高中数学函数图像总结

1 / 32 高中数学函数图像总结 指数函数 概念：一般地，函数 y=a叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是 R。 注意： 指数函数对外形要求严格，前系数要为 1，否则不能为指数函数。 指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 ： 规律： 1. 当两个指数函数中的 a 互为倒数时，两个函数关于 y 性。 2 / 32 2.当 a 1时，底数越大，图像上升的越快，在 y轴的右侧，图像越靠近 y轴； 当 0 a 1时，底数越小，图像下降的越快，在 y 轴的左侧，图像越靠近 y 轴。 在 y 轴右边 “ 底大图高 ” ；在 y轴左边 “ 底大图低 ” 。 3.四字口诀： “ 大增小减 ” 。即：当 a 1 时，图像在 R 上是增函数；当 0 a 1 时，图像在 R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1. 2. 3. 4. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 当底数不同，指数也 不同时，则需要引入中间量进行比较； 对多个数进行比较，可用 0或 1作为中间量进行比较 3 / 32 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在 f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数 y=ax 在定义域 (- ， +) 上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数 y=ax(a 0， a1) 的反函数称为对数函数，并记为 y=logax(a 0， a1). 因为指数函数 y=ax 的定义域为 (- ， +) ，值域为 (0， +) ，所以对数函数 y=logax的定义域为 (0， +) ，值域为 (- ，+). 2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，4 / 32 因此它们的图像对称于直线 y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质 . 为了研究对数函数 y=logax(a 0， a1) 的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log2x， y=log10x， y=log10x,y=log1x,y=log1x 的草图 2 10 由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数 y=logax(a 0， a1) 的图像的特征和性质 .见下表 . 比较对数大小的常用方法有： (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断 . (2)若底数 为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论 . (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化5 / 32 为同底再进行比较 . (4)若底数、真数都不相同，则常借助 1、0、 -1等中间量进行比较 . 3.指数函数与对数函数对比 幂函数 幂函数的图像与性质 n 幂函数 y?x随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握 y?x，当 n?2,?1,? n 12 , 6 / 32 13 ,3的图像和性质，列表如下 从中可以归纳出以下结论： 它们都过点 ?1,1?，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四 象限 a? 13,1212 ,1,2,3 时，幂函数图像过原点且在 ?0,?上是增函数 a? ,?1,?2 时，幂函数图像不过原点且在 ?0,?上是减函数 7 / 32 何两个幂函数最多有三个公共点 y?x n 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 n?1 0?n?1 课程星级： 一、函数的定义、定义域、值域 设 A、 B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于8 / 32 集合 A 中的每一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A到 B 的一个函数，通常记为y?f(x),x?A 在函数 y?f(x),x?A 中， x 叫做自变量， x的取值范围 A叫做y?f(x)的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)x?A 称为函数 y?f(x)的值域。 函数的三要素：定义域、值域和对应法则 二、函数的性质 函数的有界性 设函数 f(x)的定义域为 D， 数集 X?D。 如果存在数 K1， 使对任一 x?X， 有 f(x)?K1， 则称函数 f(x)在 X上有上界， 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界。 图形特点是 y?f(x)的图形在直 线 y?K1 的下方。 如果存在数 K2， 使对任一 x?X， 有 f(x)? K2， 则称函数f(x)在 X上有下界， 而称 K2为函数 f(x)在 X上的一个下界。 图形特点是， 函数 y?f(x)的图形在直线 y?K2 的上方。 9 / 32 如果存在正数 M， 使对任一 x?X， 有 | f(x) |?M， 则称函数 f(x)在 X上有界 ; 图形特点是， 函数 y?f(x)的图形在直线 y? ?M 和 y ? M 的之间。如果这样的 M 不存在， 则称函数 f(x)在 X上无界。函数 f(x)无界， 就是说对任何 M， 总存在 x1?X， 使 | f(x) | M。 例如 f(x)?sin x在 (?， ?)上是有界的 ： |sin x|?1。 函数 f(x)?1 在开区间 (0， 1)内是无上界的。 或者说它在(0， 1)内有下界，无上界。 这是因 x 为， 对于任一 M1， 总有 x1： ?0?x1?1?1， 使 f(x1)?1?M， 所以函数无上界。 Mx1 函数 f(x)?1 在 (1， 2)内是有界的。 x 函数的单调性 ? 设函数 y ? f(x)的定义域为 D， 区间 I ?D。 10 / 32 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2， 当 x1 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2， 当 x1 f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的。 