贝塞尔函数总结

1 / 57 贝塞尔函数总结 C.贝塞尔函数的有关公式 贝塞尔方程 的持解 Bp(z)为 (柱 )贝塞尔函数。有 第一类柱贝塞尔函数 Jp(z ) p 为整数 n 时， J?n=(?1) nJn； p 不为整数时， Jp 与 J?p线性无关。 第二类柱贝塞尔函数 N p(z)(柱诺依曼函数 2 / 57 ) n 为整数时 N?n=(?1) nNn。 第三类柱贝塞尔函数 Hp(z) (柱汉开尔函数 )： 第一类柱汉开尔函数 Hp(1)(z)= Jp(z)+j N p(z) 第二类柱汉开尔函数 Hp(2)(z)= Jp(z)?j N p(z ) 大宗量 z? 小宗量 z? 3 / 57 ，为欧拉常数 见微波与光电子学中的电磁理论 p668 Jn(z)的母函数和有关公式 函数 ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在 t=0附近展开成罗朗级数，可得到 在上式中作代换，令 t=ej?， t=?jej?等，可得 又可得 如 z=x为实数 贝塞尔函数的加法公式 Jn(z)的零点 ?ni 4 / 57 J n(z)的零点 ? ni 半整数阶贝 塞尔函数 Jn+1/2(z)的零点 ? np Jn+1/2(z)的零点 ? np D朗斯基行列式及其它关系式 E修正贝塞尔函数有关公式 贝塞尔方程中用 (jz)代换 z，得到修正的贝塞尔方程 方程的两个线性 无关的解为 5 / 57 Ip(z)=j?pJp(jz)称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 Kp(z)=(?/2)jp+1Hp(1)(jz)称为第二类修正的柱贝塞尔函数。 第五章 贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将 看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半6 / 57 径为 R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒 保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 2 ?u?2u22?u22 ?a(?),x?y?R,t?0, ()?t22 ?x?y? ?222 ?ut?0?(x,y),x?y?R, () ? ?ux2?y2?R2?0, ()? 7 / 57 用分离变量法解这个问题，先令 u(x,y,t)?V(x,y)T(t) 代入方程得 ?2V?2V VT?a(2?2)T ?x?y 2 或 ?2V?2V?22 T?x?y ? (?0) 2 8 / 57 aTV 由此得到下面关于函数 T(t)和 V(x,y)的方程 T?a2?T?0 ?2V?2V ?V?0 ?x2?y2 从得 T(t)?Ae ?a2?t 方程称为亥姆霍兹方程。为了求出这个方程满足条件 V 9 / 57 x2?y2?R2 ?0 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程与条件写成极坐标形式得 ?2V1?v1?2V ?2?2?2?V?0,?R,0?2?, () ? ?V ?R?0,0?2?, () 再令 V(?,?)?P(?)?(?)， 代入并分离变量可得 10 / 57 ?(?)?(?)?0 ?2P?(?)?P?(?)?(?2?)P(?)?0 由于 u(x,y,t)是单值函数，所以 V(x,y)也必是单值得，因此 ?(?)应该是以 2?为周期的周期函数，这就决定了 ?只能等于如下的数： 0,12,22, ,n2, 对应于 ?n?n2，有 ?0(?)? a0 2 ?n(?)?ancosn?bnsinn?,(n?1,2,) 11 / 57 以 ?n?n2代入得 ?2P?(?)?P?(?)?(?2?n2)P(?)?0 这个方程与相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是 n阶贝塞尔方程。 若再作代换 r?， 并记 F(r)?P 则得 r2F?(r)?rF?(r)?(r2?n2)F(r)?0. ， 这是 n阶贝塞尔方程最常见的形式。 由条件及温度 u是有限的，分别可得 12 / 57 ?P(R)?0 ? ?P(0)? 因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程在条件下的特征值与特征函数节先讨论方程的解法，然后在中再回过头来讨论这个特征值问题。 贝塞尔方程的求解 在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以 x 表示自变量，以 y表示未知函数，则 n阶贝塞尔方程为 d2ydy x?x?(x2?n2)y?0 2 dxdx 13 / 57 2 其中 n为任意实数或复数。我们仅限于 n 为任意实数，且由于方程中的系数出现 n2 的项，所以在讨论时，不妨先假定n?0。 设方程有一个级数解，其形式为 y?x(a0?a1x?a2x? c 2 ?akx? k )?akxc?k， a0?0 k?0 14 / 57 ? 其中常数 c和 ak(k?0,1,2,)可以通过把 y和它的导数 y?,y?代入来确定。 将及其导数代入后得 ?(c?k)(c?k?1)?(c?k)?(x k?0 ? 2 ?n2)akxc?k?0 化简后写成 (c?n)a0x?