高数下册总结

1 / 46 高数下册总结 高数小结 一、微分方程复习要点 解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解 . 一阶微分方程的解法小结： 二阶微分方程的解法小结： 非齐次方程 y?py?qy?f(x)的特解 y? 的形式为： 主要 : 一阶 1、可分离变量方程、线 性微分方程的求解； 2 / 46 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微 分方程的特解 二、多元函数微分学复习要点 一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求 ?z?x 时，应将 y看作常量，对 x求导，在求 ?z?y 时，应将 x看作常量，对 y求导，所运 用的是一元函数的求导法则与求导公式 . 2、复合函数的偏导数的求法 设 z?f?u,v?， u?x,y?， v?x,y?，则 ?z?x 3 / 46 ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?， ?z?y ? ?z?u ? ?u?y ? 4 / 46 ?z?v ? ?v?y 几种特殊情况： 1） z?f?u,v?， u?x?， v?x?，则 2） z?f?x,v?， v?x,y?，则 ?z?x dzdx?f?vdzdu?u?x ?z?v ?dvdx ?v?y 5 / 46 ? ?f?x ?v?x ， ?z?y ? ?f?u ? 3） z?f?u?， u?x,y?则 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况 ?z?x 6 / 46 ? dzdu ? ?u?x ， ?z?y ? dzdu ? ?u?y 设 z?z?x,y?是由方程 F?x,y,z?0 唯一确定的隐函数，则 7 / 46 ?z?x FxFz ? ?Fz ?0?， ?z?y ? FyFz ?Fz ?0? 或者视 z?z?x,y?，由方程 F?x,y,z?0 两边同时对 x(或 y)求导解出 8 / 46 2）方程组的情况 ?z?x (或 ?z?y ). ?F?x,y,u,v?0?z?z )即可 . 由方程组 ?两边同时对 x(或 y)求导解出 (或 ?x?y?Gx,y,u,v?0? 二、全微分的求法 方法 1：利用公式 du? ?u?x 9 / 46 dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法 2：直接两边同时求微分，解出 du 即可 .其中要注意应用微分形式的不变性： ?z du?u? dz? ?z?dx?x? ?z?v?z?y 10 / 46 dv dy 三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 ?x?t? ? 1）设空间曲线 的参数方程为 ?y?t?，则当 t?t0时，在曲线上对应点 ?z?t?P0?x0,y0 ? ,z0?处的切线方向向量为 T?t0?,? ? 11 / 46 ?t0?,?t0?，切线方程为 x?x0 ?t0? ? y?y0 ? ?t0? ? 12 / 46 z?z0 ? ?t0? 法平面方程为 ?t0?x?x0?t0?y?y0?t0?z?z0?0 2）若曲面 ?的方程为 F? x,y,z?0，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量 ?n? ?F x 13 / 46 ,Fy,Fz ? P0 ，切平面方程为 Fx?x0,y0,z0?x?x0?Fy?x0,y0,z0?y?y0?Fz?x0,y0,z0?z?z0?0 法线方程为 x?x0 Fx?x0,y0,z0? ? y?y0 Fy?x0,y0,z0? ? 14 / 46 z?z0 Fz?x0,y0,z0? 若曲面 ?的方程为 z?f?x,y?，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量 ? n?fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为 fx?x0,y0?x?x0?fy?x0,y0?y?y0?z?z0?0 法线方程为 x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1 15 / 46 四、多元函数极值的求法 1 无条件极值的求法 设函数 z?f?x,y?在点 P0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由 fx?x,y?0， fy ?x,y?0，解出驻点 ? x0,y0 ?，记 A?fxx ?x0 ,y0 ?， B?fxy 16 / 46 ?x0 ,y0 ?， C?fyy ?x0,y0?. 2 C?B1）若 A?0，则 f ?x ,y?在点 ?x0,y0?处取得极值，且当 A?0 时有极大值，当 A?0 时有极小值 . 17 / 46 2） 若 AC?B2?0，则 f?x,y?在点 ?x0,y0?处无极值 . 3） 若AC?B 2 ?0，不能判定 f ?x ,y?在点 ?x0,y0?处是否取得极值 . 2 条件极值的求法 函数 z?f?x,y?在满足条件 ?x,y?0 下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件 ?x,y?0解出 y代入 f?x,y?中，则使函数 z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题 . 