高等数学知识点总结

1 / 110 高等数学知识点总结 第一讲 : 一 . 数列函数 : 1. 类型 : 极限与连续 (1)数列 : *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初等函数 : (3)分段函数 : *F(x)? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)?;* , ?ax?x0?f2(x)x?x0 (4)复合 (含 f)函数 : y?f(u),u?(x) (5)隐式 (方程 ): F(x,y)?0 (6)参式 (数一 ,二 ): ? 2 / 110 ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数 : F(x)? ? x a f(x,t)dt (8)级数和函数 (数一 ,三 ): S(x)? 2. 特征 (几何 ): ?ax,x? nnn?0 ? 3 / 110 (1) 单 调 性 与 有 界 性 ( 判别 ); (f(x) 单调 ?x0,(x?x0)(f(x)?f(x0)定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数 : y?f(x)?x?f 二 . 极限性质 : 1. 类型 : *liman; *limf(x)(含 x?); *limf(x)(含x?x0?) n? x? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0 2. 无穷小与无穷大 (注 : 无穷量 ): 3. 未定型 : 4 / 110 0? ,1,?,0?,00,?0 0? 4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性 三 . 常用结论 : an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b, c, ) ?a?0?0 n! n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1, lix?0?0, (x?0)?, lim, lim? 5 / 110 x?x?x?0xex x xlnx?0 lim, e?x?0? n ?0x? , ?x? 四 . 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当 u(x)?0时 , ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x); 1?cosu(x)? sin 12 6 / 110 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x)?u(x); (1?u(x)?1?u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi 2. 泰勒公式 : 12 x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x); 2134 (3)sinx?x?x?o(x); 3! 7 / 110 12145 (4)cosx?1?x?x?o(x); 2!4! ?(?1)2? x?o(x2). (5)(1?x)?1?x? 2! (1)e?1?x? x 五 . 常规 方法 : 前提 : (1)准确判断 , 1. 抓大弃小 ( 0?1 ,1,?M(其它如 :?,0?,00,?0); (2)变量代换(如 :?t) 0?x 8 / 110 ?), ? 2. 无穷小与有界量乘积 (?M) (注 :sin ? 1 ?1,x?) x 3. 1处理 (其它如 :0,?) 4. 左右极限 (包括 x?): 1 1x (1)(x?0); (2)e(x?); ex(x?0); (3)分段函数 : x, x, maxf(x) x 9 / 110 00 5. 无穷小等价替换 (因式中的无穷小 )(注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则 (1)先 ” 处理 ”, 后法则 ( 0xlnxxlnx 最后方法 ); (注意对比 : lim 与 lim) x?11?xx?01?x0 v(x) (2)幂指型处理 : u(x) (3)含变限积分 ; ?e v(x)lnu(x) (如 : e 1x?1 ?e?e(e 10 / 110 1x1x11?x?1x ?1) (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : f(x)?limF(x,n)(?分段函数 ) n? 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : (1)an?f(n)?limf(x) x? (2)双边夹 : *bn?an?cn?, *bn,cn?a? (3)单边挤 : an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f(x)?0? 11 / 110 ?f ?fx0( ) ?x?0?x 1112n lif?)f(?)?f(?)fxd( 3. 积分和 : , x)?0n?nnnn 2. 导数定义 ( 洛必达 ?): li 4. 中值定理 : limf(x?a)?f(x)?alimf(?) x? x? 5. 级数和 (数一三 ): ? 2nn! 12 / 110 (1)?an 收 敛 ?liman?0, ( 如 limn) (2)lim(a1?a2?an)?an, n?n?nn? n?1n?1 ? ? (3)an与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散 13 / 110 七 . 