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,第二章,都是无穷小.,第三节,机动目录上页下页返回结束,无穷小与无穷大,定义1.设函数在点,的某去心邻域内有定义,若,则称函数是当,时的无穷小量.,当,时，有,时,有,一、无穷小及其性质,性质1.有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,机动目录上页下页返回结束,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,(P38,题5(2),解答见课件第二节例,机动目录上页下页返回结束,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,性质2.有界变量与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,性质3.有限个无穷小的乘积是无穷小.,机动目录上页下页返回结束,例1.求,解:,利用性质2可知,说明:y=0是,的渐近线.,机动目录上页下页返回结束,定理1.,证:,取,当,故,机动目录上页下页返回结束,其中,设,则,时，有,其中,且有,设,则,当,时，有,即,第二章,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小趋于0的速度是多样的.,机动目录上页下页返回结束,二、无穷小的比较,定义2.,若,则称是比高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称是比低阶的无穷小;,则称是的同阶无穷小;,则称是关于的k阶无穷小;,则称是的等价无穷小,记作,机动目录上页下页返回结束,例如,当,时,又如，,故,时,是关于x的二阶无穷小,且,机动目录上页下页返回结束,例2.证明:当,时,证:,机动目录上页下页返回结束,定理2.设,且,存在,则,证:,例如,机动目录上页下页返回结束,设对同一变化过程,为无穷小,说明:,无穷小的性质,(1)和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若=o(),(2)和差代替规则:,例如,机动目录上页下页返回结束,例如,(3)因式代替规则:,界,则,例如,机动目录上页下页返回结束,例3.求,解:,原式,例4.求,解:,机动目录上页下页返回结束,三、无穷大,定义2.若任给M0,一切满足不等式,的x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将式改为,则记作,(正数X),记作,总存在,机动目录上页下页返回结束,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,机动目录上页下页返回结束,无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.,定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是的高阶无穷小,是的低阶无穷小,是的同阶无穷小,是的等价无穷小,是的k阶无穷小,
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