初二数学 特殊的平行四边形

1 课外辅导（初二 数学）专用教程 第六讲 特殊的平行四边形 一、【温故知新】 特殊平行四边形之间的关系；正方形的性质与判定。 二、【重点难点】 平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定，以及通过添加适当的辅助线把它转化为三角 形全等来解决的数学化归思想注重考查同学们的动手操作、观察、猜想、探究等活动的能力以及对知 识的理解能力等 三、【授课过程】 【课前热身】 1对角线互相垂直、平分的四边形一定是（ ） A矩形 B菱形 C等腰梯形 D直角梯形 2把一张长方形的纸片按如图 7 所示的方式折叠，EM，FM 为折痕，折叠后的 C 点落在 MB或 MB 的延长线上，那么EMF 的度数是（ ） A85 B90 C95 D100 3如图 8 所示，在四边形 ABCD 中，ABBCCDDA，对角线 AC 与 BD 相交于点 O若不增加任何 字母与辅助线，要使四边形 ABCD 是正方形，则还需要增加的一个条件是_ 4在四边形 ABCD 中，给出四个条件：ABCD，ADBC，ACBD，AC 平分BAD，由其 中三个条件可推出四边形 ABCD 是菱形，你认为这三个条件是_ _（写四个条件的不得分， 只填序号） 5如图 9，已知菱形 ABCD 中，B60，AB4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为_ 【例题讲解】 例 在矩形纸片ABCD中，3 3AB ，6BC ，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处， 点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，30BPE （1）求BE、QF的长； （2）求四边形PEFH的面积 例 如图，已知正方形 ABCD，把一个直角与正方形重合，使直角顶点与 A 重合，两边分别与 AB、AD 重合. 将直角绕点 A 按顺时针方向旋转，当直角的一边与 BC 相交于 E 点，另一边与 CD 的延 长线相交于 F 点时，作EAF的平分线相交于 G，连结 EG. 求证：（1）BEDF； （2）BEDG = EG. 例已知：如图，在ABC中，D 是 AB 边上的一点，且 BD = BC，BECD 于 E，交 AC 于点 F，请再添加一个条件，使四边形 DMCF 是菱形，并加以证明. 例 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AFBD，CEBD，垂足分别为 F，E， （1）连接 AE，CF，得四边形 AFCE，试判断四边形 AFCE 是下列图形中的哪一种？ 平行四边形；菱形；矩形 （2）请证明你的结论 【拓展】以正方形为背景的探索题 例 1 如图 1，是由两个正方形组成的长方形花坛 ABCD， 小明从顶点 A 沿着花坛间小路直到走到长边中点 O， 再从中点 O 走到正方形 OCDF 的中心 O1，再从中心 O1走到正方形 O1GFH 的中心 O2，又从中心 O2走到正 图 A D F C B G A B C D M F E 图 2 A B C D E F 方形 O2IHJ 的中心 O3，再从中心 O3走到正方形 O3KJP 的中心 O4，一共走了 312 m，则长方形花坛 ABCD 的周长是（ ）m. （A）36 （B）48 （C）96 （D）60 例 2 已知正方形 ABCD 的边长 AB=k(k 是正整数),正PAE 的顶点 P 在正方形内,顶点 E 在边 AB 上,且 AE=1,将 PAE 在正方形内按图 2 中所示的方式,沿着正方形的边 AB、 BC、CD、DA、AB、连续地翻转 n 次，使顶点 P 第一 次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形 ABCD 的边展开在一条直线上，那么这一翻转 过程可以看作是PAE 在直线上作连续的翻转运动.图 5 是 k=1 时， PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索： 若 k=1 时，则PAE 沿正方形的边连续翻转的次数 n=_时,顶点 P 第一次回到原来的起始位置. (2)若 k=2,则 n=_时,顶点 P 第一次回到原来的起始位置；若 k=3,则 n=_时,顶点 P 第一次回到 原来的起始位置. (3)请你猜测:使顶点 P 第一次回到起始位置 n 与 k 之间的关系(请用含有 k 的代数式表示 n) 例 3 为美化环境，某单位需要在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划 将这块空地按如下要求分成四块：分割后的整个图形必须是中心对称图形；四块图形的形状相同； 四块图形的面积相等 请按照上述三个要求，分别在下面的正方形中给出 4 种不同的分割方法 （尺规或徒手作图均可，但要尽可能准确、美观些，不写画法） 例 4 在数学活动中，小明为了求 234 11111 22222n 的值 （结果用 n 表示），设计如图 61 所示的几何图形 （1）请你利用这个几何图形求 234 11111 22222n 的值为_ （2）请你利用图 72，再设计一个能求 234 11111 22222n 的值的几何图形 四、【课下作业】 1. 顺次连结矩形的各边中点,所构成的四边形是_. 2.如图 1,延长正方形 ABCD 的边 AB 到 E,使 BE=AC,则E=_度. 3.如图 2,菱形 ABCD 的一条对角线 BD 上一点 O 到菱形一边 AB 的距离为 2,那么点 O 到另一边 BC 的 距离为_. 图 1 图 2 4.如图 3，已知正方形纸片 ABCD，M、N 分别是 AD、BC 的中点，把 BC 边向上翻折，使点 C 恰好落在 MN 上的 P 点处，BQ 为折痕，则PBQ=_度. 图 4 图 5 5.如图 4,EF 是ABC 的中位线,BD 平分ABC 交 EF 于 D,若 DF=2,则 FB=_. 6. 如图 5，ABCD 中，AE、CF 分别是BAD 和BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条 件，使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 （只需写出一个即可，图中不能再添加 别的“点”和“线”）. 7.下列命题中正确的是 【 】. （A）对角线互相平分的四边形是菱形 (B) 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 (C) 对角线互相垂直的四边形是菱形 (D) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 8.要测量一个门框是否是矩形,下列方法中正确的是 【 】. (A)测量对角线是否平分(B)测量上下边是否相等 (C)测量一组对角是直角 (D)测量三个角是直角 9.如果等腰梯形两底差的一半等于它的高,则这个梯形的一个底角等于 【 】. (A)30 (B)45 (C)60 (D)75 1. 如图 7，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，作 EFBC，交 AC 于点 F如果 EF=4，那么菱形的 周长为 【 】. （A）22 （B）24 （C）32 （D）40 1已知：如图 9，在矩形 ABCD 中，点 E、F 在 CB 上，且 BE=CF，AF、D