常见应用 : 1. 无 穷 小 比 较 ( 等价 , 阶 ): *f(x)?kx,(x?0)? (1)f(0)?f(0)?f (2) (n?1) n (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x?(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt?ktndt x 14 / 110 2. 渐近线 (含斜 ): f(x) ,b?limf(x)?ax?f(x)?ax?b? x?x?x 1 (2)f(x)?ax?b?,(?0) x (1)a?lim 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性 (附 :极限函数 , f(x)连续性 ) 八 . a,b上连续函数性质 1. 连通性 : f(a,b)?m,M ( 注 :?0?1, “ 平均 ”值 :?f(a)?(1?)f(b)?f(x0) 2. 介值定理 : (附 : 达布定15 / 110 理 ) (1)零点存在定理 : f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数 ); (2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx)?0. 第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一 . 基本概念 : 1. 差商与导数 : f(x)?lim ?x?0 f(x?x)?f(x)f(x)?f(x0) 16 / 110 ; f(x0)?lim x?x0?xx?x0 (1)f(0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f连续 )?f(0)?0,f(0)?A) (注 :lim x?0xx (2)左右导 : f?(x0),f?(x0); (3)可导与连续 ; (在 x?0 处 , x连续不可 导 ; xx可导 ) 2. 微 分 与 导数 : ?f?f(x?x)?f(x)?f(x)?x?o(?x)?df?f(x)dx (1)可微 ?可导 ; (2)比较 ?f,df 与 0的大小比较 (图示 ); 17 / 110 二 . 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式 ; (注 : (f(x) 2. 法则 : (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数三 . 各类求导 (方法步骤 ): dx1 ? dyy f(x?h)?f(x?h) h 1. 定义导 : (1)f(a)与 f(x)x?a; (2)分段函数左右导 ; (3)lim h?0 (注 : f(x)? 18 / 110 ?F(x)x?x0 , 求 :f(x0),f(x)及 f(x)的连续性 ) , x?x0?a 2. 初等导 (公式加法则 ): (1)u?fg(x), 求 :u(x0)(图形题 ); (2)F(x)? ? x a f(t)dt, 求 :F(x) ( 注 : (?f(x,t)dt),(?f(x,t)dt),(?f(t)dt) a a 19 / 110 a xbb ?f1(x)x?x0 , (3)y?,求 f?(x0),f?(x0)及 f(x0) (待定系数 ) ?f2(x)x?x0 dyd2y, 3. 隐式 (f(x,y)?0)导 : dxdx2 (1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性 ). (3)对数求导法 . ?x?x(t)dyd2y ,2 4. 参式导 (数一 ,二 ): ?, 求 : 20 / 110 dxdx?y?y(t) 5. 高阶导 f(n)(x)公式 : (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )?ae; ( a?bx(a?bx)n?1 nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 21 / 110 ?n); (cosax)(n)?ancos(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) (uv)(n)?u(n)v?Cnuv?Cnuv? 注 : f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式 : f(x)?a0?a1x?a2x2?anx?an? n! 22 / 110 n 四 . 各类应用 : 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : y?f(x)上点 M0和过点 M0的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率 ?速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): ? 曲率半 径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 ) 五 . 单调性与极值 (必求导 ) 1. 判别 (驻点 f(x0)?0): (1) f(x)?0?f(x)?; f(x)?0?f(x)?; (2)分段函数的单调性 (3)f(x)?0?零点唯一 ; f(x)?0?驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : 23 / 110 (1)表格 (f(x)变号 ); (由 lim x?x0 f(x)f(x)f(x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0 的特点 ) x?x0x?x0xxx (2)二阶导 (f(x0)?0) 注 (1)f 与 f,f的匹配 (f图形中包含的信息 ); (2)实例 : 由 f(x)?