高一基本初等函数总结

1 / 58 高一基本初等函数总结 高一必修一函数知识点 指数函数 根式的概念 n 叫做根指数， a叫做被开方数 当 n为奇数时， a 为任意实数；当 n为偶数时， a?0 根式的性质： ?a；当 n ?a；当 n为偶数时， n?a (a?0) ?|a|? 2 / 58 ?a (a?0) ? 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是： a m n ?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0的正分数指数幂等于 0 ? mn 正数的负分数指数幂的意义是： a 1m?()n?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0 a 的负分数指数幂没有意 3 / 58 义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 指数函数 例：比较 对数函数 对数的定义 若 a x ?N(a?0,且 a?1)，则 x叫做以 a为底 N的对数，记作x ?logaN，其中 a叫做底数， N 叫做真数 对数式与指数式的互化： x 4 / 58 ?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0) 常用对数与自然对数：常用对数： lgN，即 log10 对数的运算性质 如果 a?0,a?1,M N；自然对数： lnN，即 logeN a?1， logaab?b ?0,N?0，那么 加法： logaM?logaN?loga(MN) 减法：logaM?logaN?loga M N 数乘： nloga n 5 / 58 M?logaM(n?R) a n logaN ?N logbNn(b?0,且 b?1) logabM?logaM(b?0,n?R) 换底公式： logaN? logbab 对数函数 (6) 反函数的求法 将 x y?f(x)中反解出 x?f?1(y)； ?f?1(y)改写成 y?f?1(x)，并注明反函数的定义域 6 / 58 反函数的性质 原函数 y?f(x)与反函数 y?f?1(x)y?1 函数 y?f (x)的定义域、值域分别是其反函数 y?f?1(x)的值域、定义域 幂函数 幂函数的图象 (需要知道 x=,1,2,3与 y=的图像 ) 幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 二次函数 7 / 58 二次函数解析式的三种形式 一般式： 顶点式： 两根式 ： 求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求二次函数图象的性质 二次函数 f(x)更方便 f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标是 。 在二次函数当 ?b 2 f(x)?ax2?bx?c(a?0)中 8 / 58 ?4ac?0时，图象与 x轴有 个交点 当 时，图象与 x 轴有 1 个交点 当 时，图象与 x轴有没有交点 当 (?,? f(x)min= ； 当 (?,?f(x)max= 一元二次方程 ax 2 bbb上递减，在 ?,?)上递增，当 x?2a2a2abbb上递增，在 ?,?)上递减，当 x?2a2a2a 时， 时， ?bx?c?0(a?0)根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知9 / 58 识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程 ax 2 ?bx?c?0(a?0)的两实根为 x1,x2，且 x1?x2令f(x)?ax2?bx?c，从以下四个方 ? 面来分析此类问题： 开口方向： a 对称轴位置： xk x1x2 ? b 2a 判别式： ? 端点函数值符号 x1x2 k ? 10 / 58 x1 k x2 ? af(k) 0 k1 x1x2 k2 ? 有且仅有一个根 x1满足 k1 x1 k2 ? f(k1)f(k2)?0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0这两种情况是否也符合 k1 x1 k2p1 x2 p2 ? 此结论可直接由 推出 高一必 修一函数知识点 指数函数 根式的概念 n 叫做根指数， a叫做被开方数 ?0 11 / 58 当 n为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时，缘由： |X|符号所致， a 根式的性质： n ?a；当 n ?a；当 n为偶数时， ?a (a?0) ?|a|? ?a (a?0) ? 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是： a 12 / 58 m n ?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0的正分数指数幂等于 0 ? mn 正数的负分数指数幂的意义是： a 1m?()n?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0 a 的负分数指数幂没有意 义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 分数指数幂的运算性质 a r 13 / 58 ?as?ar?s(a?0,r,s?R) (ar)s?ars( a?0,r,s?R) (ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R) 指数函数 例：比较 对数函数 对数的定义 若 a x ?N(a?0,且 a?1)，则 x叫做以 a为底 N的对数，记作x ?logaN，其中 a叫做底数， N 叫做真数 14 / 58 对数式与指数式的互化： x?loga N?ax?N(a?0,a?1,N?0) 常用对数与自然对数：常用对数： lgN，即 log10 对 数的运算性质 如果 a N；自然对数： lnN ，即 loge N a?1， logaab?b ?0,a?1,M?0,N?0，那么 加法： logaM?logaN?loga(MN) 减法：logaM?logaN?loga M 15 / 58 N 数乘： nlogaM?logaM(n?R) a n n logaN ?N logbNn(b?0,且 b?1) logabM?logaM(b?0,n?R) 换底公式： logaN? logbab 对数函数 16 / 58 (6) 反函数的求法 将 x y?f(x)中反解出 x?f?1(y)； ?f?1(y)改写成 y?f?1(x)，并注明反函数的定义域 反函数的性质 原函数 y?f(x)与反函数 y?f?1(x)y?1 函数 y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数 y?f?1(x)的值域、定义域 幂函数 幂函数的图象 (需要知道 x=错误！未找到引用源。 ,1,2,3与y=错误！未找到引用源。的图像 ) 17 / 58 幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 二次函数 二次函数解析式的三种形式 一般式： 顶点式： 两根式： 求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或 与最大值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求二次函数图象的性质 二次函数 f(x)更方便 f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程18 / 58 为 ，顶点坐标是 。 f(x)?ax2?bx?c(a?0)中 在二次函数 当 ? ?b2?4ac?0 时，图象与 x轴有 个交点 当 时，图象与 x 轴有 1 个交点 当 时，图象与 x轴有没有交点 当 (?,? f(x)min= ； 当 时 ， 抛 物 线 开 口 向 下 ， 函 数 在(?,?f(x)max= 一元二次方程 ax 2 bbb上递 减，在 ?,?)上递增，当 x?2a2a2abbb上递增，在 ?,?)上递减，当 x?2a2a2a 19 / 58 时， 时， ?bx?c?0(a?0)根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程 ax 2 ?bx?c?0(a?0)的两实根为 x1,x2，且 x1?x2令f(x)?ax2?bx?c，从以下四个方 ?面来分析此类问题： 开口方向： a 对称轴位置： xk x1x2 ? b 20 / 58 2a 判别式： ? 端点函数值符号 x1x2 k ? x 1 k x2 ? af(k) 0 k1 x1x2 k2 ? 有且仅有一个根 x1满足 k1 x1 k2 ? f(k1)f(k2)?0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0这两种情况是否也符合 一元二次方程根与系数关系 知识要 点： 1. 一元二次方程 ax+bx+c=0(a、 b、 c 为常数， a0) 的求根21 / 58 公式： 2. 如果方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根是 x1、 x2，那么 2 高中数学必修 1知识点总结 第二章 基本初等函数 指数函数 指数与指数幂的运算 根式的概念 如果 x n ?a,a?R,x?R,n?1，且 n?N?，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时， a的 n 表示；当 n是偶数时，正数 a的正的 n 22 / 58 n 次方根用符号 0的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n次方根 n 叫做根指数， a叫做被开方 数当 n 为奇数时， a为任意实数；当 n 为偶数时， a?0 根式的性质： ?a；当 n ?a；当 n为偶数时， n?a (a?0) ?|a|? ?a (a?0) ? 23 / 58 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是： a ? m n mn ?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0的正分数指数幂等于 0 正数的负分数 指数幂的意义是： a 1m?()n?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底 a 数取倒数，指数取相 反数 分数指数幂的运算性质 a 24 / 58 r ?as?ar?s(a?0,r,s?R) (ar)s?ars(a?0,r,s?R) (ab)r?arbr(a?0,b?0,r ?R) 指数函数及其性质 指数函数 对数函数 【】对数与对数运算 对数的定义 若 a x ?N(a?0,且 a?1)，则 x叫做以 a为底 N的对数，记作x 25 / 58 ?logaN，其中 a叫做底数， N 叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化： x?loga几个重要的对数恒等式 : loga1?0， loga N?ax?N(a?0,a?1,N?0) a?1， logaab?b N；自然对数： lnN ，即 loge N 常用对数与自然对数：常用对数： lgN，即 log10 对数的运算性质 如果 a ?0,a?1,M?0,N?0，那么 加法： loga 26 / 58 M?logaN?loga(MN) 减法： logaM?logaN?loga n M N 数乘： nlogaM?logaM(n?R) a n logaN ?N logbNn(b?0,且 b?1) logabM?logaM(b?0,n?R) 换底公式： logaN? logbab 27 / 58 【】对数函数及其性质 对数函数 (6)反函数的概念 设函数 y?f(x)的定义域为 A，值域为 C，从式子 y?f(x)中解出 x，得式子 x?