高一函数总结

1 / 60 高一函数总结 函数复习主要知识点 一、函数的概念与表示 1、映射 映射：设 A、 B是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合 A到集合 B 的映射，记作 f： AB 。 注意点：对映射定义的理解。判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 定义域 对应法则 值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例 1、下列各对函数中，相同的是 A、 f(x)?lgx2,g(x)?2lgx B、 f(x)?lgC、 f(u)? 2 / 60 1?u1?u ,g(v)? ?v1?v x?1x?1 ,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1) 2x D、 f=x， f(x)? 例 2、 M?x|0?x?2,N?y|0?y?3给出下列四个图形，其中能表示从集合 M到集合 N的函数关系的有 A、 0个 B、 1个 C、 2 个 D、 3个 二、函数的解析式与定义域 3 / 60 1、求函数定义域的主要依据： 分式的分母不为零； 偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； 对数函数的真数必须大于零； 指数函数和对数函 数的底数必须大于零且不等于 1； 例 .函数 y? 2 求函数定义域的两个难点问题 例 3： 已知 f(x)的定义域是 -2,5,求 f(2x+3)的定义域。 的 )定义域是 -1,3,求 f()x的定义域。 已知 f(2x 1 _ 例 4：设 f(x)?lg2?xx2?x ，则 f()?f(2 2 4 / 60 x )的定义域为 _ 变式练习： f(2?x)?4?x2 ，求 f(x)的定义域。 三、函数的值域 1 求函数值域的方法 直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； 换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 xR 的分式； 分离常数：适合分子分母皆为一次式； 5 / 60 单调性法：利用函数的单调性求值域； 图象法：二次函数必画草图求其值域； 利用对号函数 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例： 1 y?1x2 ?2x?3 2 f(x)?2? 3 y?x?2x?1 4. y? 6 / 60 3xx2 ?4 5. y?x2 ?1 6. (分离常数法 ) y? xx2 ?1 x?1 y? 3x?12x?1 (?2?x?4) 7. (单调性 )y?x?32x 7 / 60 (x?1,3) 8. y? y? 结合分子 /分母有理化的数学方法 ) 9 (图象法 )y?3?2x?x2(?1?x?2) 10 (对号函数 )y?2x? 11. (几何意义 )y?x?2?x?1 8x (x?4) 四函数的奇偶性 1定义 : 设 y=f(x)， xA ，如果对于任意 xA ，都有8 / 60 f(?x)?f(x)，则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意 xA ，都有 f(?x)?f(x)，则称 y=f(x)为奇函数。 2.性质： y=f(x) 是偶函数 ?y=f(x)的图象关于 y 轴对称 , y=f(x)是奇函数 ?y=f(x)的图象关于原点对称 , 若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 奇 =偶 偶 偶 =偶 奇 偶 =奇 两函数的定义域D1 ， D2， D1D2 要关于原点对称 3奇偶性的判断 看定义域是否关于原点对称 看 f(x)与 f(-x)的关系 ? 例： 1 已知函数 f(x)是定义在 (?,?)上的偶函数 . 当 x?(?,0)时， f(x)?x?x4，则当 x?(0,?)时， f(x)? 2 已知定义域为 R 的函数 f(x)? 9 / 60 ?2?b2 x?1x ?a 是奇函数 。 22 求 a,b 的值；若对任意的 t?R，不等式 f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求 k的取值范围； 3 已知 f(x) 在 上 有 定 义 ， 且 满 足 x,y?(?1,1) 有f(x)?f(y)?f(证明： f(x)在上为奇函数； 4 若奇函数 f(x)(x?R)满足 f(2)?1， f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?_ x?y1?xy 10 / 60 ), 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义： 2 设 y?f?g?x?是定义在 M上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y?f?g?x?在 M上是减函数；若 f(x) 与 g(x)的单调性相同，则 y?f?g?x?在 M上是增函数。 ? 例： 1 判断函数 f(x)?x3(x?R)的单调性。 2 函数 f(x)对任意的 m,n?R，都有 f(m?n)?f(m)?f(n)?1，并且当 x?0 时， f(x)?1， 求证： f(x)在 R上是增函数； 若 f(3)?4，解不等式 f(a2?a?5)?2 3 函数 y?log ?(3a?1)x?4a,x?1 4(高考真题 )已知 f(x)?是 (?,?)上的减函数，那么 a的取11 / 60 值范围是 logax,x?1? (6?x?2x)的单调增区间是 _ 2 (0,1) (0,) ,) 3 73 111 ,1) 7 1 12 / 60 六函数的周期性： 1若 f(x?T)?f(x)(T?0)?f(x)是周期函数， T是它的一个周期。 说明： nT 也是 f(x)的周期。若 f(x?a)?f(x?b)，则 f(x)是周期函数， b?a是它的一个周期 ? 对照记忆： f(x?a)?f(x?a)说明： f(a?x)?f(a?x)说明： 2若 f(x?a)?f(x)； f(x?a)? 1f(x) ； f(x?a)? 1f(x) ；则 f(x)周期是 2a 13 / 60 ? 1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),则 ,f(6)的值为 (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)2 2 定义在 R 上的偶函数 f(x)，满足 f(2?x)?f(2?x，在区间 -2,0上单调递减， 设 a?f(?),b?fc?f(5)，则 a,b,c 的大小顺序为 _ 1?f(x)1?f(x) 3 已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且 f(x?2)? 