基于数学建模的城市路灯优化与节能研究.pdf

安徽科技学院学报, 2011 , 25( 1): 53 55 Journal ofAnhui Science and Technology University 收稿日期: 2010- 12- 24 项目资助: 安徽省教育厅自然科学研究项目 ( KJ2010B300)。 作者简介: 张家昕 ( 1978- ), 男, 安徽省太湖县人, 学士, 讲师, 主要从事最优化理论与方法研究。 基于数学建模的城市路灯优化与节能研究 张家昕, 仇海全, 卢中其 (安徽科技学院 理学院, 安徽 凤阳 233100) 摘 要: 本文提出了一种优化的城市路灯排列设计方法。利用该方法优化出的路灯交错排列方式, 与现在 普遍采用的对称排列方式相比, 在满足人们对交通和正常生活工作要求的条件下, 可以达到节能的目标。 关键词: 路灯优化; 照明强度; 节能 中图分类号: O221 . 1 文献标识码: A 文章编号: 1673- 8772( 2011) 01- 0053- 03 Research on StreetLampsOpti mization and Energy- saving Based onM athe maticalModeling ZHANG Jia- xin , QIU H ai- quan , LU Zhong- qi ( College of Science , Anhui Science and TechnologyUniversity ,Fengyang 233100 , China) Abstract : An opti m ization designmethod of street lamps is proposed . By using thismethod , a staggered arrange - ment of street lamps is opti mally provided . Compared to now w idely adopted symmetrical arrangemen,t the stag - gered arrange m ent can not only meat people. s needs in traffic and daily life ,but also achieve the goal of saving energy . Keywords : Street lamps opti m ization ;Illum ination intensity; Energy- saving 随着国民经济的不断发展, 国内绝大多数城市对道路的照明提出了更高的要求。但在路灯设置方面, 还缺乏必要的定量照度计算来进行科学合理的路灯排布设计。目前大部分城镇公路路灯都是左右两边对 称排布, 而这种设计方式会导致路面照度过高, 或过低, 或不均匀。当路面照度过高时, 将形成严重的光污 染以及能源的浪费; 当路面照度过低时, 会影响司机行车的安全和行人安全。本文主要通过建立数学模 型, 提出了一种优化的城市路灯排列的设计方法。利用该方法优化出的路灯交错排列方式 (三角形排 布 ), 与现在普遍采用的对称排列方式相比, 可以在满足人们对交通安全和正常生活工作要求的条件下, 可以达到节电节能的目标。 1 路灯的优化建模 1 . 1 一盏灯的照度 由物理学定义知: 被光线照射的物体亮度依赖于它与光源之间的距离平方的倒数和光线的投射角度。 假设路灯的高度为, 功率为, 如图 1所示: o是灯杆与地面交点, 地面一点 A 至 o点水平距离为 r, 则路灯到 A 点的光线强度为: I= p r 2 + h 2, 点 A 的照明强度 3为: c= IsinA=ph ( r 2 + h 2 ) 3 2 . 照明强度直接影响可见度, 只有照明强度不低于 c0, 才可认为物体可见, 因此地面照明强度不低于 c0 的区域为: c0F ph (r 2 + h 2 ) 3 2 , 即 r 2 F (ph c0 ) 3 2 - h 2. 此时, 在达到最低照明强度的条件下, 使得地面上可见区域 的面积最大, s= P (ph c0 ) 3 2 - h 2 . 1 . 2 三盏路灯的优化问题 三盏路灯为位于路两侧相邻且交错排列的灯, 在达到最低照明强度的条件下, 使得同侧相邻两灯的间 距 l最大。设路灯距地面高度均为 h, 路灯功率均为 p, 同侧两盏灯间距为 l , 路宽为 d. 以同侧两灯连线为 X 轴, 两灯之间中点为 o点, 以另一盏灯的灯脚与 o的连线向外为 y 轴, 以 o为原点, 平行于灯杆的连线为 z轴, 建立空间直角坐标系。如图 2所示: 地面 A (x, y, 0)处照明强度为: c2= ph x 2 + (y- d) 2 + h 2 3 2 + ph (x - 0. 5l) 2 + y 2 + h 2 3 2 + ph (x+ 0 . 5l) 2 + y 2 + h 2 3 2 ( 1) 地面上照明强度不低于 c0的区域为 c0Fc2, 优化模型为: max l s . t . ph x 2 + (y- d) 2 + h 2 3 2 + ph (x- 0 . 