深海SPAR平台垂荡-纵摇耦合运动Mathieu稳定性分析.pdf

第2 9 卷第4 期中国海洋平台VoI29 N o 4 2 0 1 4 年0 8 月 C H I N AO F F S H O R EP L A T F O R M A u g ，2 0 1 4 文章编号：1 0 0 1 4 5 0 0 ( 2 0 1 4 ) 0 4 - 0 0 3 4 - 0 7 0 深海S P A R 平台垂荡一纵摇耦合运动M a t h ie u 桑松 1 ，2 ，3 ， 稳定性分析 石晓1 ，李长东1 ，徐学军4 ( 1 中国海洋大学，山东青岛2 6 6 1 0 0 ；2 河海大学，南京2 1 0 0 9 8 ； 3 四川大学，成都6 1 0 0 6 5 ；4 海洋石油工程( 青岛) 股份有限公司，山东青岛2 6 6 5 5 5 ) 摘要：采用理论分析和数值模拟相结合的方式，用希尔无穷行列式法推导得到了纵摇响应的马休稳定 性图谱，并用数值方法分析了平台纵摇马休不稳定运动的发生过程。结果表明：在平台参数确定的情况下，垂 荡幅值的增大是导致纵摇响应发生马休失稳的主要原因，即除满足发生马休失稳的频率关系之外，只有当波浪 激励作用引起的垂荡运动的幅值达到一定程度时，才会il 起纵摇运动的失稳现象。 关键词：M a t h ie u 方程；耦合运动；参数激励；稳定性 中图分类号：P 7 5文献标识码：A S t u d yo nM a t h ie uS t a b il it yo fH e a v e p it chC o u p l e dM o t io n s o fS P A RP l a t f o r minD e e pS e a S A N GS o n 9 1 2 “，S H IX ia 0 1 ，L IC h a n g d o n 9 1 ，X U X u e j u n ( 1 O ce a nU n iv e r s it yo fC H I N A ，C o l l e g eo fE n g in e e r in g ，S h a n d o n gQ in g d a o2 6 6 1 0 0 ，C h in a ； 2 H e h a i U n iv e r s it y ，N a n j in g2 1 0 0 9 8 ，C h in a ；3 S ich u a nU n iv e r s it y ，C h e n g d u6 1 0 0 6 5 ，C h in a ； 4 O f f s h o r eO ilE n g in e e r in gC o ，L t d ( Q in g d a o ) ，S h a n d o n gQ in g d a o2 6 6 5 5 5 ，C h in a ) A b s t r a ct ：T h isp a p e rU S e St h ein f in it eH il ld e t e r m in a n tt od e r iv et h ep it ch in gr e s p o n s e M a t h ie us t a b il it ym a pa n da p p l ie st h en u m e r ica lm e t h o dt oa n a l y z et h ep l a t f o r mp it ch in g M a t h ie uu n s t a b l em o v e m e n t sb yt h ew a yo ft h e o r e t ica la n a l y s isa n dn u m e r ica ls im u l a t io n T h e r e s u l t ss h o wt h a tint h eca s eo fp l a t f o r mp a r a m e t e r sd e t e r m in e d ，t h eM a t h ie uin s t a b il it yo ft h e p it ch in gr e s p o n s eism a in l yd u et ot h ein cr e a s eo fh e a v ea m p l it u d e I na d d it io nt om e e t in gt h e in s t a b il it yf r e q u e n cyr e l a t io n s h ipo ft h eh e a v em o t io na n dw a v e ，o n l yw h e nt h eh e a v em