对一道初中数学竞赛题的推广(1).pdf

1 对一道初中数学竞赛题的推广对一道初中数学竞赛题的推广 安徽省岳西中学 储炳南（246600） 1 问题提出问题提出 2006 年“信利杯”全国初中数学竞赛第 13 题是这样一道 题： 已知点 P 为O 外一点，过点 P 作圆O 的两条切线，切 点分别为 A、B，过点 A 作 PB 的平行线，交O 于点 C，连 结 PC，交O 于点 E，连结 AE，并延长 AE 交 PB 于点 K， 求证：KBCEACPE=（如图 1 所示） 。 笔者在对此题进行探讨时，首先利用几何画板数学软件进行演示性试验，发现该 题的结论可以推广到抛物线、椭圆和双曲线中。 2 问题的推广问题的推广 推广一： 已知点 P 为抛物线（或椭圆或双曲线）外一点，过点 P 作抛物线（或椭圆或双曲线） 的两条切线，切点分别为 A、B，过点 A 作 PB 的平行线，交抛物线（或椭圆或双曲线） 于点 C，连结 PC，交抛物线（或椭圆或双曲线）于点 E，连结 AE，并延长 AE 交 PB 于 点 K，求证：KBCEACPE=。 推广二：已知点 P 为圆（或抛物线或椭圆或双曲线）外一点，过点 P 作圆（或抛物线 或椭圆或双曲线）的两条切线，切点分别为 A、B， PB 中点为 K，连 AK 交圆（或抛物 线或椭圆或双曲线）于点 E，连结 PE，交圆（或抛物线或椭圆或双曲线）于点 C，连结 AC，则：ACPB。 3 推广的证明推广的证明 推广一的证明一：抛物线情形推广一的证明一：抛物线情形 证明：不妨设抛物线方程为)0( 2 =aaxy，过点),( 00 yxP与抛物线相切的切线斜率为 k,点 A、B 的坐标为：),( 11 yxA，),( 22 yxB。 联立方程组： = = )( 00 2 xxkyy axy 消去 y 得： 0 00 2 =+ykxkxax 0)(4 00 2 =ykxak K E C P O A B 图 1 K E C P O A B 图 2 x y 2 044 00 2 =+aykaxk 021 4axkk=+， 021 4aykk= a kk x 4 21 0 + =， a kk y 4 21 0 = 0=时，方程有等根， a k x 2 1 1= ， a k x 2 2 2 = A、B 两点坐标为) 4 , 2 ( 2 11 a k a k A，) 4 , 2 ( 2 22 a k a k B 又由可知点 P 的坐标为) 4 , 4 ( 2121 a kk a kk P + ACPB AC 的方程为：) 2 ( 4 1 2 2 1 a k xk a k y=，即 a kk a k xky 24 21 2 1 2 += 联立方程组： += = a kk a k xky axy 24 21 2 1 2 2 消去 y 得：0 42 2 121 2 2 =+ a k a kk xkax a k xx C 2 1 =+ a kk a k a k x a k xC 2 2 2 1212 1 2 = 点 C 的坐标为) 4 )2( , 2 2 ( 2 1212 a kk a kk C 直线 PC 的方程为：)( 2 2 4 )2( 0 0 12 0 2 12 0 xx x a kk y a kk yy = a kk x 4 21 0 + =， a kk y 4 21 0 =代入上式并化简得： a kk x kk y 12 4 3 4 2 1 2 212 = 3 联立方程组： = = a kk x kk y axy 12 4 3 4 2 1 2 212 2 消去 y 得： 0 12 4 3 4 2 1 2 2122 = + a kk x kk ax 3 4 12 kk xx CE =+ CE x kk x = 3 4 12 a kk a kkkk 6 2 2 2 3 4 121212 + = = E 点坐标为：) 36 )2( , 6 2 ( 2 1212 a kk a kk E + AE 的方程为：) 2 ( 26 2 436 )2( 4 1 112 2 1 2 12 2 1 a k x a k a kk a k