5l) 2 + y 2 + h 2 3 2 + ph (x+ 0 . 5l) 2 + y 2 + h 2 3 2 E c0 c0= 35 w /m 2; d= 10 m; p = 1500w; h, lE 0 三盏灯在地面上的照明投影均为圆, 由图 2可知, 考虑 o1灯 (其它灯情况类似 ), 其中照度最小的点 将落在 o1o2的中垂线 oo3上或 o1o3线段上。在中垂线 oo3上照度最小的点将满足到三盏灯的距离都相 等, 即此时为三盏灯的外接圆圆心。而在 o1o3上照度最小的点显然是它的中点 C 点。那么下面只要比较 出灯 o1的顶端到地面 B, C 点的距离大小即可。距离大的点, 说明实际照度小, 优化时只用考虑照度最小 的这一点大于等于最低照度 C0即可。 下面假设灯 o1到 B 点的距离为 d1, 到 o1o3中点 C 的距离为 d2。由图 2及分析得, 灯 o1到 B 点的距 离为 d1满足下式: d 2 1= l 1 4 + y 2 + h 2 y = d+d 2 + 2l 2 4 d= 10 lE 0 d 2 1= 5l 2 16 + d(d+d 2 + 2l 2 8 + l 2 16+ h 2 E 5l 2 16+ d 2 4 + l 2 16+ h 2 灯 o1到 o1o3中点 C 的距离为 d2满足 d 2 2= d 2 4 + l 2 16+ h 2。 比较上述两个式子可以很快得出结论: d1E d2。即只需考虑路灯在 B 点的照度大于等于最低照度即 可。此时 B (o, y, 0)B是 A (x, y, 0)在 x = 0时, 地面上照明强度最小的点。此时 B 点位于三盏灯形成的三 角形外接圆圆心在轴上的投影, 且 y与 d、 l满足关系 (y- d) 2 + h 2 = l 2 4 + y 2 + h 2, yI 0 , d ( 2) 由 ( 2)式变形得 y= d+d 2 + 2l 2 4 , yI 0 , d( 3) 再由得 B (x, y, 0) ph ( d 2 + 2l 2 - 3d 4 ) + h 2 3 2 + ph ( d 2 + 2l 2 + d 4 ) + h 2 3 2 E c0( 4) 对于满足 (4)式所确定的区域, 是关于 h, l的非线性规划所确定的区域。优化设计的目标是在达到最 54安徽科技学院学报 2011年 低照明确定情况下, 此时路灯间距达到最大 l。 1 . 3 街道两边路灯优化问题 考虑照明强度的均匀性, 假设两排路灯交错排列. 设路灯高度均相同, 且均为 h, 同侧路灯间距为 l, 街 道宽度为 d. 两排路灯如图 3所示: 由假设及三盏灯模型得出两排灯优化模型: max l st . ph ( x 2+ y2+ h2) 3 2 + ph (x- l 2) + y2+ h2 3 2 + ph (x+ l 2) + y2+ h2 3 2 + ph (x - 0 . 5l 2) + ( y- d)2+ h23 2 + ph (x + 0 . 5l 2) + ( y- d)2+ h2 3 2 E c0 c0= 35w /m 2; d = 10 m, p= 1500 w; h , lE 0 ; 由三盏灯模型知, 路灯 1 、 2 、 3的外接圆圆心 A 的照明强度最小, 由于路灯间距 l大于街道宽度 d, 所以 只考虑 1、 2 、 3 、 4和 5号共五盏灯在 A 点的照明强度的叠加, 其它较远的路灯对其影响很小, 同时也考虑到 问题的复杂性, 所以将其余较远的灯忽略。 以路灯 5 、 1 、 4三点的连线为 x 轴, 以 1号灯脚为原点 o, 以路灯 2 、 3的中点与 o的连线为 y轴, 以过 o 点且垂直于 xoy平面的直线为 z轴建立空间直角坐标系。 其中各路灯的坐标分别为: B ( 0 , 0 , h), C- 1 2, d, h , D 1 2, d, h , E ( l , 0 , h) , F ( - 1 , 0 , h) . 由三盏灯 模型知 AD = AB, 此时有 l 2 4 + (y- d) 2 + h 2 = y 2 + h 2, yI 0 , d. 设路灯 1 、 2 、 3 、 4 、 5在 A 点叠加的照明强度为 c3, 则有 c3= 2ph l 2 4 + ( l 2 8d - d 2 ) 2 + h 2 3 2 + 2ph l 2 + ( l 2 8d + d 2 ) 2 + h 2 3 2 + 2ph ( l 2 8d + d 2 ) 2 + h 2 3 2 E c0( 5) 图 1 一盏灯照明示意图图 2 三盏灯照明示意图图 3 街道两边路灯照明示意图 2 数值试验及结论 本文数值结果通过MATLAB 来实现。取参数 p= 1500 , d= 10 , h= 6 。对于两排路灯交错排列情况, 同 侧相邻两灯之间的间距最大为 l= 22 . 0572 m; 对于两排路灯对称排列情况, 同侧相邻两灯之间的间距最大 为 l= 12 . 8036 m。 比较上述两种排列方式下的优化结果, 我们不难估算出在交错排列方式下, 可以节省路灯设备达 30 %, 也即节能 30 % 左右, 此时可达到同样的照明效果。 这说明交错排列方式显著的优于对称排列方式。 参考文献: 1湘照协. 我国城市