四年级数学错题扫雷系列大合集.pdf

第一讲：定义新运算 【1 号雷】找回消失的乘号 图中这位同学，严格按照题目给出的算式进行代入，这点做的非常好。但写出 来的式子自己不会算，因为缺少符号。小学阶段，如果有符号消失，那一定是 乘号。 正解之入门款：先在两个括号前填上乘号，再进行带入。 正解之高端款：先把原式经过化简变为 a+b，再进行带入。 【2 号雷】新运算没有交换律 图中这位同学把“功亏一篑”这四个字诠释得很完美。代入正确，计算正确，就 是把 4 和 13 的顺序搞错了。 正解：这位同学用红笔订正，醒目，值得表扬。 【3 号雷】不会解的方程 图中这道题的第二问相信很多同学都错了，在我的学生中，这道题的错误率高 达 80%以上。其实这位同学的规律找的很对，方程也列得非常完美，但是这个 方程的学名叫做“三次方程”，它的解法不仅咱们小学不会学到，初中、甚至高 中，也并不会学。那这样的方程怎么解？一字箴言：试！ 上一问中 n=5，结果已经是 210 了。所以如果结果是 210，n 一定比 5 小。n 又是正整数，1、2、3、4 挨个试就得到结果了。 【4 号雷】计算错误 本讲作业中出现的计算错误多如牛毛，随便找一个都有很多人错的一模一样。 不复赘言，赵老师需要喝口水冷静一下。 不过各位同学不要沮丧，因为长成这个样子的计算错误，老师们也经常犯，通 常是因为题目过于简单，选择口算，一不小心就错了。我就记得我小时候经常 这样错： 5x=45 我得 x=5。 或者 7x=35， 我得 x=7。 这种让人哭笑不得的计算错误，不仅孩子犯，老师和家长小时候也犯，不值得 大惊小怪。巴特！巴特！你必须要找到自己经常犯错的地方，记住它，找到解 决方法。比如我意识到自己总在这里犯错，就多了个心眼，每次碰到这种非常 简单的方程，一定把最后一步代回去验算一下，五五二十五，七七四十九，我 马上就能够发现自己的错误。同学们，你的错误，只有你能解决，赶紧行动起 来吧！ 第二讲：体育比赛中的数学 【1 号雷】单循环赛的公式 单循环赛比赛场数=队数 （队数-1） 2 这种错误方法有两个： 1、 忘了要除以 2。 2、 如果一道题分两问，第一问是每个人比几场，第二问是一共比几场。就会 有很多同学在第二问中错把第一问中的场数当成队数，写成场数 （场数-1） 2。 错法统一，我就不贴图了，你中招了么？ 正解正解：背！公！式！背！公！式！不止要背算式的样子，还要背前提（单循环赛），背问 题（总场数），背乘数（队数），背算式（ 2）。不止这个公式，每个公式都 要这样背。 【2 号雷】将公式应用在求某个人具体分数或比赛没有进行完的时候 来看一道例题： A、B、C、D、E 和艾迪六个人进行单循环赛，目前比赛已经进行了一部分. 已 知 A 赛了 5 场，B 赛了 4 场，C 赛了 3 场，D 赛了 2 场，E 赛了 1 场，那 么艾迪赛了几场？ 这是一道书上的例题，作业中也有类似的题目。最普遍的错误解法是： 6 个人共比：6 （6-1） 2=15（场） 艾迪比了：15-5-4-3-2-1=0（场） 事实上，题目中 A 比赛的 5 场是只针对他自己来计算的，举个例子，A 和 B 如 果比了 1 场，那么 A 自己的比赛场数加 1，B 也加 1。也就是说，条件给出的 5、4、3、2、1 是有重复的。而计算总场数的公式之所以 2，就是为了去掉重 复的部分，所以这样计算并不正确。 退一步讲，计算总场数的公式只能在比赛完全结束之后才能使用，而题目明确 告知“目前比赛已经进行了一部分”，并未完成，更说明这个做法是错误的。 那么这道题到底要如何做？点线图。记得及时把满足条件的人打钩打钩哦 点线图同样可以应用在求某个人具体分数的场合。