高中基本初等函数总结

1 / 40 高中基本初等函数总结 第二章 基本初等函数 () 指数函数 【】指数与指数幂的运算 根式的概念 如果 xn?a,a?R,x?R,n?1，且 n?N?，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n是奇数时， a 的 n n 是偶数时，正数 a 的正的 n 表示，负的 n 次方根用符号 0的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n次方根 n 叫做根指数， a叫做被开方数当 n 为奇数时， a为任意实数；当 n 为偶数时， a?0 2 / 40 根式的性质 ： n?a；当 n 为奇数时 ， ?a；当 n为偶数时， ?a (a?0) ?|a|? ?a (a?0) 3 / 40 mn 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是： a?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0的正分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是 ： a ? mn 1m?()n?a?0,m,n?N?,且 an?1) 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 分数指数幂的运算性质 a?a?a 4 / 40 rr s r?s (a?0,r,s?R) (ar)s?ars(a?0,r,s?R) (ab)?ab(a?0,b?0,r?R) 【】指数函数及其性质 指数函数 rr 对数函数 【】对数与对数运算 对数的定义 5 / 40 若 a?N(a?0,且 a?1)，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x?logaN，其中 a叫做底数， N叫做真数 负数和零没有对数 对 数 式 与 指 数 式 的 互 化 ：x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0) 几个重 要的对数恒等式 x loga1?0， logaa?1， logaab?b 常用对数与自然对数 常用对数： lgN，即 log10N；自然对数： lnN，即 logeN 对数的运算性质 如果 a?0,a?1,M?0,N?0，那么 加 法 ： logaM?logaN?loga(MN) 减 法 ：logaM?logaN?loga 数乘： nlogaM?logaMn(n?R) a logaN 6 / 40 M N ?N logabMn? n logaM(b?0,n?R)b 换底公式： logaN? logbN (b?0,且 b?1) 7 / 40 logba 【】对数函数及其性质 (6)反函数的概念 设函数 y?f(x)的定义域为 A，值域为 C，从式子 y?f(x)中解出 x，得式子 x?(y)如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子 x?(y)，x 在 A 中都有唯一确 定的值和它对应，那么式子 x?(y)表示 x是 y 的函数，函数x?(y)叫做函数 y?f(x)的反函数，记作 x?f?1(y)，习惯上改写成 y?f?1(x) 反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域； 从原函数式y?f(x)中反解出 x?f?1(y)； 将 x?f?1(y)改写成 y?f?1(x)，并注明反函数的定义域 反函数的性质 8 / 40 原函数 y?f(x)与反函数 y?f?1(x)的图象关于直线 y?x 对称 函数 y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数 y?f?1(x)的值域、定义域 若 P(a,b)在原函数 y?f(x)的图象上，则 P(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上 一般地，函数 y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数 幂函数 幂函数的定义 一般地，函数 y?x 叫做幂函 数，其中 x为自变量， ?是常数 ? 9 / 40 幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 (0,?)都有定义，并且图象都通过点 (1,1) 单调性：如果 ?0，则幂函数的图象过原点，并且在 0,?)上为增函数如果 ?0，则幂函数的图象在 (0,?)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y轴 奇偶性：当 ?为奇数时，幂函数为奇函数，当 ?为偶数时，幂函数为偶函数当 ? q p qp 中 p,q互质， p和 q?Z），若 p 为奇数 q为奇数时，则 y?x 是10 / 40 奇函数，若 p为奇数 q为偶数时，则 y?x 是偶函数，若 p 为偶数 q为奇数时，则 y?x 是非奇非偶函数 ? 图象特征：幂函数 y?x,x?(0,?)，当 ?1 时，若 0?x?1，其图象在直线 y?x 下 qp qp 方，若 x?1，其图象在直线 y?x上方，当 ?1时，若 0?x?1，其图象在直线 y?x 上方，若 x?1，其图象在直线 y?x 下方 高一必修一函数知识点 指数函数 根式的概念 n 叫做根指数， a叫做被开方数 11 / 40 当 n为奇数时， a 为任意实数；当 n为偶数时， a?0 根式的性质： ?a；当 n ?a；当 n为偶数时， n?a (a?0) ?|a|? ?a (a?0) ? 