(x)f(x)?g(x)确定点 “x?x0” 的特点 . (3)闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 ) 高等数学知识点总结 导数公式： 24 / 110 2 (tanx)?secx(ctanx)?cscx(secx)?secx?tanx(cscx)?cscx?cotx(a)?alna(log ax x 2 (arcsinx)?(arccosx)?(arctanx)? 1?x 2 1?x1 2 25 / 110 1?x 2 x)? 1xlna (arccotx)? 11?x 2 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ?tan?sec?a?x?a? xdx?lncosx?C 26 / 110 ?cotxdx?lnsinx?C xdx?lnsecx?tanx?C ?cos?sin dx 2 xx ? ?sec?csc 2 xdx?tanx?Cxdx?cotx?C dx 27 / 110 2 2 ?cscxdx?lncscx?cotx?C dx 2 ?sec x x?tanxdx?secx?C xdx?cscx?C x ?xdx?adx?xdx 28 / 110 2 2 ? 1a1 arctanlnln xa ?C?C?C ?cscx?cot?a dx? a x?ax?aa?xa?xxa 29 / 110 lna ?C 22 2a12a ?shxdx?chxdx? ? 2 ?chx?C?shx?C ?ln(x? x?a)?C 2 30 / 110 2 22 a?x 2 ?arcsin?C dxx?a 2 2 ? 2 In? 31 / 110 ?sin 02 n xdx?cos n xdx? 2 n?1naaa 2 In?2 x?a)?Cx?axa?C 32 / 110 2 2 2 2 ? sinx? 2u1?u x?adx?x?adx?a?xdx? 2 2 2 33 / 110 2 2 x2x2x2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 2 2 2 34 / 110 ln(x?lnx?arcsin 2 2 ?C 2 ， cosx?2 1?u1?u 2 ， u?tan2 x2 ， dx? 35 / 110 2du1?u 2 一些初等函数： 两个重要极限： e?e 2e?e 2shxchx 2x ?x x ?x 双曲正弦 :shx? 双曲余弦 :chx? 双曲正切 :thx?arshx?ln(x?archx?ln(x?arthx? 36 / 110 12ln1?x1?x lim sin x(1? x1x x?0 ?1) x lim e?ee?e xx 37 / 110 ?x?x x? ?e ? x?1） x?1) 2 三角函数公式： 诱导公式： 和差角公式： 和差化积公式： sin(?)?sin?cos?cos?sin?cos(?)?cos?cos?sin?sin38 / 110 ?tan(?)?cot(?)? tan?tan?1?tan?tan?cot?cot?1cot?cot? sin?sin?2sinsin?sin?2cos ?2 cossin ?2 ?2 ?2 cos?cos?2coscos?cos?2sin ?2 cossin 39 / 110 ?2 ?2 ?2 倍角公式： sin2?2sin?cos? cos2?2cos?1?1?2sin?cos?sin?cot2?tan2? cot?12cot?2tan?1?tan? 222 2 2 2 40 / 110 sin3?3sin?4sin?cos3?4cos?3cos?tan3? 3tan?tan?1?3tan? 2 3 3 3 半角公式： sintan ? 2 ? 41 / 110 ?cos? 21?cos?1?cos? asinA 1?cos?sin?bsinB ? cos cot ? 2 ? 1?cos? 2 42 / 110 ? 2 1?cos?sin? 2 ? 2 ?c sin?1?cos? ? 2 ? 43 / 110 1?cos?1?cos? 2 ? sin?1?cos? 正弦定理： ? sinC ?2R 余弦定理： c?a?b?2abcosC 反三角函数性质： arcsinx? ? 2 44 / 110 ?arccosx arctanx? ? 2 ?arccotx 高阶导数公式 莱布尼兹公式： n (uv)?u (n) ? ?C k?0 45 / 110 kn u (n?k) v (k) (n) v?nu (n?1) v? n(n?1)2! u 46 / 110 (n?2) v? n(n?1)?(n?k?1) k! u (n?k) v (k) ?uv (n) 中值定理与导数应用： 47 / 110 拉格朗日中值定理：柯西中值定理： f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) ?f?(?)F?(?) 拉格朗日中值定理。 f(b)?f(a)F(b)?F(a) 当 F(x)?x时，柯西中值定理就是 曲率： 弧微分公式：平均曲率： K? ds?s ?y?dx,其中 y?tg? ?:从 M点到 M?点，切线斜率的倾角变 48 / 110 ?s d?ds y?(1?y?) 2 3 2 化量； ?s： MM?弧长。 M 点的曲率：直线： K?0; K?lim ?s?0 ?. 49 / 110 半径为 a 的圆： K? 1a . 