平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1 / 6 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 文 章来源 m 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 . 能用所学知识解决有关综合问题 . 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作，则 （ ）叫与的夹角 . 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是 ，则数量 |a|b|cos叫与的数量积，记作 ab ，即有ab=|a|b|cos， 2 / 6 （ ） .并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3向量的数量积的几何意义： 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积 . 4两个向量的数量积的性质： 设 a、 b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量 . 1ea=ae=|a|cos ；2abab=0 3当 a 与 b 同向时， ab=|a|b|；当 a 与 b反 向 时 ， ab=|a|b|. 特 别 的aa=|a|2 或 4cos=； 5|ab|a|b| 5平面向量数量积的运算律 交换律： ab=ba 数乘结合律： (a)b=(ab)=a(b) 分配律： (a+b)c=ac+bc 二、讲解新课： 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，试用和的坐标表示 . 设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么， 所以 又，所以 3 / 6 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 .即 2.平面内两点间的距离公式 一、设，则或 . （ 2）如果表示向量的有 向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么 (平面内两点间的距离公式 ) 二、向量垂直的判定 设，则 三、两向量夹角的余弦（） cos= 四、讲解范例： 五、设 a=(5， 7)， b=(6， 4)，求 ab 及 a、 b 间的夹角 ( 精确到 1o) 例 2 已知 A(1， 2)， B(2， 3)， c(2， 5)，试判断 ABc的形状，并给出证明 . 例 3 已知 a=(3， 1)， b=(1， 2)，求满足 xa=9与 xb=4 的向量 x. 解：设 x=(t， s)， 由 x=(2 ， 3) 例 4 已知 a（，）， b（，），则 a 与 b 的夹角是多少 ? 分析：为求 a与 b夹角，需先求 ab及 a 4 / 6 b，再结合夹角 的范围确定其值 . 解：由 a（，）， b（，） 有 ab（）， a， b 记 a 与 b 的夹角为 ，则 又 ， 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的 确定 . 例 5 如图，以原点和 A(5， 2)为顶点作等腰直角 oAB ，使B=90，求点 B 和向量的坐标 . 解：设 B 点坐标 (x， y)，则 =(x， y)， =(x5， y2) x(x5)+y(y2)=0 即：x2+y25x2y=0 又 |=|x2+y2=(x5)2+(y2)2 即：10x+4y=29 由 B 点坐标或； =或 例 6 在 ABc 中， =(2， 3)， =(1， k)，且 ABc 的一个内角为直角， 求 k 值 . 解：当 A=90时， =0， 21+3k=0k= 当 B=90时， =0， =(12，k3)=(1， k3) 5 / 6 2(1)+3(k3)=0k= 当 c=90 时， =0 ，1+k(k3)=0 k= 六、课堂练习： 1.若 a=(-4， 3)， b=(5， 6)，则 3|a| ab（） 2.已知 A(1， 2)， B(2， 3)， c(-2， 5)，则 ABc 为（） A.直角三角形 B.锐角三角形 c.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知 a=(4， 3)，向量 b 是垂直 a 的单位向量，则 b 等于（） A.或 B.或 c.或 D.或 =(2， 3)， b=(-2， 4)，则 (a+b)(a-b)=. 5.已知 A(3， 2)， B(-1， -1)，若点 P(x， -)在线段 AB 的中垂线上，则 x=. 6.已知 A(1，