也就是说，只要看到求具体 得分情况，就可以考虑使用点线图。 第三讲：图形计数 【1 号雷】公式的综合应用 这道题有很多同学是这样做的：（5+4+3+2+1）+（3+2+1） 5=45（个） 能看出是怎么错的么？其实是按照下图中的阴影分成两部分去计算了。 但事实上正确的解法是怎样的呢？应该首先看带上面帽子的三角形有 4 层，所 以（5+4+3+2+1） 4=60 个。再看戴左下角（注意，与刚才的绿色部分不重 复）帽子的三角形有 5 层，所以（3+2+1） 5=30 个。一共就有 90 个。 【2 号雷】添线法 这个简直是错题之王，图形稍微变一下就会数错。那么今天来给大家介绍一个 小窍门：数线头数线头。比如下面这道题，是书上第三讲的例一。同学们在数第四个 的时候，几乎全军覆没。但如果用数线头的方法，就不会数漏了。 看下图。我们要研究图 4 添加的那条线一共增加了多少个三角形，需要分别看 以下六条红线段增加的三角形。 用最长的那根来研究：红线的两个端点朝左上方引出了 5 条小线头，分别是 1、2、3、4、5 号，从每个端点中取一条线头进行组合，可以有 14、15、24、 25、34、35 六种情况，其中 24、34、35 可以延伸成三角形，共 3 个；同理， 朝右下方引出的 2 条小线头，分别是 6 号和 7 号，只能有一种组合方式，就是 67，而这种组合方式刚好可以延伸出 1 个三角形。所以，最长的红线一共可以 增加 4 个三角形。 听起来好像是很麻烦的方法，但是只要勤加练习，就会用起来非常的顺手，而 且错误率非常的低。数线头，你学会了么？ 【3 号雷】鼠标法如何找点？ 咱们先来看一道错题。题目要求“包含”好未来三个字，于是这位同学就真的用 点把好未来包了起来，看得我哭笑不得。 先明确一件事，鼠标法数长方形的原理是什么？你在电脑桌面上，想要用鼠标 选中几个图标，就要在这几个图标的左上角选中，拖动到右下角再松开。那么 利用乘法原理：利用乘法原理： 包含好未来的长方形数=左上角的点数 右下角的点数 如果按照这位同学选点的方法，我从左右各选一个红点，是无法把好未来三个 字放进框里的。 所以，到底要怎么做呢？首先，把要选中的内容放在一个尽量小的框框尽量小的框框里，就 像这个绿色的框框。然后，在框框的左上角和右下角分别描出所有的点，也就 是 3 个和 6 个，相乘，得到的 18 个，就是结果啦。 同样的鼠标法还可以像下图这样错，也就是少了做题的第一步：把要选中的内 容放在一个尽量小的框框里。不过要表扬下面这位同学，掌握了最基本的选中 一个图形的鼠标法，给你点赞哦 第四讲：多位数计算 【雷区】多少个数？多少个【雷区】多少个数？多少个 0？多少个？多少个 9？如何进位？如何借？如何进位？如何借 位？位？ 怎么样？是不是看每张图片都有种“好像错得还挺有道理”的感觉？这也就是为什么 第四讲的错题如果让学生自己订正，其实很难发现到底错在哪里了。 【避雷针】【避雷针】列，竖，式！数，数，位！列，竖，式！数，数，位！ 用列竖式的方式对准数位，用数数位的方式计算共有多少个数，以及结果有多少个 重复数字。文字说不清楚，举个例子吧。 大家，看明白了么？ 其实我在上课的时候并没有意识到大家会错得这么厉害。是一位叫雅琪的小朋友， 因为忍无可忍自己总是做错，仔细琢磨钻研出“数数位”的防错办法；加之我前几天给一个 学得云山雾绕的小姑娘补课，发现列竖式可以解决绝大多数问题。于是经过整理，就有了 这么一套方法。谢谢雅琪小朋友！谢谢雅琪小朋友！也希望大家可以多多总结自己的方法，我会整理之后， 帮助你分享给大家的 第五讲：等积变形 本讲两部分，等积变形和共高三角形，有的同学算式列得对，结果也对，但辅助线 错的一塌糊涂，这种情况我是绝不可能算对的，因为，你，是，猜，的！ 