即x1x2x1x21199 (x11)(x21)199 注意到x11、x21均为整数， 解得x12，x2200；x1198，x20 例2 已知关于x的方程x2(12m)xm10的两个根都是正整数，求m的值 解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1x2由韦达定理得 x1x212m，x1x2m1 于是x1x2x1x211， 即(x11)(x21)12 x1、x2为正整数， 解得x11，x25；x12，x23 故有m6或7 例3 求实数k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整数 解：若k0，得x1，即k0符合要求 若k0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得 x1x2x1x22， (x11)(x21)3 因为x11、x21均为整数，所以 例4 已知二次函数yx2pxq的图像与x轴交于(，0)、(，0)两点，且1，求证：pq1 (97四川省初中数学竞赛试