(y)如果对于 y在 C中 的任何一个值，通过式子 x数 x ?(y)， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x?(y)表示 x 是 y 的函数，函 ?(y)叫做函数 y?f(x)的反函数，记作 x?f?1(y)，习惯上改写成 y?f?1(x) 反函数的求法 28 / 58 确定反函数的定义域，即原函数的值域； 从原函数式 将 x y?f(x)中反解出 x?f?1(y)； ?f?1(y)改写成 y?f?1(x)，并注明反函数的定义域 反函数的性质 原函数 函数 y?f(x)与反函数 y?f?1(x)的图象关于直线 y?x对称 y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数 y?f?1(x)的值域、定义域 y?f(x)的图象上，则 P(b,a)在反函数 y?f?1(x)的图象上 若 P(a,b)在原函数 一般地，函数 y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数 29 / 58 幂函数 幂函数的定义 一般地，函数 y?x?叫做幂函数，其中 x 为自变量， ?是常数 幂函数的图象 幂函数的性质 图象分布：幂函数 图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 (0,?)都有定义，并且图象都通过点 (1,1) 单调性：如果 ? ?0，则幂函数的图象过原点，并且在 0,?)上为增函数如果 ?0，则幂函数的图象在 (0,?) 30 / 58 y 轴 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x轴与 奇偶性：当 ?为奇数时，幂函数为奇函数，当 ?为偶数时，幂函数为偶函数当 ? q p ? qp q ， 若则 31 / 58 p 为奇数 q 为奇数时，则 y?x 是奇函数，若 p 为奇数 q 为偶数时，则 y?xp为偶数 q为奇数时， y?x q p 是非奇非偶函数 图象特征：幂函数在直线 y?x?,x?(0,?)，当 ?1时，若 0?x?1，其图象在直线 y?x下方，若 x?1，其图象 y?x上方，当 ?1时，若 0?x?1，其图象在直线 y?x上方，若x?1，其图象在直线 y?x下方 32 / 58 补充知识二次函数 二次函数解析式的三种形式 一般式： 两根式： f(x)?ax2?bx?c(a?0) 顶 点 式 ： f(x)?a(x?h)2?k(a?0) f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0) 求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求二次函数图象的性质 f(x)更方便 二次函数 b4ac?b2b ) f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x?,顶点坐标是 (?, 33 / 58 2a2a4a 2 当 a ?0时，抛物线开口向上，函 数在 (?,? bbb 上递减，在 ?,?)上递增，当 x?2a2a2a 时， 4ac?b2 fmin(x)? 4a ；当 a?0时，抛物线开口向下，函数在 (?,? 34 / 58 bb 上递增，在 ?,?)上递减，当 2a2a 4ac?b2b x?时， fmax(x)? 2a4a 二次函数 f(x)?ax2?bx?c(a?0)当 ?b2?4ac?0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|? 一元二次方程 ax 35 / 58 2 |a| ?bx?c?0(a?0)根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程 ax 2 ?bx?c?0(a?0)的两实根为 x1,x2，且 x1?x2令f(x)?ax2?bx?c，从以下四个方 ? b 36 / 58 判别式： ? 端点函数值符号 2a 面来分析此类问题： 开口方向： a 对称轴位置： xk x1x2 ? 对数函数 【】对数与对数运算 对数的定义 若 a x ?N(a?0,且 a?1)，则 x叫做以 a为底 N的对数，记作x ?logaN，其中 a叫做底数， N 叫做真数 37 / 58 负数和零没有对数 对 数式与指数式的互化： x ?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0) 几个重要的对数恒等式 : loga1?0， logaa?1， logaab?b N；自然对数： lnN ，即 loge 常用对数与自然对数：常用对数： lgN，即 log10 ） e? 对数的运算性质 如果 a?0,a?1,M 加法： loga N 对数函数 (6)反函数的概念 38 / 58 设函数果对于 y?f(x)的定义域为 A，值域为 C，从式子 y?f(x)中解出 x，得式子 x?(y)如 y 在 C 中的任何一个值，通过式子 x?(y)， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x?(y)表示 x 是 y 的函数，函数 x?(y)叫做函数 y?f(x)的反函数，记作 x?f?1(y)，习惯 上改写成 y?f?1(x) 反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域； 从原函数式 将 x y?f(x)中反解出 x?f?1(y)； 39 / 58 ?f?1(y)改写成 y?f?1(x)，并注明反函数的定义域 反函数的性质 原函数 函数 y?f(x)与反函数 y?f?1(x)的图象关于直线 y?x对称 y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数 y?f?1(x)的值域、定义域 y?f(x)的图象上，则 P(b,a)在反函数 y?f?1(x)的图象上 若 P(a,b)在原函数 一般地， 函数 y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数 一、选择题： 1 log89 的值是 log23 40 / 58 A 2 3 B 1 C 3 2 D 2 2已知 x=2+1,则 log4(x3 x 6)等于 A. D. 3 2 B. 41 / 58 5 41 2 3已知 lg2=a， lg3=b，则 lg12 等于 lg15 A 2a?b 1?a?b B a?2b 1?a?b 42 / 58 C 2a?b 1?a?b D a?2b 1?a?b 4已知 2lg(x 2y)=lgx lgy，则 x 的值为 yA 1 B 4 C 1 或 4 C ( C ln5 D 4或 -1 43 / 58 5.