(c?1)?na1x 15 / 57 22c22c?1 ?(c?k)2?n2ak?ak?2xc?k?0 k?2 ? 要上式为恒等式，必须各个 x幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1a0(c2?n2)?0 ； 2a1(c?1)2?n2?0 ； 3(c?k)2?n2ak?ak?2?0(k?2,3,) 。 由 1 得 c?n，代入 2 得 a1?0。先暂取 c?n，代入 3 得 4ak? ?ak?2 。 k(2n?k) 16 / 57 因为 a1?0，由 4 知 a1?a3?a5?a7?示，即 a2? ?a0 ， 2(2n?2) a0 ， 24(2n?2)(2n?4) ?a0 ， 246(2n?2)(2n?4)(2n?6) 17 / 57 ?0，而 a2,a4,a6,都可以用 a0表 a4? a6? ? a2m?(?1)m 246 a0 2m(2n?2)(2n?4)(n?m) (2n?2m) (?1)ma0 ?2m 18 / 57 2m!(n?1)(n?2) . 由此知的一般项为 (?1)ma0xn?2m 22mm!(n?1)(n?2)(n?m) 让 a0 取一个确定的值，就得得一个特解。 a0 是一个任意常数，把 a0取作 贝塞尔函数 1.贝塞尔方程及解 : 令 u?,?,?=R?,?为分离变量的解，则 R?,?满足本征值问题的方程， ?2R1dydR?2m2? 2?2?R?0 ?dxd? 19 / 57 其中 ?2 是分量的本征值问题的本征值。 R()?R()?y(x);m? 则上面方程可以变换：若作变换 x?(或 x?)； x ? x2y/?x2y/?(x?2)y?0 当 ?整数时，贝塞尔方程的通解为： y(x)?AJ?(x)?BJ?(x) 当 ?=整数时，由于 J?m=(?1)mJm(x)，因此通解为 y(x)?AJm(x)?BYm(x) 式中 A 与 B 为任意常数， Jm(x)与 Ym(x)分别定义为 m 阶第一类与 m 阶第二类贝塞尔函数。 2.贝塞尔方程的的级数解 二阶线性齐次常微分方程 x2y?xy?(x2?2)y?0,0?x?b 为贝塞尔方程 20 / 57 现在 x=0 的领域求解贝塞尔方程的解 级数解的形式 由 1p(x)=x?2,q(x)=1-2可见， x=0是 p=的一阶极点，是 q(x)x 的二阶极点。因此， x=0 是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式 ; y?x?Ckx?Ckxk?p k?0k?0n?k? 指标方程 将代入贝塞尔方程可得： 22k?pk?3?(k?)?Cx?Cx?0 kk?k?0k?0? 由 x 的最低次幂 x?的系数为 0，即得： x?(?2?2)C0?0 21 / 57 因 C0?0，即得指标方程 ?2?2?0。由此得指标 ?1?, ?2? 系数递推公式 为确定起见，令 ?0，并将 ?=?1=?代入中得到 22k?k?2?(k?)?Cx?Cx?0 kk?k?0k?0? 改变第二项的求和指标，可得 k?0?k(k?2?)Ckxk?Ck?2xk?0 k?2? 由 x 的 同 次 幂 数 之 和 为 0 ， (1?2?)C1?0 k(k?2?)kCk?Ck?2?0 由此得 C1?0 22 / 57 推公式求系数得特解 将系数代入中的贝塞尔方程的一个特解为 (?1)Ck?Ck?2 k(k?2?) (?1)n?(?1)C02n?y1(x)?2nx n?02n!?(?n?1)? 另一个 特解 同理，令 ?2?可得另一个特解为 (?1)n?(?1)C02n?y2(x)?2nxn?02n!?(?n?1)? 3.第一类贝塞尔函数 第一类贝塞尔函数 J?(x)的级数形式为 dyx?2k J?(x)?(?1) ()k!?(?1)2k?1?k 23 / 57 m 经过证明可得： J?m(x)?(?1)J,m(x) 同理可得： J?m(x)?J,m(x) mJ(x)?(?1)J?m(x) 因此： ,m 4.第二类贝塞尔函数： 第二类贝塞尔函数是 Weber 和 Schlafli ,通常把它定义为 Y?(x) Ym(x)的级数形式为 Ym(x)=cos?J(x)?J?(x) sin? 2?x?1m?1(m?k?1)!x?m?2k1?(?1)kxm?2?lnJ(x)?()?(k)?(m?)()?mk?2?k!2?k!(m?k)2?k?0k?0 式中 ?=,而 ?(k)=?1 24 / 57 n?1?n 当 x 很小时，可得 Y0? 当 x 很大时， Y?(x)? 5.第三类贝塞尔函数 通常定义为 (1) H?J?(x)?iY?(x) (2) H?J?(x)?iY?(x) 2?lnx ?x(x?) 42 则方程的通解可以写成为 (1)(2)?BH?(x) y(x)?AH? 25 / 57 当 x?时其渐进展开式为 H?(1)3?i(x?2x)?o(x2) 3)?i(x? 2x? 4?o(x2) H?(2) 当 x?0时其渐进展开式为 H?(x)?i(?1)!2() ?x 2(2)H?(x)?ilnx ? 总结上述， ?阶贝塞尔方程 x2y?xy/?(x2?2)y?0 的通解有三种形式： (1)y(x)?AJ(x)?BJ(x) (?0) (2)y(x)?AJ(x)?BY?(x) (?可取任意整数 ) (1) (3)y(x)?AH?(x)?BH?(2)(x) (?可取任26 / 57 意整数 ) 其中 A,B 为常数。 