应用时间序列分析 第三版 王燕 课后答案.pdf

第二章第二章 P34 1、 （1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。 （2）样本自相关系数： n t t kn t ktt k xx xxxx k 1 2 1 )( )( )0( )( 5 .10)2021 ( 20 11 1 n t t x n x 2 20 1 )( 20 1 )0(xx t t 35 )( 19 1 ) 1 ( 1 19 1 xxxx t t t 29.75 )( 18 1 )2( 2 18 1 xxxx t t t 25.9167 )( 17 1 )3( 3 17 1 xxxx t t t 21.75 (4)=17.25 (5)=12.4167 (6)=7.25 1 =0.85（0.85） 2 =0.7405（0.702） 3 =0.6214（0.556） 4 =0.4929（0.415） 5 =0.3548（0.280） 6 =0.2071（0.153） 注：括号内的结果为近似公式所计算。 （3）样本自相关图： Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob . |*| . |*| 1 0.850 0.850 16.732 0.000 . |* | . *| . | 2 0.702 -0.07 6 28.761 0.000 . |* | . *| . | 3 0.556 -0.07 6 36.762 0.000 . |* | . *| . | 4 0.415 -0.07 7 41.500 0.000 . |*. | . *| . | 5 0.280 -0.07 7 43.800 0.000 . |* . | . *| . | 6 0.153 -0.07 8 44.533 0.000 . | . | . *| . | 7 0.034 -0.07 7 44.572 0.000 . *| . | . *| . | 8 -0.07 4 -0.07 7 44.771 0.000 . *| . | . *| . | 9 -0.17-0.07 45.921 0.000 0 5 .*| . | . *| . | 10 -0.25 2 -0.07 2 48.713 0.000 .*| . | . *| . | 11 -0.31 9 -0.06 7 53.693 0.000 *| . | . *| . | 12 -0.37 0 -0.06 0 61.220 0.000 该图的自相关系数衰减为 0 的速度缓慢，可认为非平稳。 4、 m k k kn nnLB 1 2 )2( LB(6)=1.6747 LB(12)=4.9895 2 05. 0 (6)=12.59 2 05. 0 (12)=21.0 显然，LB 统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。 第三章第三章 P100 1、解：)()(*7 . 0)( 1ttt ExExE 0)()7 . 01 ( t xE 0)( t xE tt x）B7 . 01 ( ttt BBBx)7 . 07 . 01 ()7 . 01 ( 221 22 9608. 1 49. 01 1 )( t xVar 49. 0 0 2 12 0 22 2、解：对于 AR（2）模型： 3 . 0 5 . 0 21102112 12112011 解得： 15/1 15/7 2 1 3、解：根据该 AR(2)模型的形式，易得：0)( t xE 原模型可变为： tttt xxx 21 15. 08 . 0 2 21212 2 )1)(1)(1 ( 1 )( t xVar 2 )15. 08 . 01)(15. 08 . 01)(15. 01 ( )15. 01 ( =1.9823 2 2209. 0 4066. 0 6957. 0)1/( 12213 02112 211 0 15. 0 6957. 0 33 222 111 4、解：原模型可变形为： tt xcBB)1 ( 2 由其平稳域判别条件知：当1| 2 ，1 12 且1 12 时，模型平稳。 由此可知 c 应满足：1|c，11c且11c 即当1c0 时，该 AR(2)模型平稳。 2 1)1/(1 01 21 kc kc k kk k 5、证明：已知原模型可变形为： tt xcBcBB)1 ( 32 其特征方程为：0)(1( 223 ccc 不论 c 取何值，都会有一特征根等于 1，因此模型非平稳。 6、解： （1）错， )1/()( 22 0 1 t xVar 。 （2）错，)1/()( 2 1 2 10111 tt xxE。 （3）错， T l T xlx 1 )( 。 （4）错， 112211 )( TllTlTlTT GGGle 1 1 12 2 111 T l lTlTlT （5）错， 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 lim)(lim)(lim l l T l TlT l leVarlxxVar。 7、解：1 2 411 1 1 2 1 1 2 1 1 1 MA(1)模型的表达式为： 1 ttt x。 8、解：20)5 . 01/(10)1/()( 10 t xE 原模型可变为： tt CBBxB)8 . 01 ()20)(5 . 01 ( 32 tt B CBB x )5 . 