共高三角形，有些老师上课讲的是“雷劈三角形”，说的是从三角形某顶点向对边等 分点连线，所得小三角形面积相等。模型本身很简单，但同学们的应用有一些问题。 【1 号雷】看着像号雷】看着像 15 就是就是 15 有许多同学交上来的作业长成下图这样。他们添加了两条辅助线（红色），求出总 面积是 60。答案正确，却被我判错。我只有一个问题：从图上添加的辅助线，并看不出三 角形 ABD 的面积为什么是 15。 【避雷针】【避雷针】正解在下面：453=15，这个算式非常重要，必须包含在过程中。 【2 号雷】算式都对，号雷】算式都对，但跟图对不上号但跟图对不上号。 看看这辅助线画的，几个意思？难道是按照辅助线把ABC 平均分成 15 份，每份是 3？ 【避雷针】【避雷针】一个三角形中，只有从同一个顶点画线分成的三角形之间才有关系。正解在 下面。 【3 号雷】号雷】“不不”等积变形等积变形 两个问题：这讲学习的等积变形只针对什么图形？三角形。 等积变形只能在什么地方进行？平行线间。 如果你能够回答对以上两个问题，那做题应该是没有问题的。来看几个错法。 【避雷针】【避雷针】改谁？移谁？在哪儿移？ 先找出你想要改变的图形必须是三角形必须是三角形，比如要改变ABC； 用手指盖住想要移动的点，比如 A； 剩下两个字母是 BC，找 BC 的平行线。 以上三步可以帮助你正确进行变形。上题正解如下。 第六讲：一半模型 关于本讲我只有一句话要说！ 背！模！型！背！模！型！ 拼命在题目中找这六个图形，拼命找！ 如果题目有这六种中的任意一种，直接一半。如果题目没有怎么办？ 找平行线，等积变形，变成这六种； 如果有中点，尝试以带中点的这条线为底边，画一个三角形；或以带中点的这条 线为腰，画一个梯形。 所有问题，用以上两步，均可解决！ 第七讲最值问题 第七讲的上课情况非常乐观，基本上就是老师问什么答什么，顺利得让人想 哭。但是作业却出现了各种细节性问题，遗憾得让人更想哭。所以今天的主 题，说是扫雷，其实更像是捉虫，都是些非常细小的出错点，我们一起来看看 吧。 【雷区一】【雷区一】 永远审不清的条件：永远审不清的条件： 自然数？非零自然数？小木棍？可相同？不可相同？几个数？几位数？自然数？非零自然数？小木棍？可相同？不可相同？几个数？几位数？ 【避雷针】【避雷针】 圈出每个条件圈出每个条件 并在满足的条件上打钩！并在满足的条件上打钩！ 前半句很容易做到，值得圈出的条件就是以下这些：非零，自然数，小木棍， 可相同，不可相同，几个数，几位数 事实上，很多同学已经会自觉圈出重要的条件了，提出表扬！ 但可怕的是这类题细碎的条件很多，很容易顾头不顾脚。有些同学甚至已经在 审题时圈出了重要条件，却在做题时又遗漏了。 所以，请务必务必用打钩打钩的方式，帮助自己检验是否满足了所有的条件。 最后，有两个条件是无法通过上述方法进行检验的，赵老师送大家两句话： 看见自然数就想 0！ 没说不同就是可以相同！ 【雷区二】【雷区二】 极端？平均？傻傻分不清楚！极端？平均？傻傻分不清楚！ 【避雷针】【避雷针】 拆数：大大小小极端化，反之则是平均化拆数：大大小小极端化，反之则是平均化 求乘积：最大平均化，最小极端化求乘积：最大平均化，最小极端化 我解释一下这两句话的意思。 1、 拆数问题拆数问题： 如果题目要求大的更大，小的更小，即“大大小小”，就是极端化。如果这 些数的和一定，让小的那些数从 0 开始递增即可（当然还要关注题目要求是 否可以相同，以及是否可以为 0）。 