o t io n a m p l it u d ein d u cin gb yt h ew a v ee x cit a t io n sr e a ch e sace r t a inl e v e l w il lt h ein s t a b il it yo ft h e p it ch in gm o t io no ccu r K e yw o r d s ：M a t h ie ue q u a t io n ；co u p l e dm o t io n s ；p a r a m e t r ice x cit a t io n ；s t a b il it y 引言 随着深海海洋资源的开发，越来越多的浮式海洋平台投入运营。深海S P A R 平台由于其自身重心低、 收稿日期：2 0 1 3 - 0 6 0 3 基金项目：国家自然科学基金( 5 1 0 7 9 1 3 5 ) ；青岛市科技发展计划项目( 1 2 1 4 1 一( 1 8 ) - j ch ) ；水文水资源与水利工程科学国家重 点实验室开放基金( 2 0 1 2 4 9 1 0 1 1 ) ；水力学与山区河流开发保护国家重点实验室开放基金( 1 2 1 0 ) 。 作者简介：桑松( 1 9 7 4 一) ，男，教授。 第4 期 桑松，等深海S P A R 平台垂荡一纵摇耦合运动M a t h ie u 稳定性分析 3 5 水线面小、垂荡幅值小、初期投资低等特点，在全世界范围内得到了广泛应用。但由于其自身结构特点，其垂 荡与纵摇固有周期比接近1 ：2 ，当外界激励满足一定条件时会出现混沌和分叉等不稳定运动卜引。J u nB R h o h 和H a n gS C h o i 4 1 对规则波中经典S p a r 平台的马休不稳定性进行了研究，指出当平台的纵摇固有周 期与垂荡固有周期比近似为2 ：1 时，即使波高较小，也会发生纵摇的不稳定运动。通过数值和试验结果的比 较，证实了S p a r 平台在纵摇固有周期为垂荡固有周期的2 倍时最容易失稳。 1 平台运动方程的简化 由于平台在深海中受到的首摇激励力矩很小，并且由于S p a r 平台横向和纵向是对称的，所以平台的运 动可以简化为一个三自由度的运动方程争7 | ： m X g = 凡 m Z ，一F z L l ， I ：, y q = = M y 由于只研究S p a r 平台的垂荡一纵摇耦合运动，所以只用( 1 ) 中的后两式。其中垂荡方向合力和纵摇方向 的合力矩分别为： F z F R + F w + F w D + F H s + F M + F W 缸+ F B 。 M y M R + M W + M W D + M M + M H S + M W 砌+ M 巳。 式中：R 为辐射力；F 为波浪激励力；F 劝为波浪漂移阻尼力；F M 为系泊力；F H s 为静水回复力；F G 为流力；村为风力；为辐射力矩；M W D 为波浪漂移阻尼力矩；为波浪激励力矩；M M 为系泊力矩；M H s 为静水回复力矩；M 职村为风力矩；M 乙一为流力矩。 不考虑风、流及二阶力的作用，应用简化方法研究平台主体垂荡一纵摇耦合运动，忽略波浪漂移阻尼力、 波浪漂移阻尼力矩、风力、风力矩、流力和流力矩对S p a r 平台主体的影响，方程( 1 ) 可迸一步简化为： f 戋( f ) + P 1 氛( ) + 叫i( ) 一p 2 鬟( ) 一 c。s a tr 9 、 1 戋( ) + p ；怠( ) + 岛( ) 一p 5 ( ) 毛( z ) + 风器( ) ( ) ：优co s u 7 式中：户，：丽 之丽；p 。一丢；一熹；卢。： p g V 焉1 + ip g 玎A - wG M ；卢。一五可； i= 尚；T n - - 盘；f l = p g M A w + h 删+ F z ；碟一瓦p g V + 觚G M ； 2 马休稳定性分析 大的垂荡运动能产生随时间变化的函数，从而对纵摇回复力矩产生影响。纵摇响应发生大幅振动的机 理是垂荡运动的幅值达到一定程度之后，使纵摇运动方程变成一个大激励幅值的参数激励系统。 2 1 理论分析 马休方程的参数激励项随时间的变化规律是简谐的，是希尔方程的特例( 参数激励是一般的周期函数) 。 希尔方程的标准形式为： X + 口+ 夕( ) X 一0( 3 ) 式中：p ( ) 为周期函数，由于仅讨论随时间简谐变化所激起的振动，故令户( ) 一& o s t ，希尔方程则转化 为马休方程： x + a + 3 co s t X 一0 ( 4 ) 有阻尼马休方程的一般形式为： X + C T + 口+ 艮o s t 3 X 一0( 5 ) 中国海洋平台第2 9 卷第4 期 对于这种形式的非线性方程尚无法求得精确解，但可以通过参数口，卢研究该马休方程的稳定性，并通过 摄动法和希尔无穷行列式法进行分析。