2）拉格朗日乘数法 作辅助函数 F?x,y?f?x,y?x,y?，其中 ?为参数，解方程组 18 / 46 高数小结 一、 微分方程复习要点 解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解 . 一阶微分方程的解法小结： 二阶微分方程的解法小结： ? 非齐次方程 y?py?qy?f(x)的特解 y 的形式为： 主要 : 19 / 46 一阶 1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 二、多元函数微分学复习要点 一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求 ?z?z 时，应将 y 看作常量，对 x 求导，在求时，应将 x 看作常量，对 y 求导，所运 ?x?y 用的是一元函数的求导法则与求导公式 . 2、复合函数的偏导数的求法 设 z?f?u,v?， u?x,y?， v?x,y?，则 ?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v ?， ? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 20 / 46 几种特殊情况： 1） z?f?u,v?， u?x?， v?x?，则 2） z?f dzdz?u?zdv? dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?， v?x,y?，则 ?x?x?v?x， ?z?f ?z?f?v? ?y?u?y 3） z?f?u?， u?x,y?则 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况 ?zdz?u?zdz?u?， ?xdu?x?ydu?y 设 z?z?x,y?是由方程 F?x,y,z?0 唯一确定的隐函数，则 F?z ?x 21 / 46 ?xFz ?Fz ?z ?0?， ? ?y FyFz ?Fz ?0? 或者视 z?z?x,y?，由方程 F?x,y,z?0 两边同时对 x(或 y)求导解出 2）方程组的情况 由方程组 ? 22 / 46 ?z?z(或 ). ?x?y ?F?x,y,u,v?0?z?z 两边同时对 x(或 y)求导解出 (或 )即可 . ?x?y?G?x,y,u,v?0 二、全微分的求法 方法 1：利用公式 du? ?u?u?u dx?dy?dz ?x?y?z 方法 2：直接两边同时求微分，解出 du 即可 .其中要注意应用微分形式的不变性： ?z?z du?dv?v?u dz? 23 / 46 ?z?z?dx?dy ?y?x 三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 ?x?t? ? 1）设空间曲线 的参数方程为 ?y?t?，则当 t?t0时，在曲线上对应点 ?z?t? ? P0?x0,y0,z0? 处 的 切 线 方 向 向 量 为T?t0?,?t0?,?t0?，切线方程为 ? 24 / 46 x?x0y?y0z?z0 ? ?t0?t0?t0 法 平 面 方 程为 ?t0?x?x0?t0?y?y0?t0?z?z0?0 2）若曲面 ?的方程为 F?x,y,z?0，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量 ? n?Fx,Fy,Fz? P0 ，切平面方程为 Fx?x0,y0,z0?x?x0?Fy?x0,y0,z0?y?y0?Fz?x0,y0,z0?z?z0?0 法线方程为 25 / 46 x?x0y?y0z?z0 ? Fxx0,y0,z0Fyx0,y0,z0Fzx0,y0,z0 若曲面 ?的方程为 z?f?x,y?，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量 ? n?fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为 fx?x0,y0?x?x0?fy?x0,y0?y?y0?z?z0?0 法线方程为 x?x0y?y0z?z0 ? fxx0,y0fyx0,y0?1 四、多元函数极值的求法 1 无条件极值的求法 26 / 46 设函数 z?f?x,y?在点 P0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由 fx?x,y?0， fy?x,y?0，解出驻点 ?x0,y0? ，记 A?fxx?x0,y0?， B?fxy?x0,y0?， C?fyy?x0,y0?. C?B1）若 A 时有极小值 . 2） 若 AC?B2?0，则 f?x,y?在点 ?x0,y0?处无极值 . 3） 若 AC?B?0，不能判定 f?x,y?在点 ?x0,y0?处是否取得极值 . 2 2 27 / 46 ?0，则 f?x,y?在点 ?x0,y0?处取得极值，且当 A?0时有极大值，当 A?0 2 条件极值的求法 函数 z?f?x,y?在满足条件 ?x,y?0 下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件 ?x,y?0解出 y代入 f?x,y?中，则使函数 z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题 . 2）拉格朗日乘 数法 作辅助函数 F?x,y?f?x,y?x,y?，其中 ?