希尔伯特公理体系.ppt

初等几何研究,内江师范学院数学与信息科学学院主讲教师：王亚雄TELM：85072886,1.2希尔伯特公理体系,在历代数学家所积累的极其丰富的公理资料基础上，德国数学家希尔伯特(Hilbert，公元18621943)完成了几何学的基础构造工作他于1899年出版名著几何基础，建立了几何学完善的公理体系“希尔伯特公理体系”,希尔伯特的公理体系建立在基本概念和公理的基础上，基本概念由两部分组成：一部分是几何学研究对象(也称基本元素),如点、线、面等；另一部分是元素间的基本关系，如结合关系、合同关系等公理共有5组20条希尔伯特公理体系满足他自己提出的三个基本要求，即相容性（公理间互不矛盾）、独立性（每条公理都不能从其余的公理推出）、完备性（公理体系所有模型都是互相同构的）,基本元素：点，线，面。,基本关系：结合关系（如点在直线上，直线在面上等），顺序关系（如一点在两点之间，一射线在两射线之间等），合同关系（如两线段合同，两角合同等）,基本公理：,、结合公理8条几何基本元素“点”、“直线”、“平面”之间的结合关系就是：“点在直线上”可以说成“直线通过点或直线含有点或点属于直线”；点和平面也有这种关系，结合公理要求满足8条公理：,（1）通过不同两点必有一条直线（2）通过不同两点的直线至多有一条（3）每一条直线上至少有两点；至少有三点不在同一条直线上（4）通过不共线的三点必有一个平面；每一个平面上至少有一点（5）至多有一个平面通过不共线的三点（6）若一直线有不同两点在某个平面上，则该直线上所有点都在这平面上（7）若两个平面有一个公共点，则至少还有一个公共点（8）至少有四个点不同在一个平面上,、顺序公理4条,直线上的点与点之间有一种“介于”关系，通常用“介于之间”的语言来表示“介于”关系表示点与点之间的“顺序关系”，它们必须满足4条顺序公理,（1）若点B介于两点A、C之间，则A、B、C是同一直线上的三个不同点，并且B也介于C和A之间（2）对于任意不同的两点A和B，直线AB上至少有一点C存在，使得B介于A和C之间（3）在共直线的不同三点中，至多有一点介于其余两点之间（4）巴士公理设A、B、C是不在同一直线上的三个点，a是平面ABC上的一条直线，它不通过A、B、C中的任一点若a有一点介于A和B之间，则a必须还有一点介于B和C之间或A和C之间,、合同公理5条,根据“介于之间”的关系和顺序公理，可以定义“线段”、“射线”、“角”等概念，线段与线段之间具有一种关系，这种关系用词语“合同”或“相等”来表示合同关系必须满足5条公理：,（1）若A、B是直线a上两点，是该直线或另一直线上一点，则在直线上点的任意任意指定的一侧，总存在一个而且只有一个点，使得线段合同于（或等于）线段,（2）若线段合同于，合同于，则合同于即若,则,（3）若点介于和之间，介于和之间，且，,则,（4）设平面上给定由点发出的射线、所成的角，在平面上给定直线并指定其一侧，设是上从点发出的射线，则上指定的一侧存在由发出的唯一射线,使得，又,（5）设、是不在同一直线上的三点，、也不在同一直线上若直线，且，则,、连续公理2条,（1）阿基米德公理设和是任意两条线段，则在直线上必定存在着有限个点使得介于和之间，介于和之间，线段之间有合同关系，并且使得点介于点和之间亦即存在自然数，使得,（2）康托尔公理设在任意直线上给了线段的无穷序列，其中每一个后面的线段连同端点完全落在前一个线段的内部，并设对于任何预先给定的无论多么短的线段，总可以找到一个自然数，使得则在直线上存在着一点，落在所有线段的内部,、平行公理1条,同一平面上没有公共点的两条直线叫做平行线，或称该两条直线互相平行,平行公理：设是任意一条直线，是外的任意一点，那么在和所决定的平面上，至多只有一条直线通过且与平行,这条公里是英国数学家普雷菲尔(Playfair)首先用来代替欧几里得第5公设的，因而又称普雷菲尔公理，它与欧几里得第5公设等价，但形式上较为简单,前四组公理、及其推论组成的几何学称为绝对几何学，由绝对几何学加上欧氏平行公理展开的几何学称为欧氏几何