理论力学公式总结

1 / 61 理论力学公式总结 静力学知识点 静力学公理和物体的受力分析 本章总结 1.静力学是研究物体在力系作用下的平衡条件的科学。 2.静力学公理 公理 1 力的平行四边形法则。 公理 2 二力平衡条件。 公理 3 加减平衡力系原理 公理 4 作用和反作用定律。 公理 5 刚化原理。 3.约束和约束力 限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束。约束对非自由体施加的力称为约束力。约束力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反。 4.物体的受力分析和受力图 画物体受力图时，首先要明确研究对象。物体受的力分为主动力和约束力。要注意分清内力与外力，在受力图上一般只画研究对象所受的外力；还要注意作用力和反作用力之间的相互关系。 常见问题 2 / 61 问题一 画受力图时，严格按约束性质画，不要凭主观想象与臆测。 平面力系 本章总 结 1. 平面汇交力系的合力 几何法：根据力多边形法则，合力矢为 合力作用线通过汇交点。 解析法：合力的解析表达式为 2. 平面汇交力系的平衡条件 平衡的必要和充分条件： 平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 平衡的解析条件： 3. 平面内的力对点 O 之矩是代数量，记为 一般以逆时针转向为 正，反之为负。 或 3 / 61 4. 力偶和力偶矩 力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。 平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩 M 的大小和转向，即 式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。 力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。 5. 同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶相等，则彼此等效。力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。 6. 平面力偶系的合成与平衡 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 平面力偶系的平衡条件为 7、平面任意力系 4 / 61 平面任意力系是力的作用线可杂乱无章分布但在同一平面内的力系。当物体有一几何对称平面，且力的分别关于此平面对称时，可简化为平面力系计算。还有其他情况也可按平面任意力系计算。 本章用力的平移定理对平面任意力系进行简化，得到主矢主矩的概念，并进一步对力系简化结果进行讨论；然后得出平面任意力系的平衡条件，得出平衡方程的三种形式，并用平衡方程求解一些平衡问题；介绍静定超静定问题的概念，对物体系的平衡问题进行比较多的训练；最后介绍平面简单桁架的概念和内力计算。 常见问题 问题一 不要因为这一章的内容简单，就认为理论力学容易学，而造成轻视理论力学的印象，这 将给后面的学习带来影响。 问题二 本章一开始要掌握好单个物体的平衡问题与解题技巧，这样才能熟练掌握物体系平衡问题的解法与解题技巧。 问题三 在平时做题时，要注意解题技巧的训练，能用一个方程求解的就不用两个方程，但考试时则不一定如此。 第三章 空间力系 本章总结 5 / 61 1. 力在空间直角 坐标轴上的投影 直接投影法 间接投影法 2. 力矩的计算 力对点 的矩是一个定位矢量， 力对轴的矩是一个代数量，可按下列两种方法求得： 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 3. 空间力偶及其等效定理 力偶矩矢 空间力偶对刚体的作用效果决定于三个因素，它可用力偶矩矢 表示 6 / 61 , 力偶矩矢与矩心无关，是自由矢量。 力偶的等效定理：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。 4. 空间力系的合成 空间汇交力系合成为一个通过其汇交点的合力，其合力矢为 空间力偶系合成结果为一合力偶，其合力偶矩矢为 空间任意力系向点 O 简化得一个作用在简化中心 O 的力 偶矩矢为 ，而 和一个力偶，力 7 / 61 空间任意力系简化的最终结果，列表如下： 5. 空间任意力系平衡方程的基本形式 6. 几种特殊力系 的平衡方程 空间汇交力系 空间力偶系 空间平行力系 若力系中各力与 z 轴平行，其平衡方程的基本形式为 平面任意力系 若力系在 Oxy 平面内，其平衡方程的基本形式为 上述各式，为便于书写，下标 i 略去。 