14 / 60 ,若 f(1)?2?3,则 f (XX)= . 4 已知 f(x)是 (-?， ?)上的奇函数， f(2?x)?f(x)，当 0?x?1时， f(x)=x，则 f()=_ 5 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足f(2?x)?f(x)，当 x?0,2时 f(x)?2x?x2 求证： f(x)是周期函数； 当 x?2,4时，求 f(x)的解析式； 计算： 七、反函数 1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 解 (2)换 (3)写定义域。 3、关于反函数的性质 y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称； y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性； 已知 y=f(x)，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a，从中求出 x，即是 f-1(a)； f-1f(x)=x; 15 / 60 若点 (a,b)在 y=f(x)的图象上，则 (b,a)在 y=f-1(x)的图象上； -1 y=f(x)的图象与其反函数 y=f(x)的图象的交点一定在直线y=x上 ; 例：设函数 y?f(x)的反函数为 y?f 1 1 ?1 (x)，且 y?f(2x?1)的图像过点 ( 12 ,1)，则 y?f ?1 16 / 60 (x)的图像必过 (,1) (1,) (1,0) (0,1) 2 2 八二次函数 (涉及二次函数问题必画图分析 ) 1二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的图象是一条抛物线，对称轴 x2二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程 ax 2 ? ?b2a ，顶点坐标 (? b2a 17 / 60 , 4ac?b 4a 2 ) ?bx?c?0(a?0) 的 根 为 二 次 函 数f(x)=ax+bx+c(a0)y?0 的 x的取值。 2 2 一元二次不等式 ax?bx?c?0(?0)的解集 (a0) 函数的基本性质 18 / 60 一、函数的单调性 函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。 定义： 定理 1： x1?x2?a,b?,x1?x2 那么 (x1?x2)?f(x1)?f(x2)?0? (x1?x2)?f(x1)?f(x2)?0?f(x1)?f(x2)?0?f(x) 在 ?a,b? 上是增函数； x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在 ?a,b?上是减函数 . x1?x2 定理 2： 若 x?a,b?，那么 f?x?0?f(x)在 ?a,b?上是增函数； f?x?0?f(x)在 ?a,b?上是减函数 . 1.函数单调性的判断 (证明 ) 19 / 60 (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 (3)导数法 2.复合函数的单调性的判定 对于函数 y?f(u)和 u?g(x)，如果函数 u?g(x)在区间 (a,b)上具有单调性，当 x?a,b?时 u?m,n?，且函数 y?f(u)在区间 (m,n)上也具有单调性，则复合函数 y?f(g(x)在区间 ?a,b?具有单调性。 3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f(x)和 g(x)，若它们的定义域分别为 I和 J，且 I?J?： (1)当 f(x)和 g(x)具有相同的增减性时， F1(x)?f(x)?g(x) 的增减性与 f(x)相同， F2(x)?f(x)?g(x) 、 F3(x)?f(x)?g(x)、 F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性不能确定； g(x) 20 / 60 (2)当 f(x)和 g(x)具有相异的增减性时，我们假设 f(x)为增函数， g(x)为减函数，那么： F1(x)?f(x)?g(x) 的增减性不能确定； F2(x)?f(x)?g(x) 、 F3(x)?f(x)?g(x) 、F4(x)?f(x)g(x)(g(x)?0) 为增函数，F5(x)?(f(x)?0)g(x)f(x) 为减函数。 4.奇偶函数的单调性 奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 二、函数的对称性 函数的对称性是函数的一个基本性质 , 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中 ,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决 ,对称关系同时还充分体现数学之美。 21 / 60 1.函数 y?f(x)的图象的对称性 : 定理 1: 函数 y?f(x)的图象关于直 x?a?b 对称 2 ?f(a?x)?f(b?x)?f(a?b?x)?f(x) 特殊的有： 函数 y?f(x) 的 图 象 关 于 直 线 x?a 对称 ?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)。 函数 y?f(x)的图象关于 y轴对称 ?f(?x)?f(x)。 函数 y?f(x?a)是偶函数 ?f(x)关于 x?a对称。 定理 2：函数 y?f(x)的图象关于点 (a,b)对称 ?f(x)?2b?f(2a?x)?f(a?x)?f(a?x)?2b 特殊的有： 函数 y?f(x)的图象关于点 (a,0)对称 ?f(x)?f(2a?x)。 22 / 60 函数 y?f(x)的图象关于原点对称 ?f(?x)?f(x)。 函数 y?f(x?a)是奇函数 ?f(x)关于点 ?a,0? 对称。 定理 3： 若函数 y=f (x)的图像有两条铅直对称轴 x=a 和 x=b(a 不等于 b),那么 f(x)为周期函数且 2|a-b|是它的一个周期。 若函数 y=f (x)的图像有一个对称中心 M()和一条铅直对称轴 x=a,那么 f(x)为周期函数且 4|a-m|为它的一个周期。 若函数 y = f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称，则 y = f (x)是周期函数，且 2| a b|是其一个周期。 