中科院03-15高等数学甲真题.pdf

中国科学院大学 2015 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲） 中国科学院大学 2015 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲） 整理版 考生须知： 考生须知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、 选择题一、 选择题 （本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填 充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。 ） (1) 对于函数.结论不正确的是： A.在(0,)内有界. B.在(0,)内 f(x)没有最大值和最小值. C.在(0.)内处处可导. D.当 x 和 x 0+时，f(x)极限存在. A.1 B.0 C. D. (3).微分方程的通解为( ) A.x = y + Cey 1 B.y = x + Cex 1 C.x = ln|x y 1| + C D.y = ln|y x 1| + C (4).已知 m,n 为正整数，且 m n.如果： 则下面结论正确的一个是( ) A.S T B.S = T C.S T D.S,T 大小关系不确定 (5)设对任意的 x R，总有 m f(x) g(x) h(x) M.且 g(x)为连续函数，若 .则对于，下面结论正确的一个是( ) 科目名称：高等数学（甲） 第 1 页 共 3 页 A.一定存在，且等于 B.一定存在，且只能等于 M 或 m C.一定不存在 D.一定存在，且可以取到m,M上的任意值 ，在其定义域内零点的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.多于 4 (7)设 a,b 为非零实向量，且 2a + b 与 a b 垂直，a + 2b 与 a + b 垂直，则( ) A.|b|2 = 7|a|2 B.|a|2 = 7|b|2 C.|b|2 = 5|a|2 D.|a|2 = 5|b|2 A.I1 I2 I3 B.I3 I1 I2 C.I1 I3 I2 D.I3 I2 I1 A.2 B. C. D. (10)已知曲面 x2 + y2 + 2z2 = 5， 在其上点(x0,y0,z0)处的切平面与平面 x + 2y + z = 0 平分， 则有( ) A.x0 : y0 : z0 = 4 : 2 : 1 B.x0 : y0 : z0 = 2 : 4 : 1 C.x0 : y0 : z0 = 1 : 4 : 2 D.x0 : y0 : z0 = 1 : 2 : 4 二、二、(本题满分本题满分 10 分分) 三、三、 (本题满分本题满分 10 分分) ，计算在点(,2)处的值. 四、四、 (本题满分本题满分 10 分分) 设 D 为第一象限内由 y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 2 所围成的区域,f 为一元 可微函数，且 f / = g，记 L 为 D 的边界，证明： 科目名称：高等数学（甲） 第 2 页 共 3 页 五、五、(本题满分本题满分 10 分分) 已知 y1 = x, y2 = x2, y3 = ex为线性非齐次微分方程： 的三特解，求该方程满足初始条件的特解. 六、六、 (本题满分本题满分 10 分分) 七、七、(本题满分本题满分 10 分分) 八、八、(本题满分本题满分 10 分分) 将函数 f(x) = x 1,(0 x 2)展开成周期为 4 的余弦级数. 九、九、(本题满分本题满分 10 分分) 若 g(x)为单调增加的可微函数，且当 x a 时，|f/(x)| g/(x).证明：当 x a 时，|f(x) f(a)| g(x) g(a). 十、十、(本题满分本题满分 10 分分) 函数 f(x)在0,2上二阶可导，且 f/(0) = f/(2) = 0.证明：在区间(0,2)内至 少存在一点 ，满足|f/()| |f(2) f(0)|. 十一、十一、(本题满分本题满分 10 分分) 设 0 a ，证明： () 1 1 1 n n f n = - 收敛，而 1 1 n f n = 发散。 九、 （本题满分 10 分）将函数 ()() 2 =fxxx-展成以2为周期的傅里叶级数。 十、 （本题满分 10 分）已知函数 () fx具有连续的二阶导数， () 00f=， () 1 0 3 f=，且 对任意的光滑有向封闭曲面，都有 ()()() 2=0 x efx dydzyfx dzdxzdxdy - ? ，求函 数 () fx的表达式。 