7. 物体重心的坐标公式 常见问题 8 / 61 问题一 从平面汇交力系、力对点的矩和力偶系、任意力系到空间汇交力系、力对点的矩和力偶系、任意力系，好像有重复之感，但不要轻视，还要认真对待。 摩擦 本章总结 1. 摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩阻两种。 2. 滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向约束力。前者称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。 静摩擦力 静摩擦定律为 其中 为静摩擦因数， 的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，其值满足 为法向约束力。 动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，其大小为 9 / 61 其中 f 为动摩擦因数，一般情况下略小于静摩擦因数 。 3. 摩擦角 为全约束力与法线间夹角的最大值，且有 全约束力与法线间夹角 的变化范 围为 当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生自锁现象。 常见问题 问题一 在能够确定运动趋势的时候，要正确画出摩擦力的方向，在不能够确定运动趋势的时候，摩擦力的方向可以假定。要注意库仑摩擦定律的使用条件，不要一说到摩擦力，就可以等于 10 / 61 。运动学重要知识点 一、刚体的简单运动知识点总结 1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。 2.刚体平行移动。 刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。 刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。 刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。 3.刚体绕定轴转动。 ? 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。 ? 刚体的转动方程 =f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。 ? 角速度 表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量， 。角速度也可以用矢量表示， 11 / 61 。 ? 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量， ，当 与 同号时，刚体作匀加速转动；当 与 异号时，刚体作匀减速转动。角加速度也可以用矢量表示， 。 ? 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系： 。 速度、加速度的代数值为 12 / 61 。 ? 传动比 。 点的运动合成知识点总结 1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。 ? 绝对运动：动点相对于定参考系的运动； ? 相对运动：动点相对于动参考系的运动； ? 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。 2.点的速度合成定理。 13 / 61 ? 绝对速度 ：动点相对于定参考系运动的速度； ? 相对速度 ：动点相对于动参考系运动的速度； ? 牵连速度 ：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。 3.点的加速度合成定理。 ：动点相对于定参考系运动的加速度； ：动点相14 / 61 对于动参考系运动的加速度； ：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度； ：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附 ? 绝对加速度 ? 相对加速度 ? 牵连加速度 ? 科氏加速度 加的加速度。 15 / 61 ? 当动参考系作平移或 = 0 ，或 三、刚体的平面运动知识点总结 与 平行时， = 0 。 兰州 师兄的建议：考试不仅仅是知识的积累，更 重要的是会学，重点考试 内容必须掌握， 所以我们要好好复习 静力学 16 / 61 静力学是研究物体在力系作用下平衡的科学。 