若一个函数的反函数是它本身 ,那么它的图像关于直线y=x对称。 2.两个函数图象的对称性 : 23 / 60 函数 y?f(x)与函数 y?f(?x)的图象关于直线 x?0(即 y 轴 )对称 . 函数 y?f(mx?a)与函数 y?f(b?mx)的图象关于直线 x?a?b对称 . 2m 特殊地 : y?f(x?a)与函数 y?f(a?x)的图象关于直线 x?a对称 函数 y?f(x)的图象关于直线 x?a 对称的解析式为y?f(2a?x) 函数 y?f(x)的图象关于点 (a,0)对称的解析式为y?f(2a?x) 函数 y = f (x)与 a x = f (a y)的图像关于直线 x +y = a 成轴对称。 函数 y = f (x)与 x a = f (y + a)的图像关于直线 x y = a 成轴对称。 函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图像关于直线 x = y 成轴对称。 24 / 60 3奇偶函数性质 对于两个具有奇偶性的函数 f(x)和 g(x)，若它们的定义域分别为 I 和 J，且 I?J?： 满足定义式子 f(?x)?f(x)f(x)?f(?x)?0 在原 点有定义的奇函数有 f(0)?0 (3)当 f(x)和 g(x)具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： 函数 F1(x)?f(x)?g(x)、 F3(x)?f(x)?g(x)也为奇函数； F2(x)?f(x)?g(x) 、 F4(x)? 奇函数 奇函数 =奇函数， 偶函数 偶函数 =偶函数， 两个偶函数之和、差、积、商为偶函数 25 / 60 奇函数 奇函数 =偶 函数， (4)当 f(x)和 g(x)具有相异的奇偶性时，那么： 偶函数 偶函数 =偶函数， 奇函数 偶 函 数 = 奇函数 . F1(x)?f(x)?g(x) 、F3(x)?f(x)?g(x)的奇偶性不能确定； F2(x)?f(x)?g(x) 、F4(x)? f(x)(g(x)?0) 为 偶 函 数 ； g(x) 简 单 地 说 ： f(x)g(x)(g(x)?0)、 F5(x)?(f(x)?0)为奇函数。 g(x)f(x) 任意函数 f(x)均可表示成一个奇函数 g(x)?1?f(x)?f(?x)?与 一个偶函数 h(x)?1?f(x)?f(?x)?的和。 22 一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数 图形的对称性 关于 y 轴对称的函数关于原点 ?0,0?对称的函数 若 f(x)是偶函数，则必有 f(ax?b)?f?(ax?b)? 若 f(x)是奇函数，则必有 f(ax?b)?f?(ax?b)? 26 / 60 若 f(ax?b)为偶函数，则必有 f(ax?b)?f(?ax?b) 若 f(ax?b)是奇函数，则必有 f(ax?b)?f(?ax?b) 常见的奇偶函数 三、函数的周期性 函数的周期性反映了函数的重复 性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。 1.周期性的定义 对于函数 y?f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有 f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数 y?f(x)叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小 的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数 T是函数 f(x)的周期，那么 ?T、 nT也是函数 f(x)的周期。 * 2. 函数的周期性的主要结论： 27 / 60 结论 1：如果 f(x?a)?f(x?b)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?a?b 结论 2：如果 f(x?a)?f(x?b)， 那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?2a?b 结论 3：如果定义在 R上的函数 f(x)有两条对称轴 x?a、 x?b对称，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?2a?b 结论 4：如果偶函数 f(x)的图像关于直线 x?a对称，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?2a 结论 5：如果奇函数 f(x)的图像关于直线 x?a对称，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?4a 结论 6：如果函数同时关于两点 ?a,c?、 ?b,c?成中心对称，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?2a?b 结论 7：如果奇函数 f(x)关于点 ?a,c?成中心对称，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?2a 结论 8：如果函数 f(x)的图像关于点 ?a,c?成中心对称，且关于直线 x?b成 28 / 60 轴对称，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?4a?b 结论 9：如果 f(x?p)?结论 10：如果 f(x?11 或 f(x?p)?，那么 f(x) 是 周 期 函 数 ， 其 中 一 个 周 期 T?2p f(x)f(x)p1?f(x)p1?f(x)?或 f(x?)?，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 21?f(x)21?f(x) T?2p 结论 11：如果 f(x?p)?f(x)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T?2p 例 1：定义在 R 上的非常数函数满足： f (10+x)为偶函数，且 f (5 x) = f (5+x),则 f (x)一定是 (A)是偶函数，也是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 解： f (10+x) 为偶函数， f (10+x) = f (10 x). 29 / 60 f (x) 有两条对称轴 x = 5与 x =10 ，因此 f (x)是以 10为其一个周期的周期函数， x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴，因此 f (x)还是一个偶函数。 