如果题目要求大的尽量小，小的尽量大（这两句比较拗口，记成上一段的相 反情况更容易），那就是所谓“独乐乐不如众乐乐”，就是平均化。求平均 数之后根据题目要求进行调整即可。 2、 求积问题求积问题： 这个大家都背过了，和一定，差小积大，差大积小，这里不做过多解释。 第八讲数阵图从幻方谈起 这一讲，说实话，同学们的掌握情况大大高于我的想象，而且学习热情非常高 涨，好多同学在我没有要求的情况下，独立完成了 9 阶甚至 11 阶的幻方，必须 要提出热烈表扬！ 其实这讲内容非常简单，需要记忆的只有罗伯法和三阶幻方的几个特性，而后 者的掌握情况要明显不如前者，咱们来着重看一下。 【雷区一】【雷区一】 三阶幻方中的等差数列到底在哪里？三阶幻方中的等差数列到底在哪里？ 三阶幻方中有一个特性，就是经过中心数的所有行、列、对角线，均为等差数 列。如下图所示。由此可以得出，等差数列的一切性质均可用。 但是，有些同学却“只看等差不找中心”，认为下图中，？ = （a+b）2 ， 这当然就错的很遗憾了，因为这个图中的问号，并求不出来。 【雷区【雷区二二】 金三角金三角到底在哪里？到底在哪里？ 金三角，它长这个样子，性质是：2a = (b+c) 但是很多同学却经常找错金三角，赵老师来教大家个方法，找准金三角。 按住顶点看对面，相邻两数成三角按住顶点看对面，相邻两数成三角 【福利福利】 四阶幻方也能用的快速方法！四阶幻方也能用的快速方法！ 其实，很多同学的三阶幻方性质玩儿得非常溜，但遗憾的是，那些性质都只能 用在三阶幻方中。什么中心数啊，金三角啊，到了更高阶的幻方里，都得歇 菜。 下面，赵老师给大家带来一个小小的福利，可以用在四阶，甚至更高阶的幻方 中（可能有些老师上课讲了，也可能有些同学自己已经会这种方法了，刚好可 以巩固一下）。 下图是书上作业的本讲巩固第四题。 因为幻方中的行、列、对角线只和均相等。根据这一特性，我们可以像下图这 样，找到两条相交的线。 亲爱的同学们，这个方法是不是让你做题变得更溜了呢？把剩下的 3 个空位也 用这个方法快去自己试试吧！ 第九讲平均数进阶 这一讲很多同学错了都回头找不到自己哪里错了。觉得自己想法思路挺正确的 啊，可是为啥就是做不对呢？ 【雷区】 见平均光想着求总数了，见平均光想着求总数了， 份数是多少弄清楚了么？份数是多少弄清楚了么？ 这道题错在哪里呢？ 说不定再仔细看一眼题目就看出来了问题在哪里了？ 求得是所有糖果每斤多少钱（平均数），也找到了买糖果总共花的钱数（总 数）！接下来只要找到有少斤糖果（份数）就大功告成了！ 这位同学大笔一挥：3 3 是啥？ 为啥你只看到了水果糖的份数，花生糖和奶糖表示不服气啊！你算总数的时候 想着我们，算份数就忘记了我们也是糖了？ 也有同学告诉我说，老师老师我也是这么做的，但是我没有忘记花生糖和奶 糖。哎？那为啥要除以 3？因为，算成了每种糖果多少钱。 所以找份数份数，不仅仅要找对总数或者平均数对应的数字，还要看清楚“每”字 后面份数的单位是谁？每种和每斤差别可大着呢！ 再看上面这道题。 当看到你做出四个数的平均数是 94 时我内心是澎湃的，啊，总算记得 376 是 4 科成绩的总数了。 可是下一步为啥立刻就忘了呢？ “英语成绩可是比五科的平均分低 2.4”，94 它是五科的平均数么？！94 是思 科的平均数！ 唉，又是一道份数没有搞清楚的问题。 那么就有好学的小盆友会问我了，老师老师那这道题究竟要怎么做呢？这道 题啊用的就是平均数进阶的秘密武器“移多补少画图” 第十讲破译乘除法竖式 这一讲的题看着就很懵，但是老师讲过以后就会发现都特别的简单。 为啥说它简单呢？因为这一讲的套路真的不多，精髓就一个字：“试”“试” 那都一个一个试了还能有啥雷区呢？ 