第一章、静力学公理和物体的受力分析 1、 基本概念：力、刚体、约束和约束力的概念。 2、 静力学公理： 力的平行四边形法则；注意：与力偶的区别 二力平衡公理； 加减平衡力系公理； 作用与反作用定律； 刚化原理。 3、常见约束类型与其约束力： 光滑接触约束 约束力沿接触处的公法线； 柔性约束 对被约束物体与柔性体本身约束力为拉力； 铰链约束 约束力一般画为正交两个力，也可画为一个力； 活动铰支座 约束力为一个力也画为一个力； 球铰链 约束力一般画为正交三个力，也可画为一个力； 止推轴承 约束力一般画为正交三个力； 固定端约束 两个正交约束力，一个约束力偶。 17 / 61 4、物体受力分析和受力图： 画出所要研究的物体的草图； 对所要研究的物体进行受力分析； 严格按约束的性质画出物体的受力。 意点：画全主动力和约束力； 注 画简图时，不要把各个构件混在一起画受力图； 灵活利用二力平衡公理和三力平衡汇交定理； 作用力与反作用力。 第二章、平面汇交力系与平面力偶系 1、平面汇交力系： 几何法 解析法 对于二力构件，一般先设为拉力，若求出负值，说明受压。 18 / 61 意点：投影轴尽量与未知力垂直； 注 2、平面力对点之矩 MO?F?Fh，逆时针正，反之负 意点：灵活利用合力矩定理 注 3、平面力偶系： 力偶：由两个等值、反向、平行不共线的力组成的力系。 力偶矩： M?Fh，逆时针正，反之负。 力偶的性质： 1、力偶中两力在任何轴上的 投影为零； 2、力偶对任何点取矩均等于力偶矩，不随矩心的改变而改变； 3、若两力偶其力偶矩相等，两力偶等效； 4、力偶没有合力，力偶只能由力偶等效。 力偶系的合成与平衡 第三章、平面任意力系 1、力的平移定理：把力向某点平移，须附加一力偶，其力偶矩等于原力对该点的力矩。 2、简化的中间结果： 主矢 FR? 大小： FR? 19 / 61 主矩 MO ； 方向： cos?F?,i?F/F?， cos?F?,j?F?M?F? RixRRiy /FR?。 Oi 3、简化的最后结果： 主矢 FR?0 1、 MO?0，合力，作用在 O点； 2、 MO?0，合力，作用线距 O点为 MO/FR?。 主矢 FR?0 1、 MO?0，合力偶，与简化中心无关； 2、 MO?0，平衡，与简化中心无关。 20 / 61 4、平面任意力系的平衡 平衡条件 FR?0、 MO?0。 平衡方程 1、基本式： ?Fx?0、 ?Fy?0、 ?MO?F?0； 2、二矩式： ?Fx?0、 ?MA?F?0、 ?MB?F?0， A、 B 连线不垂直于 x 轴； 3、三矩式： ?MA?F?0、 ?MB?F?0、 ?MC?F?0， A、 B、 C三点不得共线。 5、平面平行力系平衡方程： ?Fy?0 、 ?MO?F?0 ， y 轴 不 垂 直 力 的 作 用线； ?MA?F?0、 ?MB?F?0， A、 B连线不与各力平行。 投影方程和力矩方程中的正负号； 平衡方程的写法： A 21 / 61 A 意点：矩心应取在多个未知力的交点上； 注 ?M?F?0，不 可写成 ?M A?0、 ?M?A?0、 ?M?F?0 或 ?M?F?0。 6、静定与超静定问题 比较未知量个数与独立平衡方程的个数。 7、平面简单桁架内力计算 节点法、截面法 第四章、空间力系 1、力在轴上的投影 直接投影法、间接投影法。 2、空间汇交力系 合成与平衡 3、力对点之矩、力对轴之矩 对点 MO?F?r?F，对轴 Mz?Mz?F?Fxyh 等；力对点的矩矢在过该点的轴上的投影等22 / 61 于力对该轴的矩。 4、空间力偶系 合成与平衡 5、空间任意力系的简化： 中间结果： 1、主矢 FR? ? Fi 大小： FR? 方向： cos?FR?,i? 2、主矩 MO?最后结果： F ix /FR?等。 23 / 61 ?M?F? O i 1、主矢 FR?0 a、 MO?0，合力，作用线过简化中心； b、 MO?0、 FR?MO，合力，作用线距 O点为 MO/FR?； c、MO?0、 FR?/MO，力螺旋，中心轴过 O 点。 2、主矢 FR?0 a、 MO?0，合力偶，与简化中心无关； b、 MO?0，平衡，与简化中心无关。 6、空间任意力系的平衡 平衡条件 FR?0、 MO?0。 平衡方程 ?Fx?0、 ?Fy?0、 ?Fz?0、 24 / 61 ?Mx?F?0、 ?M 、空间平行力系平衡方程： ?Fz 7、重心确定方法： ?F?0、 ?Mz?F?0。 ?0、 ?Mx?F?0、 ?My?F?0等 y 利用对称性：在对称轴、对称面或对称中 心上； 分割法： xC? ?Px i i 25 / 61 R 三角形的重心 h/3、半圆的重心 4 /P等； 3? 实验法：悬挂法，称重法。 第五章、摩擦 1、滑动摩擦力 静滑动摩擦力 方向：与相对滑动趋势方向相反； 大小： 0?Fs?Fmax?fsFN。 动滑动摩擦力 方向：与相对滑动方向相反； 大小：Fd?fdFN。 2、摩擦角与自锁 摩擦角 ?f 临界平衡状态时，全约束力与接触处公法线之间的夹角，或 26 / 61 tan?f?fs。 自锁 所有主动力合力的作用线与接触处公法线间的夹角小于摩擦角，物体静 止的情况。 3、滚动摩阻 转向：与相对滚动趋势转向相反； 大小： 0?M f ?Mmax?FN。 运动学 运动学是研究物体运动的的几何性质的科学。 第六章、点的运动学 1、 研究内容 研究点相对某参考系的几何位置随时间变27 / 61 化的规律，包括点的运动轨迹、 运动方程、速度和加速度。 2、 研究方法： ?、 a?v?r 矢量法 r?r?t?、 v?r 直角坐标法 x?f1?t?、 y?f2?t?、 z?f3?t?等 ? 、 a?at?an?at?ann?v?v2/?n 。 自然法 s?f?t?、 v?v?s 意点：矢量法主要用于理论推导； 注 直角坐标法是较为一般的方法。特别是点的运动轨迹未知的情形； 自然法是针对点的运动轨迹已知的情形。运算简便，各量物理意义 明确； ?与 v?的区别。 v 28 / 61 第七章、刚体的简单运动 正确计算轮系的传动比。 1、刚体的平行移动： 定义：在刚体内任取一直线段，在 运动过程中这条直线段始终与其初始位置平行； 分类：若刚体内各点的轨迹为直线，则称为直线平移； 若刚体内各点的轨迹为平面曲线，则称为平面曲线平移； 若刚体内各点的轨迹为空间曲线，则称为空间曲线平移； 2、刚体的定轴转动： 定义：刚体在运动时，其 上或其扩展部分有两点保持不动。 刚体定轴转动的整体运动描述： 1、转动方程 ?f?t?； ?， =k 2 、角速度 ? 29 / 61 ?， =?k ?3 、角 加速度 ?= a? 定轴转动刚体上各点的运动描述： 1、运动方程 s?R?， R是点到转轴的距离； 2、速度：v?R ， v?r?v 223、加速度： a?r?v?at?ann ，其中： at?R?， an?v/ R?R ， ?tan?a,n?/ 。 2 3、 轮系的传动比 主动轮 I 与从动轮 II 的角速度的比值 i12? 30 / 61 号表示两轮为同向转动，负号表示两轮为反向转动。 第八章、点的合成运动 12 ? R2R1 ? z2z1 ；正 1、 研究同一点相对两个不同参考系的运动之间的关系。 2、 定性分析： 动点 合成运动的研究对象； 参考系 1、定参考系：习惯上把固结在地球上的参考31 / 61 系称为定系； 2、动参考系：把相对定系做运动的参考系称为动系； 运动 1、绝对运动：动点相对定系的运动； 绪论 1. 学习理论力学的目的：在于掌握机械运动的客观规律，能动地改造客观世界，为生产建 设服务。 2. 学习本课程的任务：一方面是运用力学基本知识直接解决工程技术中的实 际问题；另一 方面是为学习一系列的后继课程提供重要的理论基础，如材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、机械原理、机械零件等以及有关的专业课程。此外，理论力学的学习还有助于培养辩证唯物主义世界观，树立正确的逻辑思维方法，提高分析问题与解决问题的能力。 第一章 静力学的基本公理与物体的受力分析 32 / 61 1-1 静力学的基本概念 1. 刚体：即在任何情况下永远不变形的物体。这一特征表现为刚体内任意两点的距离永远 保持不变。 2. 质点：指具有一定质量而其形状与大小可以忽略不计的物体。 1-3 约束与约束力 1. 自由体：凡可以在空间任意运动的物体称为自由体。 2. 非自由体：因受到周围物体的阻碍、限制不能作任意运动的物体称为非自由体。 3. 约束：力学中把事先对于物体的运动所加的限制条件称为约束。约束是 以物体相互接触的方式构成的，构成约束的周围物体称为约束体，有时也称为约束。 33 / 61 4. 约束力：约束体阻碍限制物体的自由运动，改变了物体的运动状态，因此约束体必须承 受物体的作用 力，同时给予物体以相等、相反的反作用力，这种力称为约束力或称反力，属于被动力。 5. 单面约束、双面约束：凡只能阻止物体沿一方向运动而不能阻止物体沿相反方向运动的 约束称为单面约束；否则称为双面约束。单面约束的约束力指向是确定的，即与约束所能阻止的运动方向相反；而双面约束的约束力指向 还决定于物体的运动趋势。 6. 柔性体约束：为单面约束。只能承受拉力，作用在连接点或假想截割处，方向沿着柔软 体的轴线而背离物体，常用符号 FT表示。 7. 光滑接触面约束 ：为单面约束，其约束力常又称为法向约束力。