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是： a m n 12 / 40 ?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0的正分数指数幂等于 0 ? mn 正数的负分数指数幂的意义是： a 1m?()n?a?0,m,n?N?,且 n?1) 0 a 的负分数指数幂没有意 义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 指数函数 例：比较 对数函数 对数的定义 若 a 13 / 40 x ?N(a?0,且 a?1)，则 x叫做以 a为底 N的对数，记作x ?logaN，其中 a叫做底数， N 叫做真数 对数式与指数式的互化： x ?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0) 常用对数与自然对数：常用对数： lgN，即 log10 对数的运算性质 如果 a?0,a?1,M N；自然对数： lnN，即 logeN a?1， logaab?b ?0,N?0，那么 14 / 40 加法： logaM?logaN?loga(MN) 减法：logaM?logaN?loga M N 数乘： nloga n M?logaM(n?R) a n logaN ?N logbNn(b?0,且 b?1) logabM?logaM(b?0,n?R) 换底公式： logaN? 15 / 40 logbab 对数函数 (6) 反函数的求法 将 x y?f(x)中反解出 x?f?1(y)； ?f?1(y)改写成 y?f?1(x)，并注明反函数的定义域 反函数的性质 原函数 y?f(x)与反函数 y?f?1(x)y?1 函数 y?f (x)的定义域、值域分别是其反函数 16 / 40 y?f?1(x)的值域、定义域 幂函数 幂函数的图象 (需要知道 x=,1,2,3与 y=的图像 ) 幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 二次函数 二次函数解析式的三种形式 一般式： 顶点式： 两根式： 求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求二次函数图象的性质 17 / 40 二次函数 f(x)更方便 f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标是 。 在二次函数当 ?b 2 f(x)?ax2?bx?c(a?0)中 ?4ac?0时，图象与 x轴有 个交点 当 时，图象与 x 轴有 1 个交点 当 时，图象与 x轴有没有交点 当 (?,? f(x)min= ； 当 (?,?f(x)max= 一元二次方程 ax 18 / 40 2 bbb上递减，在 ?,?)上递增，当 x?2a2a2abbb上递增，在 ?,?)上递减，当 x?2a2a2a 时， 时， ?bx?c?0(a?0)根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法 偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程 ax 2 ?bx?c?0(a?0)的两实根为 x1,x2，且 x1?x2令f(x)?ax2?bx?c，从以下四个方 19 / 40 ? 面来分析此类问题： 开口方向： a 对称轴位置： xk x1x2 ? b 2a 判别式： ? 端点函数值符号 x1x2 k ? x1 k x2 ? af(k) 0 k1 x1x2 k2 ? 有且仅有一个根 x1满足 k1 x1 k2 ? f(k1)f(k2)?0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0这两种情况是否也符合 20 / 40 k1 x1 k2p1 x2 p2 ? 此结论可直接由 推出 初等函数 1、基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： ?(1) 幂函数 y?x， ?是常数； 1.当 u 为正整数时，函数的定义域为区间 x?(?,?)，他们的图形都经过原点，并当 u1 时在原点处与 X 轴相切。且 u为奇数时，图形关于原点对称； u 为偶数时图形关于 Y 轴对称； 2.当 u 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数。 3.当 u为正有理数 m/n时， n 为偶数时函数的定义域为， n为奇数时函数的定义域为。函数的图形均经过原点和 . 如果 mn图形于 x轴相切 ,如果 m (2) 指数函数 y?a ( a 是常数且 a?0， a?1)， x?(?,?)x； 21 / 40 1. 当 a1时函数为单调增 ,当 a (3) 对数函数 y? log a(a是常数且 a?0， a?1)， x?(0,?)； 1. 他的图形为于 y 轴的右方 .并通过点 (1,0) 2. 当 a1 时在区间 (0,1),y 的值为负 .图形位于 x 的下方 ,在区间 (1, +?),y 值为正 ,图形位于 x 轴上方 .在定义域是单调增函数 .a (4) 三角函数 正弦函数 y?sinx， x?(?,?)， y?1,1， 余弦函数 y?cosx， x?(?,?)， y?1,1， x?k? 2 正切函数 y?tanx， k?Z， y?(?,?)， 22 / 40 余切函数 y?cot x， x?k?， k?Z， y?(?,?)； (5) 反三角函数 y?arcsinx 反正弦函数 ， x?1,1， y? 2,2， 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 y?arccos x， x?1,1， y?0,?