为参数，解方程组 第八章 向量与解析几何 - 2 - - 3 - 28 / 46 第十章 重积分 - 4 - - 5 - 第十一章曲线积分与曲面积分 - 6 - 积分方法大盘点 现把我们学了的积分方法做个大总结。 1、二重积分 X 型区域上二重积分 后 x 先 y 积分， D 往 x 轴上的投影得区间 a,b； x a,b，X=x截 D得截线 y1(x) yy2(x)； b y(x)蝌 f(x,y)dxdy= 29 / 46 蝌 dx 2f(x,y)dya yD 1(x) Y 型区域上二重积分 后 y 先 x 积分， D 往 y 轴上的投影得区间 c,d； y c,d，Y=y截 D得截线 x1(y) xx2(y)； d x 蝌 f(x,y)dxdy= 蝌 dy 2(y)f(x,y)dxc 30 / 46 x D 1(y) 极坐标二重积分 总是后 q 先 r积分； b r 蝌 f(x,y)ds= 蝌 dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q) D 1 其中，在 D上 a 是最小的 q， b是最大的 q； q a,b，射线 Q=q截 D得截线 r1(q) r 31 / 46 r2(q)。用坐标关系 x=rcosq， y=rsinq 和面积元素 ds=dxdy=rdqdr 代入。 当积分区域 D的边界有圆弧，或被积函数有 x2+y2 时，用极坐标计算二重 积分特别简单。 离 散 数 学 2、三重积分 二套一方法 几何准备 (i) 将积分区域 W 投影到 xOy面，得投影区域 Dxy； (ii) 以 Dxy 的边界曲线为准线，作一个母线平行于 z 轴的32 / 46 柱面柱面将闭区域 W 的边界曲面分割 为上、下两片曲面S2:z=z2(x,y； S 1 :z=z1(x,y ； z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌 dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。 W D1(x,y) xy 33 / 46 还有两种类似的二套一方法。 一套二方法 几何准备 (i)把 W往 z 投影得轾犏臌 c,d； (ii)任意给定 z?轾犏臌 c,d，用平面 Z=z截 W 得截面 Dz； d 蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy， c 蝌 W Dz 还有两种类似的一套二方法。 柱面坐标计算三重积分 34 / 46 把积分写成二套一 zx,y)蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌 dxdy2(f(x,y,z)dzz,y) W D1(xxy 用极坐标计算外层的二重积分 z 蝌蝌 f(x,y,z)dv= 蝌 dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zW D1(x,y) 35 / 46 xyb r2(q)zrcosq,rsinq) = 蝌 dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q) z 1 (rcosq,rsinq) 。 36 / 46 还有两种类似的极坐标计算方法。 离 散 数 学 球面坐标计算三重积分 用坐标关系 x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc和 o 体积元素 dV=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj代入 蝌蝌 f(x,y,z)dv=蝌 37 / 46 f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj； W W 三种情况定上下限变成三次积分 蝌 f(x,y,z)dvW b jr =蝌 dq2(q)dj 2(q,j) 38 / 46 f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q) r 1 (q,j) 当 W 是课堂讲的三种情况或被积函数有 x2+y2+z2 时用球面坐标计算简单。 第 1 章 集 合 39 / 46 3、第一类对弧长的曲线积分 平面情形 准备 ?L:?x=x(t), ?y=y(t)(t?a,b)， ds= ； ? ,代入 b蝌 f(x,y)ds= f(x(t),y(tt。 L 40 / 46 a 当参数 L:?L:y=y(x)(x a,b)时用 x作 ? x=x ?(x?a,b)；当 ?y=y(x)?L:x= x(y)( y c,时用 dy 作参数 L:? x=x(y) ? y=y(y?c,d)。 空间情形 ?x=x(t) 准备 L:? 41 / 46 ? y=y(t)(t a,b? )， ds= ； ? z=z(t)代入 b 蝌 f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt。 L a 当 L:?y=y(x)?x=x 42 / 46 ?(x?a,b) 时用 x 作参数L:?x)x( ab,； ?z=z(x)?y=y( 当 ? ? z=z(x)?x=x(y) L:? x=x(y) ?z=z(y(y?c,d)时用 y作参数 L:? )? y=y(y c,d) 43 / 46 ；当 ? z=z(y)?x=x(?x=x(z) L:? z) ?(z?c,d)时用 z 作参数 L:? y=y(z)? y=y(z)(z c,d)。 ? z=z 平面是空间的特例。 高数下册复习知识点总结