《概率论》第4章数学期望.ppt

,课件制作WangWenHao,第四章随机变量的数字特征,怎样粗线条地描述r.v的特性,简单明了、特征鲜明、直观实用,随机变量的概率特性,分布函数,密度函数,分布律,？,要求,1数学期望,2方差,3协方差及相关系数,4矩、协方差矩阵,甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：,怎样评估两人的成绩？,甲：,每枪平均环数为,可见甲的射击水平比乙略好,例,分析,两人的总环数分别为,(环),乙：,(环),甲：,乙：,(环),(环),实际背景,某班级某课程考试的平均成绩,电子产品的平均无故障时间,某地区的日平均气温和日平均降水量,某地区水稻的平均亩产量,某地区的家庭平均年收入,怎样定义r.v的平均值概念,平均值的概念广泛存在,例如,某国家国民的平均寿命,？,甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：,怎样评估两人的成绩？,即平均环数为,例,进一步分析,记甲每枪击中的环数为因为射击次数,较多,故可认为的分布律为,则甲射手每枪平均环数为,(期望、均值),定义,设的分布律为,为的数学期望,“数学期望”是历史上沿用下来的一个名词，可理解为在数学上对r.v进行计算期望得到的值,即平均值,“数学期望”,(Expectation)的由来,解,某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.付款额根据使用寿命来确定：,例,设出售一台电器的收费额为,分布律为,即,参数为10的指数分布密度函数为,即商店出售一台电器平均收费额为元,解,例,的分布律为,的均值为,令,解,例,令,特别令则有,在数学期望的定义中，为什么要求,由高等数学知,？,分析,收敛,且与出现的先后位置无关！,注,(期望、均值),定义,设的分布律为,为的数学期望,则称,定义,设的概率密度函数为若,(期望、均值),为的数学期望,注,注意离散型和连续型情形的形式一致性,解,例,的密度函数为,其它,从直观上看？,解,例,从直观上看？,？,奇函数,即该元器件的平均寿命为,解,例,设某元器件的寿命服从指数分布,其密度为,求的数学期望,如果某产品的平均寿命为,在航空、航天、军事、医疗等领域，通常要求元器件达9级以上，这意味着该元器件的平均寿命至少为,由一万个9级元器件组成的电子设备的平均寿命为多少年？,(小时),则称该产品为“级”产品,越大(级别越高),失效率越低,则产品的平均寿命越长,可靠性越高.,(年),(年),工程背景,设每个铁环能承受的最大拉力分别为,整条铁链能承受的最大拉力为,解,一条铁链由个相同的铁环构成，铁链两端受到大小相等、方向相反的拉力设单个铁环不被拉断所能承受的最大拉力为其密度为,例,试求铁链能承受的平均最大拉力.,其分布函数为,密度函数为,可见服从参数为的指数分布,故,即铁链能承受的平均(最大)拉力为,解,例,计算,奇函数,对称区间,？,因为,习题：2、3、4、5,飞机机翼受到的压力为,设已知,实际背景,其中是风速是常数,问机翼受到的平均压力多大？,则要求,(概率函数),一般地,(普通函数),一般的思路,分析,设单调增,其反函数为则,令,有意思的结果,该结果对一般的分布和函数也成立,定理,设为普通函数,则,设为离散型r.v,其分布律为,设为连续型r.v,其概率密度为,解,例,设风速设飞机机翼受到的正压力,的密度函数为,其它,即飞机机翼受到的平均正压力为,于是,则,解,例,过平面上点任作一条直线求由坐标原点,到直线的距离的平均值.,设与轴的夹角为,故原点到直线的平均距离为,？,？,？,一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的市场需求量(单位:吨),每出售一吨原料,公司可获利1千元,若积压一吨,则公司要损失0.5千元。问公司应该组织多少货源,可以使收益最大?,于是公司的平均获利为,解,例,设公司应组织货源吨,则应有,又设公司获利千元,则是市场需求量的函数,且,令,，解得,故公司应该组织433.3吨货源,可使平均收益最大.,设为二元函数,则,设的联合分布律为,则,推广的定理,注：公式可推广到一般的高维随机变量,求,由推广的定理有,解,例,从直观上看该结果的合理性,对连续型r.v进行证明.,设为r.v，则有,设为常数,则,设,则,设相互独立,则有,对连续型r.v进行证明.,设,独立,几个推论,设的密度函数为,试求,例,一般的思路,另一种方法,解,三角形区域,引入r.v,解,一民航客车载有20位旅客自机场开出，沿途有十个停靠站,如达到一个车站时没有乘客下车就不停车.以表示停车的次数,求(假定每位旅客在任一车站下车是等可能的,且各旅客是否下车相互独立).,例,位乘客在第i站都不下车,从而,易知,旅游团的个游客出酒店时都将自己房间的钥匙交给了导游.回到酒店后,每人从导游处任取一把钥匙去开自己房间的门.试问平均有多少人能开打房门。,故能开打房门的平均人数为,则能打开房门的人数为,解,例,令,且,.故,设件产品中有件次品,在该批产品中任意取件,记表示取出的次品个数,求,解,例,的分布律为,称服从超几何分布,直接求和很难,解二,令,故,因为,则,从而求得公式,注：无放回取样，且产品件数不一定很大,构造适当的概率模型求复杂公式的值是常用的数学技巧,怎样利用r.v的分解方法求解？,有3只球，4只盒子，盒子编号为1,2,3,4.将球逐个独立随机地放入4只盒子中去.以