定积分的近似计算： b 矩形法： ?f(x)? ab b?an (y0?y1?yn?1) 梯形法： ?f(x)? a 50 / 110 b b?a1 (y0?yn)?y1?yn?1n2b?a3n (y0?yn)?2(y2?y4?yn?2)?4(y1?y3?yn?1) 抛物线法： ?f(x)? a 定积分应用相关公式： 功： W?F?s 水压力： F?p?A 引力： F?k m1m2r 2 ,k为引力系数 51 / 110 函数的平均值： y? 1b?a b ?b?a a 1 b f(x)dx 均方根： ? a 52 / 110 f(t)dt 2 空间解析几何和向量代数： 空间 2点的距离：向量在轴上的投影： d?M1M 2 ? (x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) 222 PrjuAB?cos?,?是 AB与 u轴的夹角。 ? 53 / 110 Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2? a?b?a?bcos?axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角： cos?k , axbx?ayby?azbz ax?ay?az?bx?by?bz 2 2 2 2 54 / 110 2 2 i? c?a?b?ax bx jayby ? az,c?a?bsin?.例：线速度： bz aybycy azbzcz ?v?w?r. 55 / 110 ax ? 向量的混合积： abc?(a?b)?c?bx cx 代表平行六面体的体积 。 ? ?a?b?ccos?,?为锐角时， 平面的方程： 1、点法式： ? A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 ，其中n?A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1 56 / 110 d? Ax0?By0?Cz0?D A?B?C 空间直线的方程： 2 2 2 2、一般方程： 3、截距世方程： 平面外任意一点到该平面的距离： ?x?x0?mt x?x0y?y0z?z0? 57 / 110 ?t, 其中 s?m,n,p; 参 数 方程： ?y?y0?ntmnp?z?z?pt 0? 22 22 二次曲面： 1、椭球面： 2、抛物面： 3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面： xaxa 2222 xa 222 ? 58 / 110 yb ? 2 zc ?1 xy 2p2q ?z ? ybyb 2222 59 / 110 ? zczc 2222 ?1 ?1 多元函数微分法及应用 全微分： dz? ?z?xdx? ?z?y dy du? ?u?xdx? ?u?ydy? 60 / 110 ?u?zdz 全微分的近似计算：多元复合函数的求导法 ?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y： dz?z?u?z?v z?fu(t),v(t)? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?v z?fu(x,y),v(x,y)? ?x?u?x?v?x 当 u?u(x,y)， v?v(x,y)时， du? ?u?xdx? ?u?y dy dv? 61 / 110 ?v?xdx? ?v?ydy 隐函数的求导公式： FFFdydy?dy 隐函数 F(x,y)?0?x2?(?x) (?x)? dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z 隐函数 F(x,y,z)?0? ?xFz?yFz 2 高等数学复习要点总结 高等数学复习要点总结 希望有参考作用 张宇 62 / 110 下面是我给一个朋友写的，大概是今年 4 月份写的，发给同学们做个参考： 我把高数的东西整理了一下，按照这个复习，保证可以串起来，同时别忘了把基本功打好！ 高等数学 1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练； 2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流； 3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功； 4） 1的 次方的极限是重点，多练几个题； 5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你 说句话你体会一下， “ 连续的概念是逐点概念 ” ，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了； 63 / 110 6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定； 7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限； 8）两个重要极限、两个基本极限 把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用 e 的抬头法，一个是注意 “ 趋向不同， 结果就大不一样的极限 ” ，还有注意 lnx 的定义域 0; 9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。例题：无穷大无穷小 有界变量无界变量； 10）注意夹逼定理的条件很强，不要漏掉要点； 11） “ 见根号差，用有理化 ” ！ 这是思维定势，很 管用； 第二章 1） 导数的概念非常重要！