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 举例：函数 y ? x2 在区间 (?， 0上是单调增加的， 在区间 0， ?)上是单调减少的， 在上不是单调的。 证明方法和步骤： 设元：设 x1,x2是给定区间上任意两个值，且 x1?x2； 作差： f(x1)?f(x2)； 变形：； 定号：即 f(x1)?f(x2)?0 或 f(x1)?f(x2)?0；根据定义下结论。 二次函数的单调性：对函数 f(x)?ax?bx?c(a?0)， 2 11 / 32 b 的左侧单调减小，右侧单调增加； 2a b 当 a?0 时函数 f(x)在对称轴 x?的左侧单调增加，右侧单调减小。 2a当 a?0 时函数 f(x)在对称轴 x? 复合函数的单调性：复合函数 y?f(g(x)在区间 (a,b)具有单调性的规律见下表： 以上规 律还可总结为： “ 同向得增，异向得减 ” 或 “ 同增异减 ” 。 函数的单调性的应用：判断函数 y?f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值。 需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘 .宝 .上搜 .索 “.高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 函数的奇偶性 设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称 (即若 x?D， 则 ?x?D)。 12 / 32 如果对于任一 x?D， 有 f(?x) ? f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果对于任一 x?D， 有 f(?x) ? ?f(x)，则称 f(x)为奇函数。 举例： y?x2， y?cos x 都是偶函数。 y?x3， y?sin x 都是奇函数， y?sin x?cos x 是非奇非偶函数。 一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数。 可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性。 判断函数的奇偶性的 等价命题： 若对于定义域内任意一个 x，有 f(x)-f(-x)=0 成立，或f(?x)?1成立，则 f(x)为偶函数。若 f(x)f(x) 是偶函数，那么 f(x)=f( x)=f(x); 若对于定义域内任意一个 x，有 f(x)+f(-x)=0 成立，或13 / 32 f(?x)?1成立，则 f(x)为奇函数。 f(x) 在几个函数的共同定义域上，若 f i(x)为奇函数， g i(x)是偶函数，可知以下几个结论： f1(x)+f2(x)是奇函数， g1(x)+g2(x)是偶函数， f1(x) f2(x2)是偶函数， g1(x)g2(x)是偶函数， f(x)g(x)是奇函数。 偶函数的图形关于 y 轴对称， 奇函数的图形关于原点对称。 函数奇偶性的判定中 ” 六点 ” ： 勿忘定义域； 勿忘化简解析式； 勿忘分段讨论； 勿忘分类讨论； 勿忘等价性； 勿忘个别值的特殊性。 需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘 .宝 .上搜 .索 “.高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 确定函数奇偶性的常用方法： 定义法： 先求定义域，看是否关于 原点对称 ; 再判断f(?x)?f(x)或 f(?x)?f(x) 是否恒成立。 。 利用函数奇14 / 32 偶性定义的等价形式： f(x)?f(?x)?0， 或 f(?x)。 ?1f(x) 图像法：奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。 偶函数的 图象关于 y 轴对称。反过来 ,如果一个函数的图象关于 y轴对称，那么这个函数为偶函数。 赋值法 函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。 即：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。 若 f(x)为偶函数，则 f(?x)?f(x)?f(|x|)。 15 / 32 若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)?0。故 f(0)?0是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“ 一个奇函数与一个偶函数的 和 ” 。 复合函数的奇偶性特点是： “ 内偶则偶，内奇同外 ” 。 既奇又偶函数有无穷多个。 常用结论： (1)奇偶性满足下列性质：奇 奇 =奇，偶 偶=偶，奇 奇 =偶，偶 偶 =偶，奇 偶 =奇。 函数的周期性 对于函数 y?f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有 f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数 y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 周期函数的图形特点： 在函数的定义域内， 每个长度为 T的区间上， 函数的图形有相同的形状。 16 / 32 常见结论 (约定 a0) f(x)?f(x?a) ，则 f(x)的周期 T=a； f(x?a)? f(x)，或 f(x?a)?f(x a)或 f(x?a)?1(f(x)?0)，或 f(x) f(x?a)?1(f(x)?0), f(x) 则 f(x)的周期 T=2a 函数的对称性 偶函数关于 y轴对称，偶函数有关系式 f(?x)?f(x) 奇函数关于对称，奇函数有关系式 f(x)?f(?x)?0 探讨：函数 y?f(x)关于 x?a对称 ?f(a?x)?f(a?x) f(a?x)?f(a?x)也可以写成 f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x) 17 / 32 简证：设点 (x1,y1)在 y?f(x)上，通过 f(x)?f(2a?x)可知，y1?f(x1)?f(2a?x1)， 即点 (2a?x1,y1)也在 y?f(x)上，而点(x1,y1)与点 (2a?x1,y1)关于 x=a对称。得证。 若 写 成 ： f(a?x)?f(b?x) ， 函 数 y?f(x) 关 于 直 线x?(a?x)?