十一、 （本题满分 10 分）设一个平面通过点( ) 1,2,3，他在x轴，y轴上的截距相等。问： 当平面在三个坐标轴上的截距分别为何值时， 它与三个坐标面所围成的空间体积最小？并写 出此平面的方程。 十二、 （本题满分 10 分）设函数 () fx在 0c，上可导， () fx单调递减且 () 00f=， 证 明：对于0ababc+，都有 ()()() fabfaf b+。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2008 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 试卷名称：高等数学（甲） 2008 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 试卷名称：高等数学（甲） 考生须知： 1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。 _ _ 一、填空题（本题满分 30 分，每个空格 6 分） 1. 考生须知： 1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。 _ _ 一、填空题（本题满分 30 分，每个空格 6 分） 1. n k n kn k 1 2 lim_。 2.设 。 2.设)(xyy 是二阶线性常系数非齐次微分方程是二阶线性常系数非齐次微分方程 x eyyy 3 2 的满足条件的满足条件 0)0()0(yy的解， 且的解， 且)(xyy 有连续的二阶导数， 则有连续的二阶导数， 则 )( )1ln( lim 2 0 xy x x _。 3.已知 。 3.已知8)()( 2 0 dxxfxf，且，且0)0(f，则，则 2 0 )(dxxf_。 4.设 。 4.设3sin)()( 0 xdxxfxf，2)(f，则，则)0(f_。 5.在过点 。 5.在过点) 1 , 0(的直线的直线)(xfy 中， 使得积分值中， 使得积分值 2 0 22 )(dxxfx达到最大的直达到最大的直 线方程为_。 二、选择题（本题满分 30 分，每小题 6 分） 1.二元函数 线方程为_。 二、选择题（本题满分 30 分，每小题 6 分） 1.二元函数),(yxf )0 , 0(),( , 0 )0 , 0(),( , 22 yx yx yx xy 在点在点)0 , 0(处（处（ ） A. 连续且两个偏导数都存在 B. 不连续但两个偏导数都存在 C. 连续但至少有一个偏导数不存在 D. 不连续且至少有一个偏导数不存 在 2.如图， ） A. 连续且两个偏导数都存在 B. 不连续但两个偏导数都存在 C. 连续但至少有一个偏导数不存在 D. 不连续且至少有一个偏导数不存 在 2.如图，)(xf，)(xg是两个逐段线性的连续函数，设是两个逐段线性的连续函数，设)()(xgfxu，则，则) 1 ( u 的值为（的值为（ ） A. ） A. 4 3 B. B. 4 3 C. C. 12 1 D. D. 12 1 3.方程3.方程 e xe x 2 1 的实根个数为（的实根个数为（ ） A. ） A. 0 B. B. 1 C. C. 2 D. D. 3 4.与直线 4.与直线 1 L： tz ty x 1 2 1 及直线及直线 2 L： 1 1 2 1 1 1 zyx 都平行，且过原点的都平行，且过原点的 平面平面方程是（方程是（ ） A. ） A. 0zyx B. B. 0zyx C. C. 0zyx D. D. 0zyx 5.设 5.设 0 2 cos n n nxax，)(x，则傅里叶系数，则傅里叶系数 2 a（ ） A. ） A. 2 B. B. 2 C. C. 1 D. D. 1 三、 （本题满分 10 分）求三、 （本题满分 10 分）求 2 1 2) 2(dxxx。 四、 （本题满分 10 分）设曲线 四、 （本题满分 10 分）设曲线 2 xy 和直线和直线) 10(tty分别与分别与0x及及1x所所 围成的面积之和为围成的面积之和为)(tS， 试判断， 试判断)(tS是否存在最小值， 若存在， 求出其最小值点。 五、 （本题满分 10 分）设 是否存在最小值， 若存在， 求出其最小值点。 五、 （本题满分 10 分）设)(xf在在1 , 0上可微，上可微， 2 1 0 )(2) 1 (dxxxff，求证：存在，求证：存在 ) 1 , 0(，使得，使得0)()(ff。 六、 （本题满分 10 分）设函数 六、 （本题满分 10 分）设函数)(ln 22 yxfu，满足，满足 2 3 22 2 2 2 2 )(yx y u x u ， 试求函数试求函数f的表达式。