， xy?(?y?arctan， x?(?, ?)2,2)， y?arccotx， x?(?,?)， y?(0,?) 23 / 40 基本初等函数 知识网络： 分段函数 指数函数 概念 认识分段函数 认识指数幂 指数幂的运算 概念 指数函数的性质 认识对数 对数的运算 概念 对数函数的性质 对数函数 二次函数与幂函数 一分段函数： 2.注意：分段函数也可以是散点。 常考题： 24 / 40 的最小值是 二指数函数： 1.认识指数幂： 根式：如果 xn=a,那么 x叫做 a的 n 次方根 1.当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个 数，负数的 n 次方根是一个数 2当 n 为偶数时，正数的 n 方根有 两个重要公式： a (kZ) = a n ( )n=a (这对吗？ ) 分数与负数指数幂： a= (a0,N*,n1) a -m=a (a0,mR) 2. 指数幂的运算： ar as=ar+s 25 / 40 (ar)s=ars rrr (ab)=ab (a 0， b 0,rQ) 3. 指数函数的概念： 一般地，形如 y=ax (a0 且 a1) (xR) 的函数叫做指数函数。 4. 指数函数的性质： 1 m nn 定义域： R 值域： 性质： 过定点 当 a(0,1) 时，在 R上是减函数；当 a 时，在 R 上是增26 / 40 函数。 例题：设 a=， b=,c=logx(x2+)(x1),则 a,b,c的大小关系是三对数函数： 1.认识对数： 如果 ax=N(a0 且 a1) 那么指数 x 叫做以 a为底 N 的对数，记做 x=log?,其中 a叫做对数的底数， N 叫做真数。 几种常见对数：常用对数： lgN 以 10 为底的对数 自然对数： lnN 以 e为底的对数 关于 e： e ， 无理数，是由极限推导而来。一般记 e= 2.对数的运算： 于 1， d大于 0）。 3.对数函数的概念：一般的，我们把函数 y=logax(a0 且a1,d 大于 0)叫做对数函数。 4.对数函数的性质： 四幂函数： 科目：数学 27 / 40 a 新梦想教育中心 授课教师：吴英达 1.概念：形如 y=x(aR) 的函数。一般研究以下几种函数。 2.图像： 练习： y=x 在的单调性？请给予证明。 练习题： 1若函数 f=ax+loga 在 0， 1上的最大值与最小值之和为 a，则 a 的值为 A 2 4 1 1 1 28 / 40 2 2.设 a=(),b=(,c=()则 a,b,c 的大小关系是 5 5 5 3 25 2 35 2 25 29 / 40 3. 已知函数 f是奇函数，当 x 0时， f=ax，且 f(log1 4) ?3，则 a的值为 A 函数 f=在上是减函数，则实数 a的取值范围是 5.(log29) = A 2 1 1 3 6若 x0,y0, 且 x+2y=1,那么 2x+3y2 的最小值为 7.若 a=log23,b=log32,c=log46.则 a,b,c 的大小关系 8.已30 / 40 知函数 f(x)=2+log2x,x1,2, 则函数 y=f(x)+f(x2)的值域为 9.已知函数 h=4x2-kx-8在【 5,20】上是单调函数，则 k 的取值范围 10已知 a+a=3,则 a+a?1= ;a2 +a?2= . ?x ,x011 设函数 ? ? = 2 若 ? ? =4，则实数= ?,?0A -4 或 -2 B.-4 或 2 C.-2 或 4 D.-2 或 2 12 ? 12 科目：数学 新梦想教育中心 授课教师：吴英达 12. 已知函数 f(x)满足当 x4 时， f(x)=,当 x 1+ax1+2x 31 / 40 x f(2+log23)= 13. 设 a， bR ，且 a2 ，定义在区间 (-b， b)内的函数 f(x) 1g 是奇函数 . (1)求 b的取值范围； (2)讨论函数 f(x)的单调性 . 高一数学必修 1 知识点总结 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 xn ?a，那么 x 叫 32 / 40 做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN* ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当 n 是奇数时， an?a，当 n是偶数时， ?a(a?0) an?|a|? ?a(a?0) 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a ?mn mn ， 33 / 40 ? 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 aa r 34 / 40 r ?ar?s (a?0,r,s?R)； rsrs(a)?a rrs (ab)?aa (a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R) 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数其中 y?ax(a?0,且 a?1)叫做指数函数，量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质 35 / 40 x 是自变 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或 f(b),f(a)； 对 于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如