根据F l o q u e t 理论，具有周期系数的线性微分方程的过渡曲线能把 口，卢平面分成稳定区域和不稳定区域，沿着过渡曲线方程星+ 矗+ a + f l co s t X 一0 至少有一个解是周期性 的，具有周期为2 7 【或4 7 c的解 8 10 | 。在a ，卢平面中，对于无阻尼的马休方程，其过渡曲线是分别从0 2 5 和1 出发的两条曲线。两曲线围成的内部区域为纵摇响应不稳定区域。 在式( 2 ) 中，假设垂荡运动仅含一个谐波项并且忽略波面升高及二阶耦合对纵摇响应的影响，则垂荡运 动可表示为( f ) 一C O S O ) 。t ，、分别为垂荡运动幅值、固有频率。这样纵摇运动可表示为： ( J 5 5 + J5 5 ) 戋( f ) + C 5 5 色( ) + P g vo ( 西订一去co s 峨) 岛( f ) 一收co s e c( 6 ) 令r 一吡t ，式( 6 ) 可以得到以下简化： ( r ) + 砖s ( r ) + ( a + J 8 c。s r ) ( r ) 一m g cO S ( 署r ) ( 7 ) 式中：c一订E ；口一石毒嗾一囊；卢一孬可：；m 。一盎；O ) 5 为纵摇运 动的固有频率。 令式( 7 ) 的等式右边为零，则纵摇运动方程转化为标准的马休方程： ( r ) + 砖5 ( r ) + ( 口+ p co s r ) $ 5 ( r ) = 0( 8 ) 马休方程的稳定性由参数口，p 决定。为了得到不同( a ，国的稳定性图谱，将方程以2 兀为周期的解定义 为： ( ) 一 ：s 。P 如 ( 9 ) 将式( 9 ) 带入式( 8 ) ，并考虑到co s t 一妻( P 打+ e - 打) ，使用变量代换得到： P 加( 专J 8s 计1 + ( 口+ in c n 2 ) 晶+ 可1p s ，卜1 ) 一o( 1 0 ) 仅当所有的系数为零时，式( 1 0 ) 才能成立： 寺J 9s ，斗1 + ( a + in c一，z 2 ) 如+ pS n - 1 0 ，咒= 0 ，1 ，2 ， ( 1 1 ) 要使式( 1 1 ) 有非零解，则这个无限系数的行列式的值必须为零，其中口7 2 。其对应的行列式为： 式中：以一 2 ( a + in c- _ 孬 咒一0 ，1 ，2 ， 一0 同理，将方程以4 n 为周期的解定义为： ( t ) 一即扣 将其带人式( 8 ) 并考虑到co s t 一去( 矿+ e - 。) ，使用变量代换得到 一2 。cl in t ( 专J 8s 计z 卜( g + 丢锄c一 2 ) 晶+ 虿1 卢s ，z ) 一。 仅当所有的系数为零时，匕式才能成立： ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) O O L O 1 孔L 1O h 0 O 第4 期桑松，等 深海S P A R 平台垂荡一纵摇耦合运动M a t h ie u 稳定性分析 丢卢s 什z + ( 口+ 虿z o 以c一百1 ，z 2 ) s n + i1J 9s ，。一o ( 1 5 ) 要使上式有非零解，则这个无限个系数的行列式值必须为零，其中口咒2 。其对应的行列式为： = = 0( 1 6 ) 式中：托一夏：舂以一o ，1 ，2 ， 由解周期为2 兀，4 丌得到的两行列式( 1 2 ) 和( 1 6 ) ，并且取不l a d 的阻尼比，可得到马休稳定性图谱( in 图1 所不) 。 ! 可以看出，解周期为2 兀对应的稳定区域受到 阻尼比变化的影响较大。当系统加上阻尼后，不稳 一 定区域远离口轴，说明添加阻尼之后不稳定区域变 小了。尽管如此，在解周期为2 丌对应的稳定区域 受到阻尼比变化的影响还是有限的。一般情况下 、。 S p a r 平台垂荡纵摇频率之比在2 ：1 附近，对应口 值在0 2 5 附近，所以可以只考虑马休稳定解周期 ”、 为4 兀的情况。当垂荡纵摇频率之比为2 ：1 ，即口 一0 2 5 时，不稳定区域最大，所以在进行平台设计 t 】 时要尽量使平台纵摇固有频率远离垂荡固有频率 的一半。 2 2 算例分析 以某一J I PS P A R 平台n 妇参数为例，已知该S p a r 平台的垂荡、纵摇固有频率分别为0 2 1 6r a d s 和 0 1 0 5r a d s ，两者频率之比接近2 ：1 ，将相关参数代入式( 8 ) 得到： 口一蓦一。3 5 - 6 ，卢一夏可：= 。