一定会在解答题中让你展现出你对它的理解是透彻的，所以这里不要用什么特殊化思想，64 / 110 就是严格按照定义来演算推理； 2） 导数公式倒背如流的要求不算过分吧 呵呵； 3） 连续可导的要求一个弱一个强，只要改变条件的强弱就会有截然不同的做法，你做题的时候一定要总结一下，回顾一下，看看条件的强弱问题，然后在每个题上标记出来，便于以后再复习； 4） 由于有些函数求导会出现 x在分母上出现，所以要知道：即使不是分段函数，有时也要用定义去求导，而且乘积中某个因子在某点不可导，但乘积在该点也可能可导； 5） 中值定理的难点在于构造辅助函 数，构造函数是根据题目的要求来的，除了陈文灯等人写的方法外，关键是多看例题，熟练了，自然就会了； 6） 函数性态部分是基本功，一定要耐心的按照函数作图的几大步骤认真做几个题，这样就可以把函数的各种性态串起来了，方法：抄例题，然后背下来，自己默一遍； 7） 三个式子的不等事，即 A 8） 能用微分中值定理的，一般用积分中值定理也可以搞定，你也试试吧，体会一下数学65 / 110 思想和定理的联系，是有好处的； 9） 这部分的经济应用题不难，关键是仔细一些，对弹性等概念理解好，你经济学的好的多了，我就不说了：）； 第三章 1） 一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分； 2） 给你说几个准公式： ； ； ，作题时相当有用的哦，关键是反过来用你要有意识； 3） 这里特别提醒注意积分限函数，一句话： “ 积分限 x 在积分过程中是常量，在积分完毕后是变量 ” ，这是核心的东西，抓住它就不会迷失方向； 4） 旋转体的体积看来是一定要考了，当然是重点，关键：一个是公式记清，应该是绕 x轴还是 y轴都要搞的清清楚楚，另一个就是 66 / 110 体会移图和移轴的不同，这里要用到积分的计算，是体现基本功的地方； 5） 积分在经济中的应用也是重重之重，记清概念，把握公式，清醒审题，仔细答题，搞定； 6） 广义积分关键是计算，不是证明！记住重点； 7） 广义积分中积分函数是加减函数时不能将加减函数拆开分别积分，应将加减函数整体积分。积分上下限代入积分函数若无意义，则理解为取极限，你做做这个题就明白了： I= . XX-10-12 12:47 ? ? 2 楼 8） 其实 ? 67 / 110 ? ypcworld ? 位粉丝 ? 广义积分和定积分的概念很容易搞清，一句话：定积分存在有两个必要条件，即 积分区间有限，被积函数有界。破坏了积分区间有限，引出无穷区间上的广义积分，破坏了被积函数有界，引出无界函数的广义积分。 9） 把握住上面的这句话，就可以不晕了，看出来了 第一讲 : 一 . 数列函数 : 1. 类型 : 极限与连续 68 / 110 (1)数列 : *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初等函数 : (3)分段函数 : *F(x)? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ,; *F(x)?;* ?ax?x0?f2(x)x?x0 (4)复合 (含 f)函数 : y?f(u),u?(x) (5)隐式 (方程 ): F(x,y)?0 (6)参式 (数一 ,二 ): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数 : F(x)? 69 / 110 ? x a f(x,t)dt (8)级数和函数 (数一 ,三 ): S(x)? 2. 特征 (几何 ): ?ax,x? nnn?0 ? (1) 单 调 性 与 有 界 性 ( 判别 ); (f(x) 单调 ?x0,(x?x0)(f(x)?f(x0)定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数 : y?f(x)?x?f 二 . 极限性质 : 70 / 110 ? 1. 类型 : *liman; *limf(x)(含 x?); *limf(x)(含x?x0) n? x? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0 2. 无穷小与无穷大 (注 : 无穷量 ): 3. 未定型 : 0? ,1,?,0?,00,?0 0? 71 / 110 4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性 三 . 常用结论 : an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c)?maxa(b, c, ) ?a?0?0 n! n n 1n1n1nn xnlnnx1x x?1, lix?, 0 lim?0, (x?0)?, lim? x?x?x?0exxxlnx? lim? x?0 72 / 110 n , 0 e? x ?0x?, ?x? 四 . 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当 u(x)?0时 , sinux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x); 1?cosu(x)? e u(x) 12 u(x); 2 ?1?u(x); ln(1?u(x)?u(x); 73 / 110 (1?u(x)?1?u(x); arcsiunx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) 2. 泰勒公式 : 12 x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x); 2134 (3)sinx?x?x?o(x); 3! 12145 (4)cosx?1?x?x?o(x); 2!4! 74 / 110 ?(?1)2? (5)(1?x)?1?x?x?o(x2). 2! (1)ex?1?x?五 . 常规方法 : 前提 : (1)准确判断 1. 抓大弃小 (), 2. 