初二数学平行四边形的性质与判定

1 东方龙学校（初二 数学）专用教程 第五讲 平行四边形的性质与判定 一、【温故知新】 平行四边形的性质： 平行四边形的判定： 二、【重点难点】 和平行四边形性质应用有关的试题主要有以下几种类型：（1）求边长；（2）求周长；（3）求角的 度数以及角度之间的关系；（4）说理问题等 和平行四边形的判别有关的试题主要有以下几种类型：（1）直接说明一个四边形是平行四边形； （2）先说明一个四边形是平行四边形，然后借助平行四边形的性质解题；（3）和平行四边形的判别有 关的探索题 三、【授课过程】 【课前热身】 1如图，在ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分BAD 交 BC 边于点 E，则线段 BE，EC 的长度分别为 （ ） A2 和 3 B3 和 2 C4 和 1 D1 和 4 2如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBC，垂足为 E，AFCD，垂足为 F，EAF= 45，且 AE+AF=2 2，则平行四边形 ABCD 的周长是_ 3如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 边上的一点若再增加一个条件 ，就可推得 BE=DF 4如图，四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可） 【例题讲解】 例 1 （证明线段垂直）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 2BC，M 为 AB 的中点，求证：CMDM 评析：本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了 CM、DM 所在的三角形两锐角互 余，由三角形内角和定理得出DMC =90，从而得到结论这是证明两线段互相垂直的常用方法 例 2 （证明线段平行）如图，AB、CD 交于点 O，ACDB，AO = BO，E、F 分别为 OC、OD 的中 点，连结 AF、BE求证：AFBE 评析：学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法 例 3 （证明线段相等）如图，ABC 中，AB = AC，P 是 BC 上的一 点，PEAC，PFAB，分别交 AB、AC 于 E、F，请猜出线段 PE、 PF、AB 之间存在什么关系，并证明你的猜想 评析：在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对 猜想问题的常用解题思路 例 4 （求线段的长度）如图，在四边形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，A =120，B =60，C =150，求 AD 的长 A D C B A M D B C 例 1 图 A C O F B D E 例 2 图 D C B A 例 4 图 E B P C F A 例 3 图 2 评析：在判定 ADBC 后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律 可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线 【拓展】 例 5 （证明面积相等）如图 5，P 是梯形 ABCD 腰 DC 的中点求证：SPAB 2 1 S梯形ABCD 例 6 （证明线段和差）如图 6， P 是等边ABC 内一点，且 PDAB，PEBC，PFAC求证： PD+PE+PFAB 例 7 （证明线段倍半）如图 7，已知 ABAC，B 是 AD 的中点，E 是 AB 的中点求证：CD2CE 四、【课下作业】 1 如图 1，ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的一点，且 BEDF求证：AECF 简析 由于 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC，且 ADBC而 BEDF，所以 AFCE，又 AF CE，所以四边形AECF 是平行四边形，所以 AECF 2 如图 2，已知ABCD 中，点 E 是 AB 延长线上的一点，且 BEAB求证：ECBD 简析 由四边形 ABCD 是平行四边形可知 ABCD 且 ABCD，即 BECD，又 BEAB，所以 BE CD，所以四边形 BECD 是平行四边形所以 ECBD 3 如图 3，AD 是ABC 的中线证明：AD 2 1 (AB+AC) 简析 延长 AD 至 E，使 DEAD，连结 BE、CE因为 BDCD，DEAD，所以四边形 ABEC 为 平行四边形，所以 ABCE，AD 2 1 AE在ACE 中，因为 AECE+AC，即 AEAB+AC，所以 2AD 2 1 AE 2 1 (AB+AC)，即 AD 2 1 (AB+AC) 4 如图 4，已知 M、N 是ABCD 的对角线上两点，且 BMDN求证：MANMCN 图 6 C A E B D C D A P B 图 5 图 1 A F E C D B 图 2 E D C B A 图 3 D C B A 3 简析 连结 A