Fourie变换的性质.ppt

1.3Fourier变换的性质,1线性性质,2位移性质,3微分性质,4积分性质,5*乘积定理,6*能量积分,这一讲介绍Fourier变换的几个重要性质，为了叙述方便起见，假定在这些性质中，凡是需要求Fourier变换的函数都满足Fourier积分定理中的条件，在证明这些性质时，不再重述这些条件。,1.线性性质,Faf1(t)+bf2(t)=aF1(w)+bF2(w)(1.18),这个性质的作用是很显然的,它表明了函数线性组合,同样,Fourier逆变换亦具有类似的线性性质,即,F-1aF1(w)+bF2(w)=af1(t)+bf2(t)(1.19),的Fourier变换等于各函数Fourier变换的线性组合。,设F1(w)=Ff1(t),F2(w)=Ff2(t),a,b是常数,则,2.位移性质,证由Fourier变换的定义,可知,它表明时间函数f(t)沿t轴向左或向右位移t0的Fourier变换等于f(t)的Fourier变换乘以因子或,同样，Fourier逆变换亦具有类似的位移性质，即,它表明频谱函数F()沿轴向左或向右位移0的,Fourier逆变换等于原来的函数f(t)乘以因子或,例求函数,解：单个矩形脉冲的频谱函数为:,的频谱函数,例1求矩形单脉冲的频谱函数。,解根据Fourier变换的定义，有,若根据矩形单脉冲,的频谱函数,利用位移性质，就可以很方便地得到上述。因为可以由在时间轴上向右平移得到，所以,且,两种解法的结果一致。,3微分性质,它表明一个函数的导数的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换乘以因了jw。,如果f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|+时,f(t)0,则,证由Fourier变换的定义,并利用分部积分可得,如果f(k)(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去,同样，还能得到象函数的导数公式。设,则,推论,则有,间断点，且当,一般地，有,在实际中，常常用象函数的导数公式来计算,及。,解根据前面例题的结果知,例2已知函数，试求,利用象函数的导数公式，有,解因为,例利用Fourier变换的性质求,的Fourier变换.,又因为,，按位移性质可知,，按象函数的位移性质,，可知,解由,例利用Fourier变换的性质求,的Fourier变换.,，按象函数的微分性质,可知,，利用Fourier变换的性质求,解(1)由线性性质及象函数的微分性质有，,例若,下列函数g(t)的Fourier变换:,，利用Fourier变换的性质求,解(2)由微分性质有，,例若,下列函数g(t)的Fourier变换:,再由象函数的微分性质，有,4.积分性质,如果当时，,则,证,因为,又根据上述微分性质：,所以,4.积分性质,如果当时，,证,故,则,它表明一个函数积分后的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换除以因子jw。运用Fourier变换的线性性质,微分性质以及积分性质,可以把线性常系数微分方程（包括积分方程和微积分方程）转化为代数方程,通过解代数方程与求Fo