，7 6 由此可见，S p a r 平台的口值一般不会大于l ，故研究经典S p a r 平台垂荡一纵摇耦合非线性运动的马休稳 定性问题时，可以仅分析马休方程周期为4 7 c的解时的稳定性问题而忽略掉图1 中a 0 7 的部分。 根据马休失稳的条件：( 1 ) 波浪频率等于垂荡固有频率；( 2 ) 垂荡固有频率等于纵摇固有频率的两倍，下 面取波浪激励频率为0 2 1 6r a d s ，逐渐增大波幅，分别取h 一0 1m 、0 1 8 0m 、0 1 8 2m 和0 1 9 01 T I ，观察纵 摇响应发生马休失稳的过程。这四种波幅在图1 中对应的( a ，p 坐标分别处于稳定域、临界线、不稳定域、 不稳定域中。图2 图5 分别对应四种不同激励状态下的垂荡、纵摇响应情况。 由图2 可以看出，当波幅为0 11 T I 时，因为垂荡运动发生共振，所以虽然波浪幅值较小，垂荡幅值仍然达 到了71 T I ，响应频率等于垂荡固有频率，响应处于稳定状态；纵摇响应幅值很小，响应频率等于波浪激励频 率，能量稳定，处于稳定状态。 由图3 可以看出，当波浪幅值为0 1 8 0m 时，垂荡运动幅值在15 0 0S 之前缓慢增大，最终稳定在1 1m 左右；观察纵摇响应，此时纵摇幅值依然很小，但当垂荡幅值达到1 lI T I 时，纵摇响应幅值开始增大，并且响 应频率中开始出现纵摇固有频率成分，由纵摇相图可知，此时纵摇响应能量在不断发生变化，马休不稳定现 象开始发生。 O O L O 托O n O 1 O l O 1 O L O 托0 h O O 3 8 0 0 0 40 0 0 中国海洋平台 O 1 0 H 1 0 4 圆频率【r a ds O O 第2 9 卷第4 期 蘑荡位移in 圆频率( r a d s ) 纵摇角度a d ) 。l o ， 摇时域响应( 波幅0 1m 。频率0 2 1 6r a d s ) 1j l O5 O O x j O t l O 圆频率 r a ds 圆频率( r a & s ) O 图3 垂荡纵摇时域响应( 波幅0 1 8 0m 。频率0 2 1 6t a d s ) 0I O 垂荡位移m 纵摇角度fr a d 叫O 由图4 可以看出，当波浪幅值为0 1 8 2m 时，垂荡响应与波幅为0 1 8 0m 时的情况相似，而纵摇在15 0 0 S 之后响应幅值急剧增大，其响应频率中波浪激励频率成分急剧减少，同时由相图也可以发现，纵摇响应能 一三墼蚓臻誊 一名】)型蒋整簪毒壤尝 一芝暑1)再爱嚣 一t七0一：ijf聱整簪毒肇番 一兽三掣嗣媳崔 一士一一螫鍪蜜语言填学 一要焉J)掣簧挺暴 一*龟。一掣辩整簪rff案毳 一E一淫芝媳嘤 C 1 ， 一f)I：J)掣搔颦熹 一LIj一漤乏遵睁 一专J)蛰警暴 O， 问m 时 ，- 第4 期 U 0 O 2 0 2 0 0 O O 桑松等深海S P A R 平台垂荡一纵摇耦合运动M a t h ie u 稳定性分析 4 ( ) 0 0 ，5 0 j n x 1 0 圆频率r a ds 圆频率( r a d s l O 图4 垂荡纵摇时域响应( 波幅0 1 8 2m 频率0 2 1 6r a d s ) 一 k _ 1 0 20 0 0 时间 05 1 0 1 圆频率( r a ds 圆频率( r a d Y s 图5 垂荡纵摇时域响应( 波幅0 1 9 0m 频率0 2 1 6r a d s ) oo 垂荡位移 一O0 lo 纵摇角度 U 垂荡位移【n 1 o0 1o 纵摇角度 量是在不断增大的。可见，此时垂荡响应能量已经达到饱和，波浪激励能量被传递到纵摇，导致了剧烈的纵 摇响应。 一薹)垫爱壤阜 加。 川 一士I)掣辩基潞罨臻尝 一lL一一淫拿壤尝 一tp一蛰爱壤嚣 舱O 倒 ?-p2一掣譬鍪鼍景晕磊 一罩I)磐芸篥番 一兰uI)垫潮镀拳 一?#f)磐浆鍪漳茸啦学 一；I)蜍兽壤学 一，p目j)墼簧蜷磊 O 一彳)e一型誉塞鼍督晕纂 一焉J)型霉骧蒜 4 0 中国海洋平台第2 9 卷第4 期 由图5 可以看出，当波浪幅值达到0 1 9m 时，垂荡响应幅值仍然在1 1m 左右，但是在30 0 0S 附近有一 定减小，此时对应纵摇响应幅值的极大值，出现了无周期运动现象。纵摇响应频率为其固有频率，并且出现 了0 2r a d 的大幅纵摇响应，运动处于不稳定状态。 3结论 通过以上数值分析可知：当波浪频率与垂荡固有频率相同时，由耦合导致的纵摇马休非线性运动不一定 发生，这取决于波浪激励作用引起的垂荡运动的幅值的大小，只有当垂荡幅值达到一定程度，才会引起纵摇 大幅不稳定运动的失稳现象，因此在平台参数确定的情况下，垂荡幅值的增大是导致纵摇响应由稳定过渡到 不稳定的主要原因。