a kk a k y + + = 化简得： a kkk x kk y 12 2 3 2 21 2 112 + + = 又切线 PB 的方程为) 2 ( 4 2 2 2 2 a k xk a k y=即 a k xky 4 2 2 2 = 联立得： = + + = a k xky a kkk x kk y 4 12 2 3 2 2 2 2 21 2 112 ，解得： + = + = a kkk y a kk x 8 8 3 2 221 21 点 K 的坐标为：) 8 , 8 3 ( 2 22121 a kkk a kk K + 又PB 中点的横坐标和纵坐标分别为： a kk a k a kk xx 8 3 2 24 2 21 221 20 + = + + = + ， a kkk a k a kk yy 82 44 2 2 221 2 221 20 + = + = + 4 点 K 与 PB 的中心重合，即 PK=KB。 又ACPB，AECKEPKBCEACPE KBPK PE PK CE AC = = = Q 32 推广一的证明二推广一的证明二:椭圆情形椭圆情形 笔者在对推广一的情形二证明时，首先尝试用初等方法直接证明结论 ，发现证明过程 中计算异常繁琐，为此，我们作变换 f： = = b y y a x x ，则在变换 f 下， 圆 O：1 22 =+ yx变为椭圆 O： 1 2 2 2 2 =+ b y a x ， 下面我们证明在变换 f 下有如下结论： （1）过圆）过圆 O：1 22 =+ yx上任意一点上任意一点),( 00 yxM的切线在变换的切线在变换 f 下为椭圆下为椭圆 O ： ： 1 2 2 2 2 =+ b y a x 的切线；的切线； （2）两平行直线在变换）两平行直线在变换 f 下仍然为两平行直线：下仍然为两平行直线： （3）线段的中点在变换）线段的中点在变换 f 下仍然为线段的中点。下仍然为线段的中点。 证明： （1）因为过圆 C：1 22 =+ yx上任意一点),( 00 yxM的切线方程为： 1: 00 =+yyxxl， = = b y y a x x ，将其代入圆 C：1 22 =+ yx中得： ( )( ) 1 : 2 2 2 2 =+ b y a x C， 即圆 C：1 22 =+ yx在变换 f： = = b y y a x x 下，得到的轨迹为椭圆1 : 2 2 2 2 =+ b y a x C 同理可证：点),( 00 yxM在变换 f 下得到的点) , ( 00 yxM也是椭圆1 : 2 2 2 2 =+ b y a x C K E C P F2o F1 A B 图 3 5 上的点。 又1: 00 =+yyxxl在变换 f 下得到 l的方程为： 1 : 00 =+ b y b y a x a x l，即1 : 2 0 2 0 =+ b yy a xx l 不难证明1 : 2 0 2 0 =+ b yy a xx l是过椭圆：1 2 2 2 2 =+ b y a x 上的点) , ( 00 yxM的切线。 （2）设 11: bkxyl+=，)(: 2122 bbbkxyl+= = = b y y a x x ， 111 : bbx a kb yb a x k b y l+=+= 222 : bbx a kb yb a x k b y l+=+= 1 l 2 l （3）设),( 11 yxA，),( 22 yxB的中点为),( 00 yxK， 则 2 21 0 xx x + =， 2 21 0 yy y + = = = b y y a x x ， 由 2 21 0 xx x + = 2 21 0a x a x a x + = 2 21 0 xx x + =， 同理可证： 2 21 0 yy y + =， ) , ( 00 yxK是BA的中点（其中) ,( 11 yxA，) , ( 22 yxB） 。 6 由以上结论可知，在变换 f 下，圆的切线 PA、PB 变为椭圆的切线，AC 与 PB 在变换 f 下仍然平行，K 在变换 f 下仍然为 PB 的中点，实际上是：在变换 f 下保持平行性和结合性