01 ( )8 . 01 ( 20 32 显然，当 32 8 . 01CBB 能够整除 10.5B 时，模型为 MA(2)模型，由此得 B2 是 32 8 . 01CBB 0 的根， 故 C0.275。 9、解： ：0)( t xE 222 2 2 1 65. 1)1 ()( t xVar 5939. 0 65. 1 98. 0 1 2 2 2 1 211 1 2424. 0 65. 1 4 . 0 1 2 2 2 1 2 2 30k k ， 10、解： （1）)( 21 tttt Cx )( 3211 tttt Cx 111 11 ) 1( tttt tt tt Cx C x Cx 即 tt BCxB) 1(1 )1 ( 显然模型的 AR 部分的特征根是 1，模型非平稳。 （2） 11 ) 1( ttttt Cxxy为 MA(1)模型，平稳。 22 1 1 22 1 1 1 CC C 11、解： （1）12 . 1| 2 ，模型非平稳； 1 1.3738 2 -0.8736 （2）13 . 0| 2 ，18 . 0 12 ，14 . 1 12 ，模型平稳。 1 0.6 2 0.5 （3）13 . 0| 2 ，16 . 0 12 ，12 . 1 12 ，模型可逆。 1 0.450.2693i 2 0.450.2693i （4）14 . 0| 2 ，19 . 0 12 ，17 . 1 12 ，模型不可逆。 1 0.2569 2 -1.5569 （5）17 . 0| 1 ，模型平稳； 1 0.7 16 . 0| 1 ，模型可逆； 1 0.6 （6）15 . 0| 2 ，13 . 0 12 ，13 . 1 12 ，模型非平稳。 1 0.4124 2 -1.2124 11 . 1| 1 ，模型不可逆； 1 1.1 12、解： tt BxB)3 . 01 ()6 . 01 ( tt BBBx)6 . 06 . 01)(3 . 01 ( 22 t BBB)6 . 0*3 . 06 . 0*3 . 03 . 01 ( 322 jt j j t 1 1 6 . 0*3 . 0 1 0 G， 1 6 . 0*3 . 0 j j G 13、解：3)()5 . 01 ()(3)( 2 ttt xEBExBE 12)( t xE 14、证明：1)0(/ )0( 0 ； 27. 0 25. 0*5 . 0*225. 01 )25. 0*5 . 01 (25. 0 21 )1)( )0( ) 1 ( 2 11 2 1 1111 1 111 5 . 0 kkk 2k 15、解： （1）错； （2）对； （3）对； （4）错。 16、解： （1） ttt xx )10(*3 . 010 1 ， 6 . 9 T x 88. 9)10(*3 . 010)() 1 ( 11 TTtT xExEx 964. 9)10(*3 . 010)()2( 212 TTtT xExEx 9892. 9)10(*3 . 010)() 3( 323 TTtT xExEx 已知 AR(1)模型的 Green 函数为： j j G 1 ， 21j 1 2 1213122130 ) 3( ttttttT GGGe 8829. 99*)09. 03 . 01 ()3( 22 T eVar 3t x的置信区间：的959.9892-1.96*8829. 9，9.98921.96*8829. 9 即3.8275,16.1509 （2）62. 088. 95 .10) 1 ( 11 TTT xx 15.10964. 962. 0*3 . 0)() 1 ( 21 tT xEx 045.109892. 962. 0*09. 0)()2( 31 tT xEx 81. 99*)3 . 01 ()2( 2 2 T eVar 3t x的置信区间：的9510.045-1.9681. 9，10.0451.96*81. 9 即3.9061,16.1839 习题习题 4 p133 1、 1123 1 () 4 TTTTT xxxxx 2112123 15551 () 416161616 TTTTTTTTT xxxxxxxxx 所以， 在所以， 在 2 Tx 中中 T x与与 1T x 前前 面的系数均为面的系数均为 5 16 。 2、由、由 1 11 (1) (1) ttt ttt xxx xxx 代入数据得代入数据得 5 . 2 55(1) 5 . 2 65 . 5(1) t t x x 解得解得 5 . 1 0 . 4 (1) t x 舍去的情况 3、 （、 （1） 2 12 01 91 81 71 6 11 (+)13+11+10+10+12 =11.2 55 xxxxxx （） 2 22 12 01 91 81 7 11 (+).2+13+11+10+10 =11.04 55 xxxxxx （11） （2）利用）利用 1 0.40.6 ttt xxx 且初始值且初始值 01 xx进行迭代计算即可。另外，进行迭代计算即可。另外， 222120 xxx 该题详见该题详见 Excel。11.79277 （3）在移动平均法下）在移动平均法下: 19 2120 16 19 222120 15 11 55 111 555 i i i i XXX XXXX 1116 55525 a 在指数平滑法中在指数平滑法中: 2 22 12 02 01 9 0. 40. 6xxxxx 0.4b 6 0.40.16 25 ba 5、由、由 11 11 (1)() ()(1) tttt tttt xxxr rxxr 代入数据得代入数据得 0 . 