【雷区一】 试出结果就万岁试出结果就万岁 万一有两个结果呢？万一有两个结果呢？ 看到这道题能发现啥？所以小三角有可能是谁呢？ 如果只看小三角你会发现 000 111 5525 6636 所有可能性列出来我们再去一个一个试， 试出 5 可以了，6 就不试了么？ 当然需要！当然需要！ 大家在学习等腰三角形的时候就经常会碰到两种情况的题，只写一种被了扣一 半的分数，多冤啊，明明会的啊！ 所以一定在遇到可能出现有多种情况的题的时候就要提前警惕起来。 【雷区二】【雷区二】 光记着试了光记着试了 试了一堆试了一堆还没发现被套路了还没发现被套路了 我看到这个答案的时候特别感动，简直是完美掌握了“试”的方法同时也不会 漏掉多种结果。可是事实是这个题只要发现余数是 8，记得除数一定大于余 数，这个题也就容易的不得了了。 第十一讲方程与方程组 这一讲会出错在哪呢？计算错误？不不不，都是格式的锅，我们一起来看看 吧。 【雷区一】【雷区一】 移项从一边到另一边没有变化移项从一边到另一边没有变化 有的同学说自己移项老出错，我们机智的赵梦妍老师就想出来了 移项前先画圈，画了圈的要变号 这个格式的添加解决了很多孩子的移项问题，但是依然会有 【雷区二】【雷区二】 二元一次方程组不写大括号二元一次方程组不写大括号 你要是说“不就是个大括号么，明明都已经算出来 X 和 Y 了” 是的，“明明同学“可能只是忘记带大括号了，而你，是没做完！ 大括号在二元一次方程组里啊，有点像是应用题里的答，所以说是很重要步骤 之一。 并且记着写大括号，也能够及时发现是否漏算了一个未知数。 未知数都不全，所以这道题你是怎么验算的来着？ 这个懒可不能偷，大括号和验算，是我们做对这个方程组的保障。 第十二讲列方程（组）解应用题 这一讲大家的错题都集中在了等量关系一开始就写错，或者直接啥都不会，想 不出来。错题范围分布太广，所以今天我们就来说一说 如何用方程（组）玩转应用题。 这一讲估计很多同学一看就开始冒冷汗。应用题？！大题！一题十分 吶！ 然后再仔细一看前面，还要列方程组？！众所周知的是解方程组这里格式要求 呢比较多。 所以这一讲简直就是集齐了高分、复杂和麻烦，做一道相当于以前两道题的一 讲。 是这样么？当然不是！是这样么？当然不是！ 现在我们四年级的题目已经不再是简单的按题写式了。更多的是需要去倒推， 去替换，并衍生出了许多新的题型。很多应用题要是一下子想不通？钻了牛角 尖？这个题就卡死了。 那么，应该怎么办呢？ 首先我们继续使用最简单的“按题写式”，写什么式？等量关系式！ 来来来我们来试一下，看看如何按题写式 第一句话：甲的年龄是乙的 2 倍 第二句话：甲的年龄比乙的 2 倍还多 3 试一试试一试 “比、是、”看做 “和、共、多”看做 “差、少”看做 “倍、积”看做 再来看上面两句话，就变成了这样： 是不是超级简单？！ 好那就来试试下面这道题吧（书 66 页例 2） 薇儿原有故事书的本数是艾迪的 3 倍少 8 本，后来薇儿又买来了 15 本，艾迪又 买来了 12 本，结果薇儿的书是艾迪的 2 倍多 4 本，那么原来各有多少本书？ 黄色底色题中话可以写成：薇原艾原38 灰色底色题中话可以写成：薇现艾现24 接下来，只要找到剩下的条件里薇原、艾原、薇现、艾现、之间的关系，把四 个不知道的量变成两个。等量关系就出来啦 薇原艾原38 薇原15（艾原12）24 然后呢？缺什么设什么！设列解验答设列解验答 咳咳，当然不可能每道题都这么会如此简单。还需要我们去发现一些隐藏条 件。这就需要我们语文学得好。 啥啥啥？没听错吧？语文？ 对！没错。应用题题都读不懂？你拿啥去列等量关系？ 