平面向量的数量积及运算律（1）

1 / 8 平面向量的数量积及运算律（ 1） 平面向量的数量积及运算律（ 1） 教学目的： 1 掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4 掌握向量垂直的条件 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后 便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的 5 个重要性质；平面向量数量积的运算律 教学过程： 一、复习引入： 2 / 8 1向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使 = 2平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1 ， 2 使 =1+2 3平面向量的坐标表示 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 把叫做向量的（直角）坐标，记作 4平面向量的坐标运算 若， 则， 若，则 5 () 的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6线段的定比分点及 P1,P2是直线 l 上的两点， P 是 l 上不同于 P1,P2的任一点，存在实数 ， 使 = ， 叫做点 P 分所成的比，有三种情况： 0( 内分 )( 外分 )0( -1)( 外分 )0( -10) 7 定比分点坐标公式： 3 / 8 若点 P (x1,y1)， (x2,y2)， 为实数，且 ，则点P 的坐标为（），我们称 为点 P 分所成的比 8 点 P 的位置与 的范围的关系： 当 时，与同向共线，这时称点 P 为的内分点 当 ()时，与反向共线，这时称点 P 为的外分点 9 线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点 o，设， 可得 = 10力做的功： W=|cos， 是与的夹角 二、讲解新课： 1两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作，则 （ ）叫与的夹角 说明：（ 1）当 时，与同向； （ 2）当 时，与反向； （ 3）当 时，与垂直，记 ； （ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围 0180 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是 ，则数量 |cos叫与的数量积，4 / 8 记作 ，即有 =|cos， （ ）并规定与任何向量的数量积为 0 探究：两 个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （ 1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定 （ 2）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 ，而 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号 “” 在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用 “” 代替 （ 3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 ，且 =0，不能推出 =因为其中 cos有可能为 0 （ 4）已知实数 a、 b、 c(b0)，则 ab=bca=c 但是 = 如右图： =|cos=|oA| ，=|cos=|oA| =但 (5)在实数中，有 (aa)c=a(ac)，但是()() 显然， 这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线 5 / 8 3 “ 投影 ” 的概念：作图 定义： |cos叫做向量在方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 0；当 =0时投影为 |；当=180时投影为 | 4向量的数量积的几何意义： 数量积 等于的长度与在方向上投影 |os的乘积 5两个向量的数量积的性质： 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 1=|cos 2=0 3当与同向时， =|；当与反向时，=| 特别的 =|2 或 4os= 5| 三、讲解 范例： 例 1 判断正误，并简要说明理由 ； 0 ； ； 6 / 8 ； 若 ，则对任一非零有 ； ，则与中至少有一个为； 对任意向量，都有（ ）（ ）； 与是两个单位向量，则 解：上述 8 个命题中只有 正确； 对于 ：两个向量的数量积是一个实数，应有 ； 对于 ：应有 ； 对于 ：由数量积定义有 cos ，这里 是与的夹角，只有 或 时，才有 ； 对于 ：若非零向量、垂直，有 ； 对于 ：由 可知 可以都非零； 对于 ：若与共线，记 则 （ ） （ ） （ ）， （ ） （ ）（ ） （ ） 若与不共线，则 () （ ） 评述：这一类型题 ，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 例 2 已知，当 ， ， 与的夹角是 60 时，分别求 解： 当 时，若与同向，则它们的夹角 ， 7 / 8 cos0 361 18； 若与反向，则它们的夹角 180 ， cos180 36 （ -1） 18； 当 时，它们的夹角 90 ， ； 当与的夹角是 60 时，有 cos60 36 9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是 0 ，180 ，因此，当 时，有 0 或 180 两种可能 四、课堂练习： 五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记及备用资料： 1 概念辨析：正确理解向量夹角定义 对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如： 1 已知 ABc 中， ， ，求 对此题，有同学求解如下： 解：如图， ， ， 8 / 8 cos 58cos60 20 分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是 c 的补角 120 2 向量的数量积不满足结合律 分析：若有（ ）