40 . 6( 2 05) 4 . 10 . 2 (2 0 )0 . 85 tt t xx x 解得解得 2 0 . 5 1 3 . 7 5 t t x x z-c(10,11,12,10,11,14,12,13,11,15,12,14,13,12,14,12,10,10,11,13) 6、 方法一：趋势拟合法方法一：趋势拟合法 income-scan(习题习题 4.6 数据数据.txt) ts.plot(income) 由时序图可以看出，该序列呈现二次曲线的形状。于是，我们对该序列进行二次曲线拟合：由时序图可以看出，该序列呈现二次曲线的形状。于是，我们对该序列进行二次曲线拟合： t-1:length(income) t2-t2 z-lm(incomet+t2) summary(z) lines(z$fitted.values, col=2) 方法二：移动平滑法拟合方法二：移动平滑法拟合 选取选取 N=5 income.fil-filter(income,rep(1/5,5),sides=1) lines(income.fil,col=3) 7、 （、 （1） milk-scan(习题习题 4.7 数据数据.txt) ts.plot(milk) 从该序列的时序图中，我们看到长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列从该序列的时序图中，我们看到长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列,因此我们可以采用乘积模因此我们可以采用乘积模 型和加法模型。型和加法模型。 在这里以加法模型为例。在这里以加法模型为例。 z-scan(4.7.txt) ts.plot(z) z-ts(z,start=c(1962,1),frequency=12) z.s-decompose(z,type=additive) /运用加法模型进行分解运用加法模型进行分解 z.1-z-z.s$seas /提取其中的季节系数，并在提取其中的季节系数，并在 z 中减去（因为是加法模中减去（因为是加法模/型）该季节系数型）该季节系数 ts.plot(z.1) lines(z.s$trend,col=3) z.2-ts(z.1) t-1:length(z.2) t2-t2 t3-t3 r1-lm(z.2t) r2-lm(z.2t+t2) r3-lm(z.2t+t2+t3) summary(r1) summary(r2) summary(r3) #发现发现 3 次拟合效果最佳，故选用三次拟合次拟合效果最佳，故选用三次拟合 ts.plot(z.2) lines(r3$fitt,col=4) pt-(length(z.2)+1) : (length(z.2)+12) pt1-pt #预测下一年序列预测下一年序列 pt2-pt2 pt3-pt3 pt-matrix(c(pt1,pt2,pt3),byrow=T,nrow=3)/*为预测时间的矩阵。为预测时间的矩阵。*/ p-r3$coef2:4%*%pt+r3$coef1/*矩阵的乘法为矩阵的乘法为%*%；coef【1】为其截距】为其截距项，项，coef【2：4】为其系数】为其系数*/ p1-z.s$sea1:12+p/*加回原有季节系数，因为原来是加法模型加回原有季节系数，因为原来是加法模型*/ ts.plot(ts(z),xlim=c(1,123),ylim=c(550,950) lines(pt1,p1,col=2) #包含季节效应的包含季节效应的 SARIMA 模型模型 z-scan(4.7.txt) ts.plot(diff(z) sq-diff(diff(z),lag=12) /*12 步差分步差分*/ par(mfrow=c(2,1) acf(sq,50) pacf(sq,50) # #观察上图，发现观察上图，发现 ACF 图图 12 阶处明显，阶处明显，24 阶处即变到置信区间内。阶处即变到置信区间内。 #而而 PACF 图图 12 阶，阶，24 阶，阶，36 阶处有一个逐渐递减过程，可认为阶处有一个逐渐递减过程，可认为#拖尾，故可以考虑对季节效应部分采用拖尾，故可以考虑对季节效应部分采用 MA(1)模型模型 #同时，同时，ACF 图在第一阶处显著后即立刻变动到置信区间内，具有图在第一阶处显著后即立刻变动到置信区间内，具有#截尾性质，截尾性质，PACF 图在第图在第 5、6 阶时变动到置信区阶时变动到置信区 间外，可以考虑间外，可以考虑#使用使用 MA（1）模型，故综合可采用乘积模型）模型，故综合可采用乘积模型 12 (0,1,1) (0,1,1)SARIMA #即即 ri1、ma1 模型乘以季节因素模型乘以季节因素 result-arima(z,order=c(0,1,1),seasonal=list(order=c(0,1,1),period=12)/*季节因素里的季节因素里的 order 为阶数的意思，与前面的为阶数的意思，与前面的 airma 模型的阶数含义同模型的阶数含义同*/ tsdiag(result)/诊断诊断 #下图为预测后的图下图为预测后的图 4.8 z-scan(4.8.txt) adf.test(z) #单位根检验。比较科学的定量的方法单位根检验。比较科学的定量的方法 #其原假设：具有单位根，即不平稳。此题中接受备则假设：平稳。