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文档简介

集合论与图论,刘峰2006.4,第六章树和割集内容树及其性质、生成树、割集第一节树及其性质1.1树和森林定义1连通且无圈的无向图称为无向树，简称树，记为T。定义2无圈的无向图称为无向森林，简称森林。1.2树的特征性质,定理1设G=(V,E)是一个(p,q)图，则下列命题等价：(1)G是树；(2)G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结；(3)G连通且p=q+1；(4)G无圈且p=q+1；(5)G无圈且任加一条边得到有唯一圈；(6)G连通且任去掉一条边得不连通图。推论1任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。推论2任一非平凡树都是偶图。推论3任一非平凡树都是2-色的。,1.3极小连通图定义2若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图，则称G为极小连通图。推论4图G是树当且仅当G是极小连通图。1.4树的中心定义3设G=(V，E)是连通图，vV，数e(v)=maxd(v,u)称为v在G中的偏心率。数r(G)=mine(v)称为G的半径。满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成的集合称为G的中心，G的中心记为C(G)。定理2每棵树的中心或含有一个顶点，或含有两个邻接的顶点。,1.5例题例1分别画出具有4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。例2设T是一棵树，T有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度顶点。则（1）求T有几个1度顶点？（2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。1.6关于树的问题的解题模式（等式与不等式）使用公式如下：（1）q=p-1（2）degv=2q（3）根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩解题关键例3设G是一棵树且(G)k，证明：G中至少有k个1度顶点。,1.7生成树（包含所有顶点的树）定义1设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图T=(V,F)是树，则称T是G的生成树。定义2设G=(V，E)是一个图，若G的一个生成子图T=(V，F)是一个森林，则称T是G
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