(b?x)a?b 对称 ?22 函数 y?f(x)关于点 (a,b)对称 ?f(a?x)?f(a?x)?2b 上述关系也可以写成 f(2a?x)?f(?x)?2b 或 f(2a?x)?f(x)?2b 简证：设点 (x1,y1)在 y?f(x)上，即 y1?f(x1)，通过f(2a?x)?f(x)?2b 可知， f(2a?x1)?f(x1)?2b， 所以 f(2a?x1)?2b?f(x1)?2b?y1， 所以点 (2a?x1,2b?y1)也在 y?f(x)上，而点 (2a?x1,2b?y1)与 (x1,y1) 关于 (a,b) 对 称 。 得 证 。 若写成：f(a?x)?f(b?x)?c，函数 y?f(x)关于点 (a?bc,) 对称 22 18 / 32 函数 y?f(x)关于点 y?b 对称 :假设函数关于 y?b 对称，即关于任一个 x值，都有两个 y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 y?b 对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于 y?b 对称，比如圆c(x,y)?x?y?4?0 它会关于 y=0对称。 需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘 .宝 .上搜 .索 “.高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详 细解答 )” 22 【例】 下列判断正确的是 x2?2xA. 函数 f(x)?是奇函数 B. 函数 f(x)?(1?x x?2 C. 函数 f(x)?x? 答案： C 19 / 32 选项 A 中的 x?2,而 x?2 有意义，非关于 原点对称，选项 B中的 x?1,而 x?1 有意义，非关于原点对称，选项 D 中的函数仅为偶函数 【例】已知函数 f(x)? D. 函数 f(x)?1 既是奇函数又是偶函数 x?1,x?3,5?, x?2 判断函数 f(x)的单调性，并证明； 求函数 f(x)的最大值和最小值 解： 设任取 x1,x2?3,5且 x1?x2 f(x1)?f(x2)?x1?1x2?13(x1?x2)? x1?2x2?2(x1?2)(x2?2) ?3?x1?x2?5 ?x1?x2?0,(x1?2)(x2?2)?0 ?f(x1)?f(x2)?0 即 f(x1)?f(x2) 一次函数 一、定义与定义式： 20 / 32 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y是 x的一次函数。 特别地，当 b=0时， y是 x 的正比例函数。 (来自 : 海达 范文 网 :高中数学函数图像总结 ) 即： y=kx 二、一次函数的性质： 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即： y=kx+b 2.当 x=0 时， b为函数在 y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 21 / 32 1作法与图形：通过如下 3个步骤 列表； 描点； 连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 2性质：在一次函数上的任意一点 P，都满足等式： y=kx+b。一次函数与 y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。 3 k， b与函数图像所在象限： 当 k 0时，直线必通过一、三象限， y随 x 的增大而增大； 当 k 0时，直线必通过二、四象限， y随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 当 b=0时，直线通过原点 22 / 32 当 b 0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当 b=O时，直线通过原点 O 表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k 0时，直线只通过一、三象限；当 k 0 时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点 A； B，请确定过点 A、 B的一次函 数的表达式。 设一次函数的表达式为 y=kx+b。 因为在一次函数上的任意一点 P，都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b 解这个二元一次方程，得到 k， b的值。 最后得到一次函数的表达式。 23 / 32 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间 t一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft。 六、常用公式： 1.求函数图像的 k 值： 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系： y=ax +bx+c 则称 y 为 x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 24 / 32 II.二次函数的三种表达式 一般式： y=ax +bx+c 顶点式： y=a(x-h) +k 抛物线的顶点 P 交点式： y=a(x-x?)(x-x ?) 仅限于 与 x轴有交点 A 和 B的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系 : h=-b/2a k=(4ac-b )/4a x?,x?=(-bb -4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 25 / 32 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， (4ac-b )/4a ) 当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 当 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置。 26 / 32 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y轴右。 5.常数项 c决定抛物线与 y轴交点。 抛物线与 y轴交于 6.抛物线与 x轴交点个数 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴有 2个交点。 = b -4ac=0时，抛物线与 x轴有 1个交点。 三角函数图象与性质复习题 要求： 1、能正确画出 y?sinx， y?cosx， y?tanx 的图象 2、给定条件，能够求 y?sinx， y?cosx， y?tanx 的定义域、值域、单调区间； 3、给定条件