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文档简介

范例3.8火箭发射的高度，速度和加速度,火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力的发动机。如果火箭在自由空间飞行，不受引力或空气阻力等任何外力的影响，其飞行速度公式是什么？,如果火箭在地球表面从静止竖直向上发射，燃料的燃烧速率为，在不太高的范围内，不计空气阻力，其飞行速度公式是什么？高度和加速度的公式是什么？,假设火箭发射前的质量为M0=2.5106kg，燃料的燃烧速率为=1.0104kg/s，燃料燃烧后喷出的气体相对火箭的速率为u=3.0103m/s，火箭点燃的60s内，高度、速度和加速度随时间变化的规律是什么？最后达到什么值？,如图所示，在t时刻火箭的质量为M，速度大小为v，则动量大小为p=Mv。,解析在无重力的空间，把火箭和剩下的燃料作为研究对象。,经过时间dt，火箭喷出质量为dm的气体，喷出的速度相对火箭为定值u，相对自由空间的速度为v-u，动量为(v-u)dm。,范例3.8火箭发射的高度，速度和加速度,火箭的质量为Mdm，速度增为v+dv，动量为(M-dm)(v+dv)。,总动量为p=(M-dm)(v+dv)+(v-u)dm。,由于M0=M+m，所以dm=-dM。,即火箭喷出的质量等于其质量的减小量。,化简后略去二阶无穷小量dMdv，可得Mdv+udM=0。,根据动量守恒定律得Mv=(M+dM)(v+dv)-(v-u)dM。,分离变量得,积分得v=-ulnM+C,范例3.8火箭发射的高度，速度和加速度,设火箭的质量为M0时，其速度为v0，可得C=v0+ulnM0，因此,火箭质量从M0减少到M时，火箭的速度则由v0增加到v。,如果火箭开始飞行时速度为零，质量为M0，燃料烧尽时火箭剩下的质量为m0，由上式可计算火箭能够达到的最大速度。,M0/m0称为质量比，火箭的喷气速度越大，质量比越大，所能达到的速度就越大。,Mdv+udM=0,但是这两项都受到技术限制。,火箭起飞时,第一级火箭开始工作；当燃料烧尽后，第一级的外壳就自动脱落，第二级火箭接着工作，使火箭进一步加速。,前一级火箭脱落，使后一级火箭减负，提高了质量比，因而可获得更大的最终速度。,这就是多级火箭的工作原理。,这是著名的齐奥尔科夫斯基公式。,假设火箭在地球表面向上发射，其初速度为零，初始质量为M0。,范例3.8火箭发射的高度，速度和加速度,重力加速度g使火箭速度减少gt，因此火箭在地面上发射的速度为,依速度公式v=dz/dt，可得dz=ulnM0uln(M0t)gtdt，,积分得,当t=0时，z=0，可得,火箭上升的高度为,取向上的方向为正，经过飞行时间t，火箭剩下的质量为M=M0-t，是燃料燃烧的速率dm/dt；,火箭的加速度为,当t=0时，由于a0，必有条件uM0g，,否则，火箭无法起飞。,火箭的速度随时间的延长而加速增加，最后的速度达到235.3m/s。,火箭的高度随时间的延长也是加速增加的，最后的高度达到593
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