俗话说：要想应用题错不了，语文先要学的好。（好了好了没有这句俗话，我 说的我说的。） 不信？看这里！(同步练习册 21 页 3) 薇儿去买水果，如果买 5 千克苹果则少 4 元；如果买 6 千克梨则少 3 元。已知 苹果比梨每千克贵 1 元 1 角，那么薇儿买水果共带了多少钱？ 黄色底色的题中话你会写么？似乎我刚才列的那些你只能找到一个“少”字 吧。 那你来说薇儿拿啥去买的苹果？拿“钱” 所以这句话我们就可以改成“拿的钱比 5 千克苹果的价格少 4 元” 现在会写了么？试一下吧钱5 千克苹价4 下一句蓝色底色的呢？钱6 千克梨价3 再加上灰色底色的苹价梨价1.1 好多啊！接下来怎么办？找关系，多未知变两未知。 5苹价46梨价3 苹价梨价1.1 现在明白了么？那我们来一起总结总结一下 1：圈出题中关键句； 2：根据题目写式子； 3：隐藏关系会变形； 4：未知量要多变两。 最后！不要忘记设列解验答设列解验答哦。 第十三讲：环形跑道 这一讲给我的感觉是大家在学习的时候接受的很快，作业完成的也不错，但到 了课前测问题一下子全都显现出来，是忘记了？还是知识学得不够扎实？临近 考试，这个问题可能会更加明显，有的同学觉得自己平时学的不错，但考试的 成绩却不是很理想，原因就在于学完就扔下了，没有复习！所以学完知识要反 复练、反复练、反复练！ 回到正题，来说我们环形跑道中同学们经常会犯的错误，看下文之前，还不清 楚顺时针逆时针的孩子们不妨先看看家里的钟表哦！ 【雷区一】相遇追及问题搞不清楚 这位同学就完美的呈现了这一错误，尽管后面方法都是对的，但一步错导致后 面全错，考试的话一分都拿不到了！所以在做题的时候，一定要把关键词圈出 来。 【避雷针】圈出关键词 相遇问题：相向、背向、反向 追及问题：同向 看到这些词语就要迅速反应出来是相遇问题还是追击问题。 【雷区二】“共”用多长时间相遇、“再经过”多长时间相遇、 “经过”多长时间相遇是一样的吗？ 到第二次相遇“共”用多久？需要加上第一次相遇的时间吗？那如果是“再经 过”多久呢？“经过”多久呢? 这个问题其实只要大家仔细审题，圈出重点 词，凭自己的理解就可以解决的，为了方便大家记忆，给大家总结一下，不要 死记，靠理解去记忆。 【避雷针】 共用：加之前相遇或追及的时间 再经过：不加之前相遇或追及的时间 经过；加之前相遇或追及的时间（跟共类似） 【雷区三】不同起点，路程差或路程和是多少？ 这位同学就没有搞清楚不同起点时他们追及的路程差，我们学过相遇一次合走 一圈，追上一次多走一圈，但大家一定要记住，这个口诀针对的是“同时同 地”，对于不同起点，要根据题目条件找出路程差或路程和。 【避雷针】 遇到不同起点的追及问题，先搞清楚谁追谁，根据方向画出两人所跑的路程， 找出路程差，最后根据追及公式：路程差=速度差追及时间求解。 【雷区四】不同起点分情况讨论 像这道题只告诉了同向出发，并没有告诉是顺时针还是逆时针，所以要当做两 道题做。 【避雷针】 同时同地：相遇一次，合走一圈；追上一次，多走一圈。 不同地点：当心两种情况。 【雷区五】不同起点第八次追上共用多久？第十次？ 这位同学直接用第一次的时间乘以八次，想一下第一次和后几次情况相同吗？ 第一次是不同 起点，到第一次追上后，变为相同起点，所以之后的七次追及都是相同起点问 题，故第一次和后七次追及时间是不相同的，要分别计算。 【避雷针】 还是分情况计算哦，分别算出第一次和后几次的时间再求解。 第十四讲火车过桥 这一讲用一句话来总结就是“如果你不会做题，那么要么是你图没画对！要么就 是你行程问题没学会” 首先回忆一下计算公式 基本公式：路程=速度时间 相遇问题：路程和=速度和共同时间 追及问