故选 (A) 例 6.求证 :若 f?x?x?R?为奇函数，则方程 f?x?=0若有根一定为奇数个。 证 :? f?x?为奇函数 ? f?0?-f?0?=f?0? ?2f?0?=0 即 x=0是方程 f?x?=0的根 由奇数定义得 f?x1?f?x1?=0 若 x1 是 f?x?=0 的根，即f?x1?=0 ?x1也是方程的根 即方程的根除 x=0 外成对出现。 ?方程根为奇数个。 30 / 60 例 2：设定义域为 R 的函数 y = f (x)、 y = g(x)都有反函数，并且 f(x 1)和 g(x 2)函数的图像关于直线 y = x 对称，若 g(5) = 1999，那么 f(4)=。 1999； 2000； 2001； 2002。 -1 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， xA 其中，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时 列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； 31 / 60 (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . ? ； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x为横坐标，函数值 y为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标 (x， y)均满 足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画32 / 60 法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f ： A?B” 对于映射 f： AB 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 33 / 60 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA), 则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、 g 的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2， 当 x1 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x， xD ，且 x 2 作差 f(x) f(x)； 3 变形； 34 / 60 4 定号； 5 下结论 1 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 35 / 60 复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律： “ 同增异减 ” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性 偶 函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数 的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，36 / 60 则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 注意：函数 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函 数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 37 / 60 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递增，在区间 b， c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递减，在区间 b， c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b处有最小值 f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： y? y?2.设函数 f(x)的定义域为 0， 1，则函数 f(x2)的定义域为 _ _ 3.若函数 f(x?1)的定义域为 ?2， 3，则函数 f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x?1) ?4. 函数 ，若 f(x)?3 ，则 x= 38 / 60 f(x)?x2(?1?x?2) ?2x(x?2)? 5.求下列函数的值域： y?x2?2x?3 (x?R) y?x2?2x?3 x?1,2 (3) y?x y6.已知函数 f(x?1)?x2?4x，求函数 7.已知函数 f(x)， f(2x?1)的解析式 f(x)满足 2f(x)?f(?x)?3x?4，则 f(x)= 。 8.设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x?0,?)时 39 / 60 ,f(x)?x(1,则当 x?(?,0)时 f(x)在 R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： y?x2?2x?3 yf(x)= y?x2?6x?1 10.判断函数 y?x3?1 的单调性并证明你的结论 11.设函数 f(x)? 1?x2判断它的奇偶性并且求证： 1 f()?f(x) 2 1?xx 第三章 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的 运算 40 / 60 1根式的概念：一般地，如果 x?a，那么 x 叫做 a的 n 次方根，其中 n1，且 nN * n ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当 n 是奇数时， an?a，当 n 是偶数时， an?|a|?2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ?a(a?0) ?a(a?0) 41 / 60 a?a(a?0,m,n?N,n?1)， a mn m* ? mn ? 1a mn ? 