其原假设：具有单位根，即不平稳。此题中接受备则假设：平稳。 指数平滑预测指数平滑预测 ffe-function(z,a) #定义指数平定义指数平滑预测。其中滑预测。其中 a 为平滑项为平滑项 y-c() y-z1 for(i in 1:length(z) y-c(y, a*zi+(1-a)*yi) return(y) y-ffe(z,0.6) #执行上述定义的执行上述定义的 function ts.plot(z) lines(y,col=3) ylength(y) 简单移动平均简单移动平均 z.1-filter(z,rep(1/12,12),side=1) #side=1 是指将所有算不出的序列值都空到最前面去，而在尾部没有空值。是指将所有算不出的序列值都空到最前面去，而在尾部没有空值。 z.1-c(NA,z.1) ts.plot(z) lines(z.1,col=3) meand-function(z,z.1,n) #预测函数。以预测函数。以 12 为周期。依次为原始数据，平滑值，预测步数为周期。依次为原始数据，平滑值，预测步数 y-z.1length(z.1) z.2-z(length(z)-10):length(z) for(i in 1:n) m-sum(rep(1/12,12-i)*z.2i:length(z.2) n-sum(rep(1/12,i)*y) y-c(y,m+n) #一直重复：预测，原始数列取代一个，预测数列拿来一个一直重复：预测，原始数列取代一个，预测数列拿来一个 return(y) y-meand(z,z.1,11) y-c(z.1,y) ts.plot(z,xlim=c(0,205) lines(y,col=3) #SARIMA par(mfrow=c(2,1) ds-diff(z) acf(ds,40) pacf(ds,40) #可以看出有一些不明显的周期性，故采用可以看出有一些不明显的周期性，故采用 sarima 拟合拟合 result-arima(z,order=c(2,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12) #在季节部分很少出现在季节部分很少出现2以上的数字（指以上的数字（指seasonal中的中的order部分）部分） result-arima(z,order=c(2,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,1),period=12) result-arima(z,order=c(4,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,1),period=12),fixed=c(NA,NA,0,NA,NA,NA) #观察图，发现第观察图，发现第 三项在置信区间内，故认为可能为限三项在置信区间内，故认为可能为限定的定的 sarima 模型。最后两个模型。最后两个 NA 指季节指数中的指季节指数中的 sar1 和和 sma1. #第三个的第三个的 aic 值最小，即模型拟合效果最好值最小，即模型拟合效果最好 tsdiag(result) #检验通过检验通过 1、 （1）判断序列的平稳性 该序列时序图如图 1 所示： 时序图显示该序列有显著的变化趋势，为典型的非平稳序列。 （2）对原序列进行差分运算： 对原序列进行 1 阶差分运算，运算后序列时序图如图 2 所示： 时序图显示差分后序列在均值附近比较平稳的波动。为了进一步确定平稳性，考察差分后序列的自相关图，如图三所示： 自相关图显示差分后序列不存在自相关，所以可以认为 1 阶差分后序列平稳，从图中我们还可以判断差分后序列可以视 为白噪声序列。 （3）对白噪声平稳差分序列拟合 AR 模型 原序列的自相关图和偏自相关图如图 4： 图中显示序列自相关系数拖尾，偏自相关系数 1 阶截尾，实际上我们用 ARIMA（1，0，0）模型拟合原序列。在最小二乘 估计原理下，拟合结果为： 1 0.88831.489 ttt xx （4）对残差序列进行检验： 残差白噪声检验： 参数显著性检验： 图中显示：延迟 6 阶和 12 阶的 P 值均大于 0.05，可以认为该残差序列即为白噪声序列，系数显著性检验显示两参数均显 著。这说明 ARIMA（1，0，0）模型对该序列建模成功。 （5）模型的预测： 估计下一盘的收盘价为：(1)0.888 28931.489288.121tx 2、 （1）绘制时序图： 时序图显示该序列具有长期递增趋势和以年为周期的季节效应。 （2）差分平稳化 对原序列作 1 阶差分，希望提取原序列的趋势效应，差分后序列时序图： 3、模型定阶 考察差分后序列相关图和偏自相关图的性质，进一步确认平稳性判断，并估计拟合模型的阶数。 自相关图和偏自相关图显示延迟 12 阶自相关系数和偏自相关系数大于 2 倍标准差范围， 说明差分后序列中仍有非常显著 的季节效应。延迟 1 阶的自相关系数和偏自相关系数也大于 2 倍的标准差，这说明差分后序列还具有短期相关性。根据 差分后序列自相关图和偏自相关图的性质，尝试拟合 ARMA 模型，但拟合效果均不理想，拟合残差均通不过白噪声检验。 所以我们可以考虑建立乘积模型： 12 (1,1,1) (0,1,1)ARIMA ： 12 1 1212 1 1 (1) 1 tt B xB B （4）参数估计 使用最小二乘法估计方法，得到该模型的估计方程为： 12 12 1 0.986 (1 0.833