无穷小与有界量乘积 (?M) (注 :sin ? 3. 1处理 (其它如 :0,?) 0?1 ,1,?M(其它如 :?,0?,00,?0); (2)变量代换(如 :?t) 0?x ? 75 / 110 1 ?1,x?) x 4. 左右极限 (包括 x?): 1 1x (1)(x?0); (2)e(x?); ex(x?0); (3)分段函数 : x, x, maxf(x) x 5. 无穷小等价替换 (因式中的无穷小 )(注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则 (1)先 ” 处理 ”, 后法则 ( 0xlnxxlnx 最后方法 ); (注意对比 : lim 与 lim) x?1x?001?x1?x 76 / 110 v(x) (2)幂指型处理 : u(x)?e v(x)lnu(x) (如 : e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极77 / 110 限函数 : f(x)?limF(x,n)(?分段函数 ) n? 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : (1)an?f(n)?limf(x) x? (2)双边夹 : *bn?an?cn?, *bn,cn?a? (3)单边挤 : an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f(x)?0? ?f ?fx0( ) ?x?0?x 1112n 78 / 110 3. 积分和 : lif, x)?)f(?)?f(?)fxd( 0n?nnnn 2. 导数定义 ( 洛必达 ?): li 4. 中值定理 : limf(x?a)?f(x)?alimf(?) x? x? 5. 级数和 (数一三 ): ? 2nn! (1)?an 收敛 ?liman?0, ( 如 limn) (2)lim(a1?a2?an)?an, n?n?n?nn?1n?1 79 / 110 ? (3)an与 ?(a n?1 ? n ?an?1)同敛散 七 . 常见应用 : 1. 无 穷 小 比 较 ( 等价 , 阶 ): *f(x)?kx,(x?0)? (1)f(0)?f(0)?f (2) (n?1) n 80 / 110 (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x?(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt?ktndt x 2. 渐近线 (含斜 ): f(x) ,b?limf(x)?ax?f(x)?ax?b? x?x?x 81 / 110 1 (2)f(x)?ax?b?,(?0) x (1)a?lim 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性 (附 :极限函数 , f(x)连续性 ) 八 . a,b上连续函数性质 1. 连通性 : f(a,b)?m,M ( 注 :?0?1, “ 平均 ”值 :?f(a)?(1?)f(b)?f(x0) 2. 介值定理 : (附 : 达布定理 ) (1)零点存在定理 : f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数 ); (2)f(x)?0?( ? x 82 / 110 a f(x)dx)?0. 第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一 . 基本概念 : 1. 差商与导数 : f(x)?lim ?x?0 f(x)?f(x0)f(x?x)?f(x) ; f(x0)?lim x?x0x?x0?x (1)f(0)?lim x?0 83 / 110 f(x)?f(0)f(x) (注 :lim?A(f连续 )?f(0)?0,f(0)?A) x?0xx (2)左右导 : f?(x0),f?(x0); (3)可导与连续 ; (在 x?0 处 , x连续不可导 ; xx可导 ) 2. 微 分 与 导数 : ?f?f(x?x)?f(x)?f(x)?x?o(?x)?df?f(x)dx (1)可微 ?可导 ; (2)比较 ?f,df 与 0的大小比较 (图示 ); 二 . 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式 ; (注 : (f(x) 84 / 110 2. 法则 : (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数三 . 各类求导 (方法步骤 ): dx1 ? dyy 1. 定义导 : (1)f(a)与 f(x)x?a; (2)分段函数左右导 ; (3)lim h?0 f(x?h)?f(x?h) h ?F(x)x?x0 , (注 : f(x)?, 求 :f(x0),f(x)及 f(x)的连续性 ) x?xa?0 2. 初等导 (公式加法则 ): 85 / 110 (1)u?fg(x), 求 :u(x0)( 图形题 ); (2)F(x)? (3)y? ? x a f(t)dt, 求 :F(x) ( 注 : (?f(x,t)dt),(?f(x,t)dt),(?f(t)dt) a a a xbb ?f1(x)x?x0 86 / 110 ,求 f?(x0),f?(x0)及 f(x0) (待定系数 ) ?f2(x)x?x0 dyd2y, 3. 隐式 (f(x,y)?0)导 : dxdx2 (1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性 ). (3)对数求导法 . ?x?x(t)dyd2y ,2 4. 参式导 (数一 ,二 ): ?, 求 : dxdx?y?y(t) 5. 