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1.7多项式函数与多项式的根,一、多项式函数,F中的根或零点。,作映射f：,为F上的多项式函数。,若,则,二、余式定理和综合除法,证：由带余除法：设,则。,问题1、,有没有确定带余除法：,设,中展开后比较方程两边的系数得：,于是得,的商式和余式。,解：由综合除法,因此,1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；,的方幂和。,定理1.7.2（因式定理）：,证明：设,以利用综合除法来判断其余数是否为零。,三、多项式的根,的一个k重根。,有重根？,有重因式，但反之不对。,定理1.7.3（根的个数定理）：,证明（用归纳法）：,证二：对零次多项式结论显然成立，,数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不,定理1.7.4：,的值相等，则。,证明：,令,问题3、,是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项,作函数,则,这个公式也称为Lagrange插值公式。,例1.7.3：求一个次数小于3的多项式,使。,解一（待定系数法）：设所求的多项式,由已知条件得线性方程组：,解之得,解二（利用Lagrange公式）：,利用Lagrange插值公式可得：,问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？,四、多项式相等与多项式函数相等的关系,多项式相等：即,对应项的系数相同；,多项式函数相等：即,定理1.7.5：,相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等。,
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