光滑接触面 34 / 61 的约束力只能是压力，作用在接触处，方向沿着接触表面在接触处的公法线而指向物体，常用符号 FN表示。 8. 光滑圆柱形铰链约束：简称圆柱铰，是连接两个构件的圆柱形零件，通常称为销钉。光 滑圆柱铰链约束的约束力只能是压力，在垂直于圆柱销轴线的平面内，通过圆柱销中心，方向不定。 9. 铰支座：用光滑圆柱销把结构物或构件与底座连接，并把底座固定在支承物上而构成的 支座称为固定铰链支座，简称铰支座。铰支座约束 的约束力在垂直于圆柱销轴线的平面内，通过圆柱销中心，方向不定，通常表示为相互垂直的两个分力。 10. 辊轴支座：将结构物或构件的铰支座用几个辊轴支承在光滑的支座面上，就称为辊轴支 座，亦称为可动铰链支座。辊轴支座约束的约束力应垂直于支承面，通过圆柱销中心，常用 FN表示。 35 / 61 11. 链杆约束：为双面约束。两端用光滑铰链与其他构件连接且不考虑自重的刚杆称为链杆。 链杆约束的约束力沿链杆两端铰链的连线，指向不能预先确定，通常假设链杆受拉。 12. 解除约束原 理：当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部的 约束除去，代之以相应的约束力，则物体的平衡不受影响。 13. 习题 画出下列制定物体的受力图 第二章 平面汇交力系 1. 习题 P37 2-7 简易起重机用钢丝绳吊起重量 W=2kN的重物，不计杆件自重、摩擦及滑轮大小， A、 B、 C三处简化为铰链连接。求杆 AB和 AC所受的力。 36 / 61 P39 2-13 夹具所用的两种连杆增力机构如图所示，已知推力 F1作用于 A点 ，夹紧平衡时杆 AB与水平线的夹角为 。求对于工件的夹紧力 F2和当 =10o 时的增力倍数 F2/F1。 第三章 力矩与平面力偶理论 3-2 力偶及其性质 1. 力偶、力偶的作用面、力偶臂：物体同时受到大小相等、方向相反、作用线不在同一直 线上的两个力作用，把这两个力作为一个整体来考虑，称为力偶，以符号表示，两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的垂直距离称为力偶臂。 2. 力偶的性质： 1) 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。 2) 力偶对于作用面内任一点之矩与矩心位置无关，恒等于力偶矩，因此力偶对于 37 / 61 物体的效应用力偶矩度量，在平面问题中它是个代数量。 3. 力偶矩公式： M(F,F )=M=Fd (Nm 或 kNm) 逆时针为正 4. 平面力偶的等效定理：作用在同一平面内的两个力偶，若其力偶矩的大小相等，转向相 同，则该两个力偶彼此等效。 5. 习题 P50 3-4 构件的支承及荷载情况如图，求支座 A、B 的约束力。 第四章 平面任意力系 4-1 力线平移定理 1. 力线平移定理：作用于刚体上的力均可以从原来的作用位置平行移至刚体内任意指定 点，欲不改变该力对于物体的作用，则必须在 该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对于指定点38 / 61 之矩。 4-2 平面任意力系向已知点的简化 主矢与主矩 1. 主矢：平面汇交力系可合成为一力以 FOR表示， FOR=F1+F2+Fn=F=F R 其中 F R=F 称为平面力系的主矢。即，汇交力系的合力矢等于平面力系的主矢。主矢 F R 是自由矢，它只代表力系中各力矢的矢量和，并不涉及作用点，因此汇交力系的合力 FOR与主矢 F R 并不完全相同。 2. 主矩：平面附加力偶系可合成为一力偶，其 力偶矩以 M表示， M=M0(F1)+MO(F2)+MO(Fn)= MO(F)= MO 其中 MO=MO(F) 称为平面力系对于简化中心 O的主矩。附加力偶系的合力偶矩等于平面力系对于简化中心 O的主矩。 3. 平面任意力系向作用面内任一点简化，一般可以得到一39 / 61 力和一力偶；该力作用于简化中 心，其大小及方向等于平面力系的主矢，该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。力系的主矢与简化中心的位置无关，主矩与简化中心的位置有关。 4. 固定端约束简化为一力和一力 偶，通常如图所示： 4-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 1. 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对于任意点的主矩都等于 零。力系中所有力在作用面内任意两个坐标轴上投影的代数和等于零，以及各力对于平面内任意点之矩的代数和等于零。 