高阶导 f (e) ax(n) (n) 87 / 110 (x)公式 : 1(n)bnn! ?ae; (; )?n?1 a?bx(a?bx) nax (sinax)(n)?ansin(ax? (uv) (n) ? 2 ?n); (cosax)(n)?ancos(ax? ? 88 / 110 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) ?u(n)v?Cnuv?Cnuv? 注 : f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式 : f(x)?a0?a1x?a2x2?anx?an? n! n 四 . 各类应用 : 89 / 110 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : y?f(x)上点 M0和过点 M0的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率 ?速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): ? 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 ) 五 . 单调性与极值 (必求导 ) 1. 判别 (驻点 f(x0)?0): (1) f(x)?0?f(x)?; f(x)?0?f(x)?; (2)分段函数的单调性 (3)f(x)?0?零点唯一 ; f(x)?0?驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : (1)表格 (f(x)变号 ); (由 lim 90 / 110 x?x0 f(x)f(x)f(x) ?0,lim?0,lim?0?x?0的特点 ) 2x?xx?x00xxx (2)二阶导 (f(x0)?0) 注 (1)f 与 f,f的匹配 (f图形中包含的信息 ); (2)实例 : 由 f(x)?(x)f(x)?g(x)确定点 “x?x0” 的特点 . (3)闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 ) 3. 不等式证明 (f(x)?0) (1)区别 : *单变量与双变量 ? *x?a,b与x?a,?),x?(?,?)? (2) 类型 : *f?0,f(a)?0; *f?0,f(b)?0 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx)，对数函数 (y=lnx)，幂函数 (y=x)，指数函数 (y?ax)，三角函数 (y=sinx)，常数91 / 110 函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?1 3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶 例如： lim x?0x?0xx sinx 4、两个重要极限： (1)lim?1 x?0x (2)lim?1?x?e x?0 1 x 92 / 110 ?1? lim?1?e x? ?x? g(x) x 经验公式：当 x?x0,f(x)?0,g(x)?， lim?1?f(x)? x?x0 ?e x?x0 limf(x)g(x) 例如： lim?1?3x?e 93 / 110 x?0 1 x x?0? ?3x?lim? x? ?e?3 5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y?|x|连续但不可导。 6、导数的定义： lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?f(x) 94 / 110 ?x x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f?x0? x?x0 7、复合 函数求导： df?g(x)?f?g(x)?g(x) dx 例如： y?x?x,y? 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 95 / 110 1 8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出 dy/dx x2?y2?1 例如：解：法 (1),左右两边同时求导 ,2x?2yy?0?y? x ydyx 法 (2),左右两边同时微分 ,2xdx?2ydy? dxy 9、由参数方程所确定的函数求导：若 ? ?y?g(t)dydy/dtg(t)? ， 则 ， 其 二 阶 导 数 ：dxdx/dth(t)?x?h(t) 96 / 110 d(dy/dx)d?g(t)/h(t)? dyd?dy/dx? 2dxdxdx/dth(t) 2 10、微分的近似计算： f(x0?x)?f(x0)?x?f(x0) 例如：计算 sin31? 11、函数间断点的类型： (1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如： y? sinx ， y?sgn(x)(2)第二类：振荡间断点和无穷 间断点；例如： f(x)?sin?， y?断点） 12、渐近线： 水平渐近线： y?limf(x)?c 97 / 110 x? ?1?x? 1 19、改变凹凸性的点： f(x0)?0， f(x0)不存在 20、可导函数 f(x)的极值点必定 是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理： (1)罗尔定理： f(x)在 a,b上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 ?，使得 f(?)?0 (2)拉格朗日中值定理： f(x)在 a,b上连