T场论与张量运算简介.ppt

第3章场论与张量运算简介,何险峰,2007年9月,传递过程原理,2,本章内容,流体力学基本概念一点的应力状态应力张量场论二阶张量运算流体力学本构方程小结,3,流体力学基本概念,连续介质假设和微团,真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无空隙地充满着的。,1.空间尺度（microscope,mesoscope,macroscope),2.时间尺度（飞秒、皮秒、纳秒、微秒、毫秒、秒）,4,流体力学基本概念,拉格朗日方法,着眼点：寻求质点位置变化规律,5,流体力学基本概念,欧拉方法,着眼点：寻求空间中每个点上描述流体运动随时间的变化状态,6,流体力学基本概念,泰勒展开(TaylorSeries),一维：,三维：,7,流体力学基本概念,欧拉方法表达加速度,v泰勒展开：,8,流体力学基本概念,流体速度分解定律速度类型,平移速度旋转速度变形速度,例子：A.速度均匀的平移流动B.平行剪流C.简单的环形流动D.流线是圆形的无旋流动,9,流体力学基本概念,流体速度分解定律刚体运动,：角速度,10,流体力学基本概念,流体速度分解定律旋度,旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋涡,这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度称为旋度。,旋度物理意义：刚体旋转时的2倍旋转角速度,11,流体力学基本概念,流体速度分解定律,S：变形速度张量,12,流体力学基本概念,涡量,=rotv,13,流体力学基本概念,体力单位体积流体上受到的力,g,面力流体单位面积上受到的力,与面有关，张量描述,14,一点的应力状态应力张量,张量的物理概念（Tensor),1.是矢量2.是面力，与作用面有关,标量、矢量、n阶张量的关系,15,一点的应力状态应力张量,压力张量,1.面力2.各向同性,16,一点的应力状态应力张量,剪应力张量,xy:剪应力的y分量作用于x面上的力,17,场论,定义：设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间内的函数为场,18,场论场的分类,标量场（温度场、密度场）矢量场（力场、电磁场、速度场）,均匀场不均匀场,定态场（不随时间改变）非定态场,无源场（管式场）散度为零无旋场（势场）旋度为零,19,场论标量、矢量和张量表示,s=标量（不加黑的斜体字母）v=矢量（加黑的斜体字母）=张量（加黑的希腊字母）,20,矢量的定义,矢量定义：具有一定的量值和方向的量,矢量相等：量值相等、方向相同（可以是非共线、非同一作用原点),21,矢量加减法,矢量加减法,交换率v+w=w+v结合率(v+w)+u=v+(w+u),22,矢量乘法矢量和标量,矢量和标量的乘法,交换率（OK）：sv=vs结合率（OK）：r(sv)=(rs)v分配率（OK）：(q+r+s)v=qv+rv+sv,23,矢量乘法点乘,两个矢量标量积（点乘、点积）,交换率（OK）：uv=vu结合率（NA）：(uv)wu(wv)分配率（OK）：uv+w=uv+uwvv=?几何意义？,24,矢量乘法叉乘,两个矢量矢量积（叉乘、叉积）,交换率（NA）：结合率（NA）：分配率（OK）：,几何意义？,25,张量乘的阶数计算,张量乘的阶数,标量0阶张量；矢量1阶张量；张量本课通指2阶张量,26,标量、矢量和张量乘结果的表示,标量、矢量和张量乘结果的表示,27,以分量表示的矢量运算,克罗内克符号(KroneckerDelta）符号ij,交错单位张量ijk,28,ij和ijk的关系,ij和ijk的关系,三阶行列式的分量表示法,29,单位矢量的点乘,右手坐标,单位矢量的点乘,30,单位矢量的叉乘,单位矢量叉乘,31,矢量以分量方式展开,矢量以分量展开,矢量的量值,32,以分量表示的矢量运算,矢量加减法,矢量的点乘,矢量的叉乘,33,多重矢量的乘法例1,几何意义：计算u,v,w组成平行六面体的体积,34,多重矢量的乘法例2,35,矢量的微分运算,哈密尔顿(Hamilton)算符（nabla/del）,直角坐标系中的表达,36,标量场的梯度（gradient）,定义：,又称为：grads,37,矢量场的散度（divergence）,定义：,又记为：divv,38,矢量场的旋度（rotation),定义：,又记为：rotv或者curlv,39,标量场的Laplace算符,定义：,称为Laplace算子,直角坐标系中,40,标量场的随体导数,随体导数定义：,标量场的随体导数：,41,矢量场的随体导数,标量场的随体导数：,只在直角坐标系成立,42,二阶张量,定义和符号,张量的量值,43,并矢量,并矢量可以看成矢量v和矢量w的转置的行列式乘积,幷矢量定义,44,单位幷矢量及张量的分量表示,单位幷矢量,.,张量的分量表示（并矢量表示）,直角坐标系中的意义,45,单位并矢量的基本运算,单位幷矢量的乘法,46,张量的运算,张量的加法,张量和标量的乘法,47,张量的运算,张量间的点乘（）,48,张量的运算,张量的双点乘（：）,49,张量的运算,张量和矢量的点乘,50,张量的运算,张量和矢量的叉乘,51,张量的微分运算,微分并矢量V,52,张量的微分运算,张量场的散度,53,张量的微分运算,54,张量运算恒等式,为对称张量,55,张量运算恒等式的证明,为对称张量,56,张量不变量和张量的几何表示,张量的主值和主轴,矢量a的方向为张量的主轴方向称为张量的主值,57,张量不变量和张量的几何表示,不变量,展开得：,其中：,58,张量不变量和张量的几何表示,不变量和的关系,第一不变量：,第二不变量：,第三不变量：,59,张量不变量和张量的几何表示,张量分解定理,二阶张量可以唯一地分解成一个对称张量S和一个反对称张量A之和。,60,张量不变量和张量的几何表示,二阶对称张量的性质,S的对称性不因坐标变换而改变二阶对称张量3个主值都是实数、且存在3个相互垂直的主轴二阶对称张量S在主轴坐标系中具有最简单的形式二阶对称张量的几何表示椭球面,61,矢量与张量的积分运算,奥高（Ostrogradski-Gauss)散度定理,62,矢量与张量的积分运算,斯托克斯（Stokes）旋度定理,63,矢量与张量的积分运算,散度积分表达式,旋度积分表达式,64,矢量与张量的积分运算,三维莱布尼茨（Leibniz）公式,Vs任一曲面元的速度,65,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系坐标变换,66,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系单位矢量,可通过导数推导,67,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系微商,可通过偏导数链规则推导,68,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系坐标变换,69,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系单位矢量,可通过导数推导,70,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系微商,可通过偏导数链规则推导,71,曲线坐标系中的矢量和张量,孤元素和拉梅系数,直角坐标系：,柱坐标系：,球坐标系：,72,曲线坐标系中的矢量和张量,三种坐标系的拉梅系数,73,曲线坐标系中的矢量和张量,梯度、散度、旋度的通用表达式,74,曲线坐标系中的矢量和张量,拉普拉斯算子的通用表达式,75,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系的单位矢量微分,76,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系的nabla算符,77,曲线坐标系中的矢量和张量,柱坐标系下的矢量微分的表达式,78,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系的单位矢量微分,79,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系的nabla算符,80,曲线坐标系中的矢量和张量,球坐标系下的矢量微分的表达式,81,流体力学本构方程,三维牛顿粘性定律,多少情况下：=0,82,流体力学本构方程,速度变形张量,83,流体力学本构方程,本构方程,对不可压缩流体：,84,流体力学本构方程,本构方程,张量：,带入得：,85,本章小结,基本概念,欧拉法、场标量、矢量和张量（并矢量）单位矢量、单位张量Nabla算符、散度、旋度、拉普拉斯变换三维牛顿粘性定律、本构方程,86,本章小结,矢量的基本运算,罗克内克符号、交错单位张量加减、点乘、叉乘,张量的基本运算,加减、点乘、叉乘、双点乘、并矢量,87,本章小结,