此外，纵摇响应由稳定状态进入不稳定状态的过程中，纵摇响应频率成分会由以激励频 率为主逐渐过渡到以纵摇固有频率为主。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 3 1 7 3 1 7 参考文献 董艳秋深海采油平台波浪载荷及响应 M 天津：天津大学出版社，2 0 0 5 曾晓辉，沈晓鹏，吴应湘深海平台分析和设计中的关键力学问题 J 船舶工程，2 0 0 5 ，2 7 ( 5 ) ：1 8 2 1 R A NZ h ih u a n g C o u p l e dd y n a m ic a n a l y s iso ff l o a t in gs t r u ct u r e sinw a v e sa n dcu r r e n t s D T e x a s ：T e x a sA MU n iv e r s it y ，2 0 0 0 R h oJB ，C h o iHS ，S h inHS As t u d yo nm a t h ie u - t y p ein s t a b il it yo fco n v e n t io n a lS p a rp l a t f o r minr e g u l a rw a v e s J T h eI n t e r n a t io n a lJ o u r n a lo fO f f s h o r ea n dP o l a rE n g in e e r in g ，2 0 0 5 ，1 5 ( 2 ) ：1 0 4 1 0 8 张帆，杨建民S p a r 平台的发展趋势及其关键技术 J 中国海洋平台，2 0 0 5 ，2 0 ( 2 ) ：6 - 1 1 C h a k r a b a r t iSK H y d r o d y n a m icso fo f f s h o r es t r u ct u r e s ：M a t h e m a t ica lt h e o r ya n dit sa p p l ica t io n sins t r u ct u r e s C N e w Y o r k ：S p r in g e r V e r l a gN e wY o r kI n c，1 9 8 7 M aQW ，P a t e lMH O nt h en o n - l in e a rf o r ce sa ct in go naf l o a t in gS p a rp l a t f o r mino ce a nw a v e s J A p p l ie dO ce a nR e s e a r ch ，2 0 0 1 ，2 3 ( 1 ) ：2 9 4 0 N a y f e hAH P e r t u r b a t io nm e t h o d s C N e wY o r k ：w il e y _ V C H ，1 9 7 3 Z H A N GC h e n y i，Z h uCM ，L inZQ T h e o r e t ica la n de x p e r im e n t a ls t u d yo nt h ep a r a s it ica l l ye x cit e dv ib r a t io no fm a s s l o a d e ds t r in g J N o n l in e a rD y n a m ics ，2 0 0 4 ，3 7 ：1 - 1 8 褚亦清，李翠英非线性振动分析 M 北京：北京理工大学出版社，1 9 9 6 H a l k y a r dJ ，H o r t o nEH S p a rp l a t f o r m sf o rd e e pw a t e ro ila n dg a sf ie l d s J M a r in eT e ch n o l o g yS o cie t yJ o u r n a l 。1 9 9 6 。 3 0 ( 3 ) ：3 - 1 2 R A NZ h ih u a n g C o u p l e dd y n a m ic a n a l y s iso ff l o a t in gs t r u ct u r e sinw a v e sa n dcu r r e n t s D T e x a s ：T e x a sA MU n i v e r s it y ，2 0 0 0 M aQW 。P a t e lMH O nt h en o n - l in e a rf o r ce sa ct in go naf l o a t