的表达式。 七、（本题满分 10 分） 计算二重积分 七、（本题满分 10 分） 计算二重积分 D dxdyyI 2 1， 其中， 其中D为为)0( 1 22 yyx 与与xy 所围成区域。所围成区域。 八、 （本题满分 10 分）求微分方程 八、 （本题满分 10 分）求微分方程)sin(cos 2 xxyyy的通解。的通解。 )(xf )(xg 3 Y 2 8 0 1 - 1 5 6 4 7 X 6 九、 （本题满分 10 分）求幂级数九、 （本题满分 10 分）求幂级数 1 1 ) 1() 1( n nn xnn在收敛区间在收敛区间) 1 , 1(内的和函数内的和函数 )(xS，并求数项级数，并求数项级数 1 1 3 ) 1( ) 1( n n n nn 的和。的和。 十、 （本题满分 10 分）已知函数 十、 （本题满分 10 分）已知函数)(xf在在, 0上可导，上可导，1)0(f，且满足等式，且满足等式 0)( 1 1 )()( 0 x dttf x xfxf，求，求)(x f 的表达式，并证明不等式的表达式，并证明不等式1)( xfe x ， )0( x。 十一、 （本题满分 10 分）设函数 十一、 （本题满分 10 分）设函数)(xf、)(xg具有二阶连续导数，曲线积分具有二阶连续导数，曲线积分 0)()(2)(22)( 2 dyxfxygdxxygyexfy C x ，其中，其中C为平面上任一简单封为平面上任一简单封 闭曲线。求上式中的闭曲线。求上式中的)(xf和和)(xg使得使得0)0()0( gf。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 试卷名称：高等数学（甲） 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 试卷名称：高等数学（甲） 考生须知： 1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。 _ _ 一、填空题（本题满分 30 分，每个空格 6 分） 1. 考生须知： 1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。 _ _ 一、填空题（本题满分 30 分，每个空格 6 分） 1. )1ln( sintan lim 3 0 x xx x _。 2.设函数 。 2.设函数),(yxf可微，可微，0)0 , 0(f，mfx)0 , 0(，nfy)0 , 0(， ),(,()(ttftft ，则，则 ) 0(_。 3. 。 3. 3 21x dx _。 4.微分方程 。 4.微分方程 22 yxyyx的满足的满足2) 1 (y的解为的解为_。 5.设 _。 5.设是曲面是曲面 2222 azyx的外侧，的外侧，cos，cos，cos是其外法线向量是其外法线向量 的方向余弦，则的方向余弦，则 dS zyx zyx 2 1 222 )( coscoscos _。 二、选择题（本题满分 30 分，每小题 6 分） 1.设 。 二、选择题（本题满分 30 分，每小题 6 分） 1.设)(xf 2 ) 1 ( ) 1sin( 1 b xae x x 1 1 x x 。若。若)(xf在在1x处连续，则（处连续，则（ ） A. ） A. 1, 0ba B. B. 1, 1 ba C. C. 1, 1ba D. D. 0, 1 ba 2.设2.设)(xf和和)(xg都在都在 0 x处二阶可导，且处二阶可导，且0)()( 00 xgxf， 0)()( 00 xgxf，则（，则（ ） A. ） A. 0 x不是不是)()(xgxf的驻点；的驻点； B. B. 0 x是是)()(xgxf的驻点，但不是的驻点，但不是)()(xgxf的极值点； C. 的极值点； C. 0 x是是)()(xgxf的驻点，且是它的极小值点； 的驻点，且是它的极小值点； D.D. 0 x是是)()(xgxf的驻点，且是它的极大值点。 3.已知连续函数 的驻点，且是它的极大值点。 3.已知连续函数)(xf满足满足)0)(2()(axafxf，c为任意常数，则为任意常数，则 c c dxxaf)(（ ） A. ） A. c dxxaf 0 )2(2 B. B. c c dxxaf)2(2 C. C. 0 D. D. c dxxaf 0 )(2 4.点4.点) 1 , 3 , 2( 1 P关于直线关于直线L：zyx的对称点的对称点 2 P的坐标是（的坐标是（ ） A. ） A. ) 3 1 , 1 , 3 2 ( B. B. ) 3 1 , 1, 3 2 ( C. C. ) 3 1 , 3 5 , 3 10 ( D. D. ) 3 1 , 3 5 , 3 10 ( 5.