1 am 42 / 60 (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数 幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 a a?a r r r?s (a?0,r,s?R)； rsrs(a)?a r r s (a?0,r,s?R)； 43 / 60 (ab)?aa 指数函数及其性质 (a?0,r,s?R) x 1、指数函数的概念：一般地，函数 y?a(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a)； 若 x?0，则 f(x)?1； f(x)取遍所有正数当且仅当 x?R； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 44 / 60 x 1对数的概念：一般地，如果 a?N(a?0,a?1)，那么数 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作： x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 lnN ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 45 / 60 ab N? 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(M N)?logaM logaN； M ?logaM logaN； N 3 logaMn?nlogaM (n?R) 2 loga 注意：换底公式 一次函数 一、定义与定义式： 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： 46 / 60 y=kx+b 则此时称 y是 x的一次函数。 特别地，当 b=0时， y是 x 的正比例函数。 即： y=kx 二、一次函数的性质： 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即： y=kx+b 2.当 x=0 时， b为函数在 y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下 3个步骤 列表； 47 / 60 描点； 连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 2性质：在一次函数上的任意一点 P，都满足等式： y=kx+b。一次函数与 y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。 3 k， b与函数图像所在象限： 当 k 0时，直线必通过一、三象限， y随 x 的增大而增大； 当 k 0时，直线必通过二、四象限， y随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 当 b=0时，直线通过原点 当 b 0时，直线必通过三、四象限。 48 / 60 特别地，当 b=O时，直线通过原点 O 表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k 0时，直线只通过一、三象限；当 k 0 时，直线只通过二、四象限。 四、确 定一次函数的表达式： 已知点 A； B，请确定过点 A、 B的一次函数的表达式。 设一次函数的表达式为 y=kx+b。 因为在一次函数上的任意一点 P，都满足等式 y=kx+b。所以可 以列出 2个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b 解这个二元一次方程，得到 k， b的值。 最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间 t一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。 49 / 60 2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft。 六、常用公式： 1.求函数图像的 k 值： 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系： y=ax +bx+c 则称 y 为 x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 50 / 60 一般式： y=ax +bx+c 顶点式： y=a(x-h) +k 抛物线的 顶点 P 交点式： y=a(x-x?)(x-x ?) 仅限于与 x轴有交点 A 和 B的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系 : h=-b/2a k=(4ac-b )/4a x?,x?=(-bb -4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 51 / 60 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， (4ac-b )/4a ) 当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 当 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y轴左； 52 / 60 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y轴右。 5.常数项 c决定抛物线与 y轴交点。 抛物线与 y轴交于 6.抛物线与 x轴交点个数 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴有 2个交点。 = b -4ac=0时，抛物线与 x轴有 1个交点。 变量与函数 变量和常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。 函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量， y是 x的函数。如果当 x?a时 y?b，53 / 60 那么 b叫做当自变量的值为 a时的函数值。 自变量取值范围的确定方法 1、 自变量的取值范围必须使解析式有意义。 当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为 0 的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于 0 的所有实数。 2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。 函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表； 54 / 60 第二步：描点； 第三步：连线。 函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之