题目：贝塞尔函数及其应用 摘 要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题 引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶 -贝塞尔级数，通过matlab 编程对函数按傅里叶 -贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。 27 / 57 关键词：贝塞尔函数，傅里叶 -贝塞尔级数，渐近公式 目 录 一、 起源 . 1 贝 塞 尔 函 数 的 提出 . 1 贝 塞 尔 方 程 的 引出 . 1 二、 贝 塞 尔 函 数 的 基 本 概念 .28 / 57 . 4 贝 塞 尔 函 数 的 定义 . 4 1. 第 一 类 贝 塞 尔 函数 . 5 2. 第 二 类 贝 塞 尔 函数 . 7 3. 第 三 类 贝 塞 尔 函数 . 10 29 / 57 4. 虚 宗 量 的 贝 塞 尔 函数 . 10 贝塞尔函数的递推公式 . 11 半 奇 数 阶 贝 塞 尔 函数 . 13 贝 塞 尔 函 数 的 零点 . 14 贝塞尔函数 的振荡特性 . 16 30 / 57 三、 Fourier-Bessel 级数 . 16 傅 里 叶 - 贝 塞 尔 级 数 的 定义 . 16 将函数按傅里叶 - 贝 塞 尔 级 数 展开 . 17 四、 贝 塞 尔 函 数 的 应用 . 24 贝 塞 尔 函 数 在 光 学 中 的 应用 . 24 31 / 57 贝 塞 尔 函 数 在 调 频 制 中 的 应用 . 26 附录 . 30 一、起源 贝塞尔函数的提出 随着科学技术的发展，数学的应用更为广泛。在许多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。它的重要性，早在 18世纪初就被人们认识。在 1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程 utt?a2uxx。以后，伯努利从弦发出声音的事实，得 出该方程的三角级数解。 32 / 57 在此基础上，傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。同时欧拉和拉格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中，导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。而这其中，18 世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔 伯努利在研究悬链振动时提出的贝塞尔函数的几个正数阶特例引起了数学界得兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布 伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔 函数的研究作出过重要贡献。 1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 。 贝塞尔函数是一类特殊函数的总称，贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的薄 膜的振动模态分析问题等。 贝塞尔方程的引出 有圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为0，且初始温度分布已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 设圆形薄盘的半径为 R，这个问题可以归结为求解下列问题： 33 / 57 数理方程中与贝塞尔函数有关的问题 据百度百科介绍： 贝塞尔是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。 20岁时发表了 有关彗星轨道测量的论文。 1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。 1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以天文学基础为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝 塞尔地球椭球体等观点。 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、贝塞尔函数与伽马函数 四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自34 / 57 网页 “ 维基百科 自由的百科全书 ” 中贝塞尔函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振 幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程 d2ydyx?x?(x2?v2)y?0 2 dxdx 2 其中， v是常数，称为 Bessel 方程的阶，可取任何实或复数。