《向量及其线性运算》PPT课件.ppt

第八章第一节,1,数量关系,第八章,第一部分向量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间形式点,线,面,基本方法坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,第八章第一节,2,第一节向量及其线性运算,教学内容1向量的概念与向量的线性运算;2空间直角坐标系;3利用坐标作向量的线性运算;4向量的模，方向角，投影;本节考研要求1理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示;2掌握向量的线性运算，理解单位向量，方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算方法.,第八章第一节,3,向量（矢量）：,既有大小又有方向的量.,模长为1的向量。,零向量：,模长为0的向量,向量的模：,向量的大小,单位向量：,一、向量的概念,或,或,向量的记法：,（方向任意）。,向量的表示：,第八章第一节,4,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k,个向量共面.,第八章第一节,5,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,第八章第一节,6,第八章第一节,7,2.向量的减法,三角不等式,第八章第一节,8,*例1试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。,证,A,B,C,D,E,F,第八章第一节,9,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,第八章第一节,10,定理1.,设a为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,第八章第一节,11,则,例1.设M为,解:,第八章第一节,12,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,第八章第一节,13,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点M的坐标),原点O(0,0,0);,第八章第一节,14,坐标轴:,坐标面:,第八章第一节,15,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,第八章第一节,16,向径OM,有序数组,称为(x,y,z)向径OM的坐标,点M,点M的坐标。,x,y,z,向量AB的坐标,=向径OM的坐标,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),M(x2-x1,y2-y1,z2-z1),=AB的终点坐标(x2,y2,z2),-起点坐标(x1,y1,z1),=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),第八章第一节,17,按基本单位向量的分解式.,第八章第一节,18,四、利用坐标作向量线性运算,第八章第一节,19,即：平行向量对应坐标成比例:,第八章第一节,20,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,23,得,代入得,第八章第一节,21,例3.已知两点,在AB直线上求一点M,使,解:设M的坐标为,如图所示,及实数,得,即,第八章第一节,22,说明:由,得定比分点公式:,点M为AB的中点,于是得,中点公式:,第八章第一节,23,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,第八章第一节,24,例4.求证以,证:,即,为等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,为顶点,第八章第一节,25,例5.在z轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?,离的点.,第八章第一节,26,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例6.已知两点,和,解:,求,第八章第一节,27,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,第八章第一节,28,方向余弦的性质:,第八章第一节,29,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,第八章第一节,30,例8.设点A位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点A的坐标.,则,因点A在第一卦限,故,于是,故点A的坐标为,向径OA与x轴y轴的夹,第八章第一节,31,所求向量有两个，一个与同向，一个反向。,或,解,第八章第一节,32,(1)空间一点在轴上的投影,3、向量在轴上的投影与投影定理,第八章第一节,33,(2)空间向量(向径)在轴上的投影,第八章第一节,34,注空间向量在轴上的投影,第八章第一节,35,关于向量的投影定理(1),证,第八章第一节,36,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,第八章第一节,37,关于向量的投影定理(2),（可推广到有限多个）,投影的性质,第八章第一节,38,例.设立方体的一条对角线为,一条棱为,且,