2. 平面任意力系的平衡方程： Fx=0 ， Fy=0 ， MO(F)=0 3. 习题 P75 4-3 求下列各图中平行分布力的合力和对于 A 点之矩。 40 / 61 质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为 ，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： . 已知质点的运动，求作用于质点的力； . 已知作用于质点的力，求质点的运动。 41 / 61 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为 ，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： 42 / 61 . 已知质点的运动，求作用于质点的力； . 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一 在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质 心速度。 问题二 质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点 O 的动量矩是矢量 43 / 61 。 质点系对点 O 的动量矩是矢量 若 z 轴通过点 O ，则质点系对于 z 轴的动量矩为 。 。 若 C 为质点系的质心，对任一点 O 有 2.动量矩定理。 对于定点 O 和定轴 z 有 44 / 61 。 若 C 为质心， C z 轴通过质心，有 3.转动惯量。 若 z C 与 z 轴平行 ，有 4.刚体绕 z 轴转动的动量矩。 刚体绕 z 轴转动的动量矩为 若 z 轴为定轴或通过质心，有 5.刚体的平面运动微分方程。 常见问题 问题一 要注意，计算动量矩时，仅仅计算对质心动量矩时，用静止坐标系或用随质心平移的坐标系都可以，两者的计算结 果是相同的。对一般的动点，两者计算结果不同，必须用45 / 61 静止坐标系计算，或用书中的公式计算。 问题二 要注意，动量矩定理仅仅对定点或质心成立，对一般的动点通常是不成立的。 问题三 要仔细体会在知识点例题中所提到的技巧及注意事项。 问题四 求解运动学问题时，通常要补充运动学关系，一定注意正确的补充运动学关系。 动能定理 知识点总结 1.动能是物体 机械运动的一种度量。 质点的动能 质点系的动能 平移刚体的动能 绕定轴转动刚体的动能 46 / 61 平面运动刚体的动能 2.力的功是力对物体作用的积累效应的 度量。 重力的功 弹性力的功 定轴转动刚体上力的功 平面运动刚体上力系的功 3.动能定理。 微分形式 积分形式 理想约束条件下， 只计算主动力的功，内力有时作功之和不为零。 4.功率是力在单位时间内所作的功。 5.功率方 程。 功率方程 47 / 61 6.机械效率。 7.功与物体运动的起点和终点的位置关系。 有势力的功只与物体运动的起点和终点的位置有关，而与物体内各点轨迹的形状无关。 8.机械能守恒定律。 机械能动能势能 T+V 机械能守恒定律：如质点或质点系只在有势力作用下运动，则机械能保持不变，即 T+V=常量 由于利用动能定理可以较方便的计算速度和角速度、加速度和角加速度，因此很多动力学题目都是优先选用动能定理。利用动能定理的积分形式很容易求得速度及角速度。如果这一积分形式的动能定理表达的是函数关系，那么将其两端对时间求导即可得到加速度及角速度。进而再利用刚体平面运动微分方程就可以求得作用力。 常见问题 48 / 61 问题一 正 确计算功和动能，分析哪些力不作功，哪些力作功。 问题二 在理想约束下只考虑主动力的功。如果有摩擦，只需记入摩擦力的功。 问题三 功是力与受力物体上力作用点位移的点积，不是力与力在空间位移的点积。 问题四 作用于纯滚动圆盘与静止地面接触点的法向约束力和摩擦力不作功。 问题五 如果动能定理的积分形式用函数形式表示，则将其对时间求导即可求得加速度和角加速度，当然也可以用动能定理的微分形式或功率方程。 问题六 多数动力学问题可优先考虑动能定理求得加速度和角加速度，然后再利用动量及动量矩定理求得力。 第一章 静力学 力对点之矩 mO?F?r?F 力对轴之矩 mz?F?(rxy?Fxy)?k 49 / 61 力 偶 对 空 间 任 意 点 O mo?F,F?mo?F?mo?F?rA?rB?F?r?F主矢 R ? ? F i 主矩 平行力系中心 MO?mO?Fi? z?W? i MO?R?0 i 物体的重心 xC x?W? W i 50 / 61 yC y?W? i i W zC i W ?xdv xC? 连续物体，比重为 ? =?