设5.设)(xf在区间在区间,上连续，且满足上连续，且满足)()(xfxf，则，则)(xf的傅里叶的傅里叶 系数系数), 2 , 1( 2 na n 等于（等于（ ） A. ） A. 0 B. B. C. C. 1 D. D. 4 三、 （本题满分 10 分）已知三、 （本题满分 10 分）已知)(xf在在),(内有二阶连续导数，且内有二阶连续导数，且0)0(f，又，又 )(x 0),( 0),0( xxf x e xf x ，求，求)(x。 四、 （本题满分 10 分）求满足 四、 （本题满分 10 分）求满足 xx dtxttfdttfx 00 )()(的可微函数的可微函数)(xf。 五、 （本题满分 10 分）若 五、 （本题满分 10 分）若)(xyzfu ，0)0(f，1) 1 ( f ，且，且 )( 222 3 xyzfzyx zyx u ，求函数，求函数u。 六、 （本题满分 10 分）设 六、 （本题满分 10 分）设L是分段光滑的简单闭曲线，且点是分段光滑的简单闭曲线，且点)0 , 2(，)0 , 2(均在闭均在闭 曲线曲线L所围区域的内部，计算曲线积分所围区域的内部，计算曲线积分 L dy yx x yx x dx yx y yx y I 22222222 )2( 2 )2( 2 )2()2( ，其中，其中L取取 正向。 七、 （本题满分 10 分）求方程 正向。 七、 （本题满分 10 分）求方程1444 234 yxyxyx的形如的形如 1 axy的特解，进的特解，进 而求该方程的通解。 八、 （本题满分 10 分）在曲线 而求该方程的通解。 八、 （本题满分 10 分）在曲线1 4 2 2 y x 上找一个位于第一象限的点，使得该曲上找一个位于第一象限的点，使得该曲 线在该点处的切线与该曲线以及线在该点处的切线与该曲线以及x轴和轴和y轴所围成的图形面积最小， 并求此最小轴所围成的图形面积最小， 并求此最小 面积。 九、 （本题满分 10 分）证明： 面积。 九、 （本题满分 10 分）证明： Kr rR byax d KR rR D )( )()( )( 22 22 22 ，其，其 中中RrbaK 22 0，D： 2222 Ryxr。 十、 （本题满分 10 分）设函数 十、 （本题满分 10 分）设函数)(xf在区间在区间1 , 0上可导，且上可导，且0)0(f，1) 1 (f， 证明在区间证明在区间1 , 0上存在两点上存在两点 1 x， 2 x，使，使2 )( 1 )( 1 21 xfxf 。 十一、 （本题满分 10 分）设级数 十一、 （本题满分 10 分）设级数 1n n u的各项的各项0 n u，, 2 , 1n， n v为一正项为一正项 实数数列，记实数数列，记 1 1 n n nn n v u vu a，证明：如果，证明：如果aan n lim，且且a为有限正数或正无穷，为有限正数或正无穷， 则则 1n n u收敛。收敛。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 试卷名称：高等数学（甲） 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 试卷名称：高等数学（甲） 考生须知： 1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。 _ _ 一、 （10 分）求 考生须知： 1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。 _ _ 一、 （10 分）求 x x x x ) 1 1 (lim 。 二、 （10 分）求 二、 （10 分）求a，b的值，使得的值，使得)(xf 1,ln 1),1(sin xbx xxa 在在1x处可导。处可导。 三、 （10 分）求 三、 （10 分）求 3 1 2 ) 1 ln)21 ( )(1( x xx xy 的导数。的导数。 四、（10 分） 设 四、（10 分） 设)(ufz ， 方程， 方程 x y dttpuqu)()(确定确定u是是x，y的函数， 其中的函数， 其中)(uf 和和)(uq可微，可微，)(tp连续，且连续，且1)(uq，求，求 y z xp x z yp )()(。 五、 （10 分）设函数 五、 （10 分）设函数)(xF A x dtttf x 2 0 )( 0 0 x x ，)(x f 连续，且连续，且0)0(f。 （1）求 （1）求A的值，使的值，使)(xF在在0x处连续；处连续； （2）研究 （2）研究)(x F 在在0x处的连续性。处的连续性。 六、 （10 分）设 六、 （10 分）设)(xf满足方程满足方程Cxdxx x dxxfx sin