函数 y=1(2x?1)的定义域为 2 A ( 1 ， ) B 1， ) 2 B 5e 1 ， 1 2 D ( ， 1) D log5e 6.已知 f(ex)=x，则 f(5)等于 A e5 44 / 58 7若 f(x)?logax(a?0 且 a?1),且 f?1(2)?1,则 f(x)的图像是 8设集合 ?2x?0|,则 A?B 等于 A x|x?1 C x|x?1 B x|x?0 D x|x?1 或 x?1 9函数 y?ln x?1 ,x?(1,?)的反函数为 x?1 ex?1 ,x?(0,?) B y?x e?1ex?1 45 / 58 ,x?(?,0) D y?x e?1 ex?1 ,x?(0,?) A y?x e?1ex?1 ,x?(?,0) C y?x e?1 二、填空题： 10计算： lg 11?log23 ln 2 100 46 / 58 11函 数 y=log4(x 1)2(x 1 的反函数为 12函数y=(log1x)2 log1x2 5 在 2x4 时的值域为 _ 4 4 三、解答题： 13已知 y=loga(2 ax)在区间 0， 1上是 x 的减函数，求a 的取值范围 14已知函数 f(x)=lg(a2 1)x2 (a 1)x 1，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围 15已知 f(x)=x2 (lga 2)x lgb， f( 1)= 2，当 xR时 f(x)2x 恒成立，求实数 a 的值，并求此时 f(x)的最小值？ 一、选择题： (lgm)(lgm) ， 16. 25 47 / 58 ?y?84 13 ， =1 2x(xR) ， 2 17.解析：因为 a是底，所以其必须满足 a0 且 a 不等于 1 a0 所以 2-ax 为减函数，要是 Y=loga(2-ax)为减函数，则Y=loga 为增函数，得 a1 又知减函数区间为 0,1， a 必须满足 2-a*00 2-a*10 即得 a 18、解：依题意 (a2 1)x2 (a 1)x 1 0 对一切 xR 恒成立 2?a?1?05?2 当 a 10 时，其充要条件是： ?解得 a 1 或 a 22 3?(a?1)?4(a?1)?0 又 a= 1， f(x)=0 满足题意， a=1，不合题意 所以 a 的取值范围是： ( ， 1( 48 / 58 5 ， ) 3 19、解析：由 f( 1)= 2，得： f( 1)=1 (lga 2) lgb= 2，解之 lga lgb=1， a =10， a=10b又由 xR ， f(x)2x 恒成立知： x2 (lga 2)x lgb2x ，即 x2 xlgab lgb0 ，对 xR 恒成立，由 =lg2a 4lgb0 ，整理得(1 lgb)2 4lgb0 即 (lgb 1)20 ，只有 lgb=1，不等式成立即 b=10， a=100 f(x)=x2 4x 1=(2 x)2 3当 x= 2 时， f(x)min= 3 第二章 基本初等函数 () 49 / 58 指数函数 【】指数与指数幂的运算 根式的概念 如果 xn?a,a?R,x?R,n?1，且 n?N?，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n是奇数时， a 的 n n 是偶数时，正数 a 的正的 n 表示，负的 n 次方根用符号 0的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n次方根 n 叫做根指数， a叫做被开方数当 n 为奇数时， a为任意实数；当 n 为偶数时， a?0 根式的性质 50 / 58 ： n?a；当 n 为奇数时 ， ?a；当 n为偶数时， ?a (a?0) ?|a|? ?a (a?0) mn 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是： a?a?0,m,n?N?,且 n?1) 051 / 58 的正分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是 ： a ? mn 1m?()n?a?0,m,n?N?,且 an?1) 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 分数指数幂的运算性质 a?a?a rr s r?s 52 / 58 (a?0,r,s?R) (ar)s?ars(a?0,r,s?R) (ab)?ab(a?0,b?0,r?R) 【】指数函数及其性质 指数函数 rr 对数函数 【】对数与对数运算 对数的定义 若 a?N(a?0,且 a?1)，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x?logaN，其中 a叫做底数， N叫做真数 负数和零没有对数 53 / 58 对 数 式 与 指 数 式 的 互 化 ：x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0) 几个重要的对数恒等式 x loga1?0， logaa?1， logaab?b 常用对数与自然对数 常用对数： lgN，即 log10N；自然对数： lnN，即 logeN 对数的运算性质 如果 a?0,a?1,M?0,N?0，那么 加 法 ： logaM?logaN?loga(MN) 减 法 ：logaM?logaN?loga 数乘： nlogaM?logaMn(n?R) a logaN M N ?N 54 / 58 logabMn? n logaM(b?0,n?