两角和与差的正弦、余弦和正切公式.ppt

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式,三年12考高考指数:1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.,1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考的常考点.2.公式逆用、变形应用是高考热点.3.在选择题、填空题、解答题中都有所考查.,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式,【即时应用】(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“”或“”)cos15=cos(45-30)=cos45-cos30()sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30()cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45(),cos15=cos(60-45)=cos60cos45-sin60sin45()(2)计算sin72cos18+cos72sin18=_.(3)计算cos72cos12+sin72sin12=_.,【解析】(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30,故错误；sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30，故错误;正确，cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故错误.(2)原式=sin(72+18)=sin90=1.(3)原式=cos(72-12)=cos60=答案：(1)(2)1(3),2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,【即时应用】(1)思考：二倍角公式中对任意的都成立吗？提示：不一定,当(kZ)时，公式成立.(2)的值等于_.【解析】答案：,(3)若则tan2=_.【解析】答案：,三角函数的化简【方法点睛】三角函数化简的技巧、方法和要求(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；(3)一些常规技巧：“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等,(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化(5)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”.,【例1】化简下列各式：(1)=_.(2)=_.【解题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2是的二倍，是的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点.,【规范解答】(1)因为所以=|cos|=cos,又因为所以所以，原式=,(2)原式=答案：(1)(2)1,【互动探究】把本例中的(2)改为=_.【解析】原式答案：,【反思感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系，cos2=是常用的三角变换.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.3.常用的公式变形：,【变式备选】不查表求sin220+cos280+的值.【解析】sin220+cos280+=(1cos40)+(1+cos160)+=1cos40+cos160+=1cos40+(cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20),三角函数的求值【方法点睛】三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，给值求值(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数.(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.,【例2】若求的值.【解题指南】本题可以利用的变换，同时要注意x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.,【规范解答】方法一：由得又因为从而原式=,方法二：原式=sin2xtan(+x),而所以，原式=,【反思感悟】1.此题若将的左边展开成再求cosx,sinx的值就很繁琐，把作为整体，并注意角的变换这样就可运用二倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键.2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.,【变式训练】已知求的值.【解析】方法一：由题设：从而：,方法二：令,【变式备选】已知求sin(+)的值.【解析】又又sin(+)=-sin+(+),三角函数的给值求角【方法点睛】1.三角函数的给值求角问题的一般思路(1)求出该角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出角.,2.三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角.(1)若角的范围是(0,),选正、余弦皆可;(2)若角的范围是(0,),选余弦较好;(3)若角的范围为(),则选正弦.,【例3】已知且0(1)求tan2的值；(2)求.【解题指南】(1)利用同角三角函数关系式求出sin,tan,再求出tan2；(2)把写成-(-)，根据已知条件求出的正弦，-的正弦，求出cos，根据范围确定角.,【规范解答】(1)由得tan=于是(2)由0,得0-.又cos(-)=,sin(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-),【反思感悟】根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosAsinAcosB两端同除以cosAcosB得tanB=tanA等变化技巧也经常用到.,【变式训练】已知、均为锐角，求+的值.【解析】tan=1且为锐角，同理,三角函数的综合应用【方法点睛】三角函数公式和三角函数性质的关系(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为的形式,再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.(2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力,【例4】已知函数f(x)=2sin(-x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质.,【规范解答】(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,函数f(x)的最小正周期为.(2)由f(x)在区间上的最大值为1，最小值为,【反思感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性质为基础求的性质，有时给出角的范围时要注意的范围的变化.,【变式训练】设函数f(x)=+sinxcosx+a(其中0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为(1)求的值；(2)如果f(x)在区间上的最小值为求a的值.,【解析】(1)f(x)=依题意得(2)由(1)知，f(x)=又当x时，故从而f(x)在区间上的最小值为,【变式备选】已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间上的值域.【解析】(1)f(x)=+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=+sin2x-cos2x=-cos2x=周期,由函数图象的对称轴方程为(2)xf(x)=sin(2x-)在区间上单调递增，在区间上单调递减，当x=时，f(x)取最大值1.又当时，f(x)取最小值函数f(x)在区间上的值域为,【满分指导】三角函数主观题的规范解答【典例】(12分)(2011广东高考)已知函数f(x)=xR.(1)求f()的值;(2)设，求cos(+)的值.,【解题指南】(1)把代入解析式直接求解；(2)由题目条件可求出sin及cos的值，然后利用同角三角函数关系，求出cos及sin的值，再利用两角和的余弦公式求解.【规范解答】(1)=3分(2)由得即6分由f(3+2)=得,从而8分、10分cos(+)=coscos-sinsin12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011福建高考)若tan=3，则的值等于()(A)2(B)3(C)4(D)6【解析】选D.的值等于6.,2.(2011福建高考)若(0，)，且则tan的值等于()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.sin2+