该方程的解 无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类 Bessel函数和第二类 Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的35 / 57 贝塞尔函数是指第一类 Bessel函数 (?1)mx Jv(x)?()v?2m m?0m!?(v?m?1)2 ? 贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成或凯泽窗的定义中，都要用到贝塞尔函数。 在教科书中 Bessel 方程来源 1 在圆柱坐标系下解二维热传导方程； ?ut?a2(uxx?uyy),x2?y2?R2,t?0?222 36 / 57 ?u(x,y,0)?(x,y),x?y?R ? u?0,x2?y2?R2? 用分离变量法，令 u(x， y， t) = V(x， y)T(t)，代入方程整得 Vxx?VyyT? Va2T 由此得两个方程 T?(t)?a2?T(t)?0， Vxx?Vyy?V?0 其中，一阶常微分方程的通解为 T(t)?Aexp(?a2?t) 37 / 57 而另一个是圆域上 Laplace算子的固有值问题，在极坐标系下 ?2V1?V1?2V ?2?V?0,0?R,?2?2 ? ? ?V ?R?0, 再一次使用分离变量法，令 V(?,?)?P(?)?(?)，代入方程整理得 ?2P?P?2P P 由此得两个方程 38 / 57 ? ? ? ? ?0， ?2P?P?(?2?)P?0 第一个二阶常微分方 程的通解为 ?(?)?C1cos?C2sin? 引入周期边值条件 ?(2?)?(0)，得 cos2?1。所以固有值 ?n2， (n = 0， 1， 2， ?) 固有函数系为 ?0(?)? 1 39 / 57 a0， ?n(?)?ancosn?bnsinn?， (n = 1， 2， ?) 2 将固有值代入第二个常微分方程，得 ?2P?P?(?2?n2)P?0 令 x? ?， y(x)?P(x/)，则方程转化为标准的整数阶贝塞尔方程 2 dy2dy22 x?x?(x?n)y?0 2 dxdx ?utt?a2(uxx?uyy),x2?y2?R2,t?0 ?222?u(x,y,0)?(x,y),ut(x,y,0)?(x,y),x?y?R40 / 57 ?222u?0,x?y?R,t?0? 2 圆柱坐标系下解二维波动方程； 用分离变量法，令 u(x， y， t) = V(x， y)T(t)，代入方程整得 T?Vxx?Vyy ? 2 VaT 由此得两个方程 Vxx?Vyy?V?0， T?(t)?a2?T(t)?0 第一个是圆域上 Laplace算子的固有值问题，与热传导问题类似可得整数阶贝塞尔方程 d2ydy22x?x?(x?n)y?0 2 41 / 57 dxdx 2 3在圆柱坐标系下解三维拉普拉斯方程或亥姆霍夫方程。 圆域上亥姆霍兹方程边值问题 ?2V1?V1?2V ?2?k2V?0,0?R,0?2?2?2 ? ? ?V ?R?0,0?2? 用分离变量法，令 V(?,?)?P(?)?(?)，代入方程整理得 ?2P?P?k2?2P 42 / 57 P 由此得两个方程 ? ? ? ? ?0， ?2P?P?(k2?2?)P?0 第一个二阶常微分方程的通解为 ?(?)?C1cos?C2sin? 引入周期边值条件 ?(2?)?(0)，得 cos2?1。所以固有值 ?n2， (n = 0， 1， 2， ?) 固有函数系为 43 / 57 ?0(?)? 1 a0， ?n(?)?ancosn?bnsinn?， (n = 1， 2， ?) 2 将固有值代入第二个常微分方程，得 ?2P?P?(k2?2?n2)P?0 令 x?k?， y(x)?P(x/k)，则方程转化为标准的整数阶贝塞尔方程 d2ydy22x?x?(x?n)y?0 2 dxdx 2 二、贝 塞尔方程与欧拉方程比较 欧拉方程 44 / 57 d2ydyx?x?y?0 dxdx2 2 也是一类二阶线性变系数齐次常微分方程。该方程的二阶导数项和一阶导数项表达式与贝塞 尔方程相同。 不同的是，贝塞尔方程中函数项系数为变系数，欧拉方程中函数项系数为常数。 贝塞尔方程只能求出级数形式的解，即使是零阶贝塞尔方程 d2ydyx?x?x2y?0 2 dxdx 2 45 / 57 欧拉方程可以通过自变量变换成为线性常系数常微分方程。作变换： x?exp(t)，即 t?lnx，未知函数的导数为 dydydt1dy ? dxdtdxxdt d2y1dy1ddy1d2ydy ?2?()?2(2?) 2 dtxdxdtdtdxxxdx 代入微分方程，得 d2ydydy(2?)?y?0 dtdtdt 46 / 57 d2y 方程化简为： 2?y?0，该方程有初等函数表达式的通解。 dt 三、贝塞尔函数与伽马函数 1正整数阶贝塞尔函数 贝塞尔函数的阶数 v 不一定是整数。引入伽马函数使表达式简化，但有一丝神秘 (?1)mx Jv(x)?()v?2m m?0m!?(v?m?1)2 ? 当阶数为正整数时，贝塞尔函 数可写成 47 / 57 (?1)mx Jn(x)?()n?2m m?0m!(n?m)!2 ? 零阶贝塞尔函数 (?1)mx2m J0(x)?() 2 2m?0(m!) ? 还有一种是积分形式 Jv(x)? 48 / 57 1 2? ? 2? cos(v?xsin?)d? 2负整数阶贝塞尔函数 由于自变量为负值时，伽马函数的值趋于正无穷大，所以负整数阶贝塞尔函数 (?1)mx J?